第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．如图，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连接DH，延长BE交DH于点G.下列结论错误的是（ ）
A．BE＝DH
B．∠H＋∠BEC＝90°
C．BG⊥DH
D．∠HDC＋∠ABE＝90°
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第1题图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))
2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠BED的度数为
Ｗ．
3．[2018·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为点F.求证：AB＝EF.
4．[2018·盐城]如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F，满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
5．[2019·甘肃]如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.
（1）求证：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，证明：AB＝FB.
6．（逻辑推理）如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE.
（1）若正方形ABCD的边长为4，BE＝3，求EF的长；
（2）求证：AE＝EC＋CD.
参考答案
1．B
2．45°
3.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA，
∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°＝∠B.
在△EFA和△ABM中，
∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB＝EF.
4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝45°，AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADF＝135°.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（?SAS?）.
（2）解：四边形AECF是菱形．理由：
∵△ABE≌△ADF，∴AE＝CF.
同理可得AF＝CE，AE＝EC.
∴四边形AECF是菱形．
5.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC.
答图
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）.
（2）如答图，延长DE交AB的延长线于点H.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点．
又∵∠AFH＝90°，
∴在?Rt?△AFH中，BF＝AH＝AB.
6.
答图
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠D＝∠C＝90°.
∵BE＝3，BC＝4，∴EC＝1.
∵F是CD的中点，∴DF＝CF＝2.
在Rt△EFC中，EF＝＝.
（2）证明：如答图，过点F作FG⊥AE于点G.
∵AF平分∠DAE，∠D＝90°，FG⊥AE，
∴∠DAF＝∠EAF，FG＝FD.
又∵AF＝AF，∠FGA＝∠D＝90°，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（AAS），∴AG＝AD.
∵DF＝FC＝FG，FE＝FE，
∴Rt△FGE≌Rt△FCE（HL），∴GE＝CE.
∵AE＝AG＋GE，AG＝AD＝CD，GE＝CE，
∴AE＝EC＋CD.
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5第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
1．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
2．[2019·雅安]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的形状是（ ? ）
?A．平行四边形
?B．矩形
?C．菱形
?
D．正方形
3．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形DECF是正方形．
4．[2018·舟山]如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
5．如图，在?ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝
°时，四边形ACED是正方形．请说明理由．
6．（逻辑推理）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
参考答案
1．B
2．C
3.
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是正方形．
4．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
∠AEF＝∠AFE＝60°.
又∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABE≌△ADF（?AAS?），∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
5.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO＝∠ECO，∠DAO＝∠CEO.
又∵OC＝OD，∴△AOD≌△EOC（AAS）.
（2）解：当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．
理由：∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.
又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴?ACED是菱形．
∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，
∴菱形ACED是正方形．
6.（1）证明：如答图1，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q.
∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP.
∵∠QEF＋∠FEP＝90°，∠PED＋∠FEP＝90°，
∴∠QEF＝∠PED.
在?Rt?△EQF和?Rt?△EPD中，
∴?Rt?△EQF≌?Rt?△EPD（ASA），∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(答图1))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(答图2))
（2）解：如答图2，在?Rt?△ABC中，AC＝AB＝4.
∵EC＝2，∴AE＝CE，
∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2.
（3）解：①如答图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°＋40°＝85°.
∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°.∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝180°－∠ECF－∠CEF＝130°.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(答图3))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(答图4))
②如答图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°.
综上所述，∠EFC＝130°或40°.
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