北师大版七下数学 4.4用尺规作三角形教案

4.4
用尺规作三角形
〖教学目标〗
　　1．知识与技能：掌握利用尺规作三角形的基本方法。
　　2．过程与方法：(1)经历在给定条件下(两角夹边、两边夹角和三边)，利用尺规作出三角形的过程；(2)能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。
　　3．情感与态度：在利用尺规作图的过程中，培养自信心、动手能力和探索精神。
1、重点：能根据题目所给条件正确做出三角形。
2、难点：作图方法的合理性及作图的规范化。
〖教学设计〗
??(一)巧设现实情境，引入新课
　　师：在第二章我们已学习过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。现在回忆一下用尺规作图的一般步骤。
　　生：用尺规作图的步骤有：已知、求作。
　　师：他的回答对吗?
　　生：他的回答不完整，应该还有分析、作法。
　　(点评：让学生在倾听其他同学发言的过程中，培养学生的批判意识和怀疑精神。)
　　师：很好。下面大家来作一条线段等于已知线段。
　　生：(小组讨论后一位同学回答)已知：线段a。求作：一条线段，使它等于a。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1
???
作法：(1)作射线AC；?
(2)在射线AC上截取AB=a。
???
则线段AB就是所求作的线段。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
???
(点评：教师让学生分组讨论，有意识地培养他们合作学习的能力。)
　　师：好，那如何作一个角等于已知角呢?
　　生：已知：∠AOB。求作：一个角，使它等于∠AOB。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3
???
作法：(1)作射线O′A′；
???
(2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
???
(3)以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；
???
(4)以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；
???
(5)过D′作射线O′B′。
???
则∠A′O′B′就是所求作的角。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4
　　师：很好，大家基本掌握了用尺规作线段和角。边和角是三角形的基本元素，如果给了一些三角形的基本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗?这节课我们就利用尺规作一个三角形与已知三角形全等。
(二)讲授新课
　　师：下面我们来做一做：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。
???
如何求作这个图形呢?
　　(师生共析：
需要先写出已知、求作，然后进行分析，最后作图形，写作法。)?
???
已知：线段a,c,∠α。
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5
???
求作：△ABC，使BC＝a，AB=c，∠ABC=∠α。
　　师：假设这个三角形已作出，从图中可知，已知条件是两边及其夹角。那么我们第一步应该先作什么呢?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6
　　生1：如图6，可先作一条线段等于已知线段中的任一条。
　　生2：然后可以以所作的线段为角的一边，它的一端点为角的顶点作角，使这个角等于已知角。再在角的另一边上截取与另一条已知线段相等的线段，最后连接，组成三角形。
　　师：他们说得好不好?
　　生：好。
　　师：下面大家按刚才的叙述步骤来作图。
?
　(教师叙述作法，师生共同完成作图。)
作法
示范
1．作一条线段BC＝a。
2.以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α。
3.在射线BD上截取线段BA＝c。
4.连接AC。△ABC就是所求作的三角形。
(点评：师生共同分析，体现出师生在课堂上的互动，使学生在轻松活跃的气氛中学会作三角形。)
　　师：大家做得很好。现在将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗?为什么?
　　生：全等。因为两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
　　师：同学们真棒。大家想一想：这个题还有没有其他的作法呢?
　　生：有，先作出一个角等于已知角，然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段，进而作出三角形。　　
　　(点评：学生在作图时能提出问题，并想办法解决问题，教师起到引导者、组织者的角色。)
　　师：很好。哪位同学口述作法呢?
　　生：(1)作∠DBF=∠α；
???
(2)在射线BD上截取BA=c，在射线BF上截取BC=a；
???
(3)连接AC。
???
△ABC就是所求作的三角形。
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　图7
???
(点评：当学生的思维不受任何限制时是最活跃的。学生不仅能想出这么多的作法，而且说得头头是道，这是我没想到的。现在的学生真是了不起!)
　　师：这位同学叙述得真好。下面大家来根据作法画出相应的图形。
　　已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
　　已知：∠α，∠β，线段c。
　　
　　　　　　　　　　　　　　图8
　　求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，BA=c。
　　请按照给出的作法作出相应的图形。
作法
图形
1．作∠DAF＝∠α。
?
2．在射线AF上截取线段AB＝c。
?
3．以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C。△ABC就是所求作的三角形。
?
　　师：在画图时，要准确运用直尺和圆规，并要注意保留作图痕迹。
??
生：我们根据给出的作法，画出相应的图形(如图9)。
　　
　　　　　　　　　　　　　　　图9
　　师：同学们画得很准确，将你作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗?为什么?
　　生：我所作的三角形与同伴作出的三角形进行了比较，它们全等。因为两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
　　师：很好。下面请大家独立作一个图形，以巩固尺规作图的技能。
???
(点评：教师为学生提供一定的活动素材，并给学生大量的时间和空间，让学生通过自己发现、探索和讨论交流等活动，亲身经历知识的形成过程。)
(三)课堂练习
???
已知三角形的三条边，求作这个三角形。
???
已知：线段a,b,c。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图10
?
求作：△ABC,使AB=c，AC=b,BC=a。
???
(1)请写出作法并作出相应的图形。
???
(2)将你作出的三角形与同伴作的进行比较，它们全等吗?为什么?
???
答案：(1)作法及图形如下表：
???
(2)根据已知条件所作的三角形都是全等的。因为三边对应相等的两个三角形全等。
作法
图形
1．作一条线段BC＝a。
?
2．分别以B，C为圆心，以c,b为半径画弧，两弧交于点A。
?
3.连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形。?
?
(四)小结
???
请同学们谈谈本节课有哪些收获。
　　生1：本节课我们利用尺规作出了一些三角形。
　　生2：在几何作图中，通常先画出所要求作的图形的草图，然后根据草图把已知事项具体化；在求作中，通常先写出要作出什么图形，再写出这个图形符合什么条件。写作法时，一般不重复基本作法过程。如作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角等。
　　生3：几何作图的每一步作法都必须有根有据。
(五)作业
?(1)课本习题4.9第1～3题。
?(2)活动与探究：我们经常能见到国徽、国旗以及军人帽徽上的五角星。图11中也有一个漂亮的五角星。你想画出它吗?
??要想画一个很漂亮的五角星，需要先画出一个正五边形。如何画正五边形呢?可按下面的方法来画(如图12)：
??(1)作⊙O；
??(2)作直径AC垂直于直径BD；
??(3)以OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点F；
??(4)以BF为半径，从圆周上B点起依次截取就可得到正五边形的五个顶点。
???
连接正五边形所有的对角线，再稍加修饰就构成一个漂亮的五角星了。
　　　
　　　　　　　图11　　　　　　　　　　图12
???
意图：让学生在画图的过程中，进一步掌握尺规作图的技能。
???
(点评：结合生活实际设计，对知识进行强化巩固，使学习和生活紧密相连，激发学生的学习兴趣。)
〖教学反思〗
???
本节课有三个尺规作图，第一个作图给出作法和示范，让学生进行模仿；第二个作图只给出作法，没有给出示范，让学生根据已知步骤独立作出图形；第三个作图让学生自己探索作法，并独立作出图形。通过这三个作图使学生经历从模仿、独立完成作图，到探索作图的过程，巩固尺规作图的技能。在此基础上，还引导学生利用已获得的三角形全等的条件来说明大家所作出的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性，从而有意识地向学生渗透直观操作和推理相结合的理念。从这一堂课来看，基本上达到了目标。对于“已知、求作和作法”的书写要求，根据学生的实际情况循序渐进，做到在正确作图的基础上能用自己的语言表述作图的过程就可以了。本节课也反映出一些问题，比如，有的同学会作图但不会表述作图的过程，等等。这些问题还需要共同探讨。
???
本节课较满意的地方是：当我不给学生任何限制，让他们的思维自由运行时，他们的思维是最活跃的，思路是最为开阔的。我的体会是：在教学前要全面了解学生，确定合适的教学起点，在教学中又要时时关注他们的表现，不断调整自己预设的思路。
4
/
7