北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程单元测试卷（附答案解析）

第二章质量评估试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为（　　）
?A．x1＝－1，x2＝3
?B．x1＝1，x2＝－3
?C．x1＝1，x2＝3
?D．x1＝－1，x2＝－3
2．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为（　
）
?A．（x＋2）2＝3
?B．（x＋2）2＝5
?C．（x－2）2＝3
?D．（x－2）2＝5
3．方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝（　
　）
?A．－6
?B．6
?C．－3
?D．3
4．当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为（　?
）
?A．有两个不相等的实数根
?B．有两个相等的实数根
?C．没有实数根
?D．无法确定
5．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　
　）
?A．0
?B．±1
?C．1
?D．－1
6．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　?
）
?A．k≤2
?B．k≤0
?C．k＜2
?D．k＜0
7．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　?　）
?A．x1≠x2
?
B．x1＋x2＞0
?C．x1x2＞0
?
D．x1＜0，x2＜0
8．如图，在长为33
m、宽为20
m的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510
m
2，则道路的宽为（　
　）
?A．1
m?
?B．2
m?
?C．3
m?
?D．4
m?
9．一个容器盛满纯药液63千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液剩下28千克，那么每次倒出的药液是（　
　）
?A．20千克
?
B．21千克
?C．22千克
?
D．175千克
10．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　）
?A．m＝－2
?
B．m＝3
?C．m＝3或m＝－2
?
D．m＝3或m＝2
11．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是　Ｗ．
12．已知关于x的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　
　Ｗ．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是　
　Ｗ．
14．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为
　Ｗ．
15．关于x的方程ax2＋4x－2＝0（a≠0）有实数根，那么负整数a＝　
（填一个即可）.
16．设a，b是方程x2＋x－2
019＝0的两个实数，根则（a－1）（b－1）的值为　
　Ｗ．
三、解答题（本大题共9个小题，共96分）
17．（16分）解方程：
（1）（x＋8）2＝36；
（2）x（5x＋4）－（4＋5x）＝0；
（3）x2＋3＝3（x＋1）；
（4）2x2－x－1＝0（用配方法）.
18．（8分）已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2和m，求m，n的值．
19．（10分）先化简，再求值：÷（m＋2－），其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．
20．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128
人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608
人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
21．（10分）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40平方米，求BC的长．
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图1))
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图2))
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
23．（10分）某汽车租贸公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆．
（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10
120元？
（2）公司领导希望日收益达到10
160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金；若不能，请说明理由．
（3）汽车日常维护需要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5
500元？（利润＝收益－维护费）
24．（10分）阅读与应用：同学们，你们已经知道（a－b）2≥0，即a2－2ab＋b2≥0.所以a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）.
阅读1：若a，b为实数，且a＞0，b＞0，∵（－）2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2（当且仅当a＝b时取等号）.
阅读2：若函数y＝x＋（m＞0，x＞0，m为常数）.由阅读1结论可知：x＋≥2，即x＋≥2，∴当x＝，即x2＝m，x＝（m＞0）时，函数y＝x＋的最小值为2.
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y＝a－1＋（a＞1），则a＝　4　时，函数y＝a－1＋（a＞1）的最小值为　
　Ｗ．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2，求当x＝　
　时，矩形周长的最小值为　
　Ｗ．
问题3：求代数式（m＞－1）的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
25．（12分）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm?，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以
2
cm/s的速度向D点移动．
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33
cm2？
（3）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10
cm?？
eq
\o(\s\up7(),\s\do5())
参考答案
1.
C
2.
D
3.
C
4.
A
【解析】
∵b＋c＝5，∴c＝5－b，Δ＝b2－4×3×（－c）＝b2＋12c＝b2－12b＋60＝（b－6）2＋24＞0，∴关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0有两个不相等的实数根．
5.
D
【解析】
当x＝0时，a2－1＝0，∴a＝±1，∵原方程是一元二次方程，∴a≠1，∴a＝－1.
6.
C
【解析】
由题意可知，Δ＞0，即（－2）2－4（k－1）＞0，解得k＜2.
7.
A
【解析】
∵Δ＝a2＋8＞0，∴无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得x1x2＝－2，∴x1，x2异号，故选A.
8.
C
【解析】
设道路的宽为x
m?，根据题意得20x＋33x－x2＝20×33－510，整理，得x2－53x＋150＝0，解得x＝50（舍去）或x＝3，所以道路宽为3
m?.
9.
B
【解析】
设每次倒出药液x升．依题意，得＝1－，整理，得x2－126x＋2
205＝0，解得x1＝21，x2＝105（不合题意，舍去）.
10.
A
【解析】
由题意可得x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝12.因为x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m，所以（－2m）2－2（m2＋m）＝12，解得m1＝3，m2＝－2.当m＝3时，Δ＝62－4×1×12＜0，所以m＝3应舍去；当m＝－2时，Δ＝（－4）2－4×1×2＞0，符合题意，所以m＝－2.
11.
-2
【解析】
设方程另一个根为x1，由根与系数的关系知1×x1＝－2，所以x1＝－2.
12.
a>－且a≠0
【解析】
因为关于x的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，所以a≠0，且22－4a（－3）>0，解得a>－且a≠0.
13.
13
【解析】
解方程x2－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4.根据三角形三边关系知x1＝2不能为三角形的第三边，∴x2＝4为三角形的第三边，∴此三角形的周长为3＋4＋6＝13.
14.
24
15.
-2或-1
【解析】
关于x的方程ax2＋4x－2＝0（a≠0）有实数根，那么Δ＝42－4×a×（－2）≥0，解得a≥－2，由于a是负整数，因此可以取－2或－1.
16.
-2
017
【解析】
根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2
019，∴（a－1）（b－1）＝ab－（a＋b）＋1＝－2
019＋1＋1＝－2
017.
17.
（1）解：直接开平方，得x＋8＝±6，
∴x1＝－2，x2＝－14.
（2）解：提公因式，得（4＋5x）（x－1）＝0，
则4＋5x＝0或x－1＝0，
∴x1＝－，x2＝1.
（3）解：整理，得x2－3x＝0，
分解因式，得x（x－3）＝0，
则x＝0或x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3.
（4）解：方程两边同除以2，得x2－x－＝0，
移项，得x2－x＝，
配方，得＝，
开平方，得x－＝±，
∴x1＝1，x2＝－.
18.
解：将x＝－2代入原方程，得（－2）2－2＋n＝0，
解得n＝－2.
因此原方程为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2，x2＝1，
∴m＝1.
19.
解：原式＝÷
＝·
＝.
∵m是方程x2＋2x－3＝0的根，
∴m＝－3或m＝1.
当m＝－3时，原式无意义．
当m＝1时，原式＝＝＝.
20.
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x.根据题意，
得128＋128
（1＋x）＋128
（1＋x）2＝608，
解得x1＝0.5，x2＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）第四个月进馆人数为128＝432（人次）.∵432＜500，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
答：校园书馆能接纳第四个月的进馆人次．
21.
解：（1）设BC的长为x米，则AB的长为米．
根据题意，得x·＝40，
整理，得x2－24x＋80＝0.
解得x1＝4，x2＝20.
∵20＞15，
∴x＝4，
∴BC的长为4米．
（2）不能围成．理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为米．
根据题意，得y·＝50，
整理，得y2－24y＋150＝0.
∵Δ＝（－24）2－4×1×150＝－24＜0，
∴该方程无实数根．
∴不能围成面积为50平方米的花圃．
22.
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，
即4＋4（k＋2）＞0，得k＞－3.
（2）取k＝－2，原方程化为x2－2x＝0，
x（x－2）＝0，∴x1＝0，x2＝2.
23.
解：（1）设租金提高x元，则每日可租出辆．
依题意，得（200＋x）＝10
120，
整理，得x2－50x＋600＝0，
解得x1＝20，x2＝30.
答：当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10
120元．
（2）假设能实现，设租金提高x元．
依题意，得（200＋x）＝10
160，
整理，得x2－50x＋800＝0.
∵Δ＝（－50）2－4×1×800＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴日收益不能达到10
160元．
（3）设租金提高x元．
依题意，得（200＋x）－100－50×＝5
500，
整理，得x2－100x＋2
500＝0，
解得x1＝x2＝50，
所以200＋x＝250.
答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5
500元．
24.
4
6
2
8　
解：问题3：设y＝（m＞－1），y＝＝（m＋1）＋.
当m＋1＝时，即m＝1时，y＝4.
答：代数式（m＞－1）的最小值为4.
问题4：根据题意，得长方体的宽为米．
∴y＝x·×120＋×2×2×80＋80×2×2x＝480＋320.
当x＝时，即x＝2时，函数y＝480＋320的最小值为1
760.
答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1
760元．
25.
　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(答图))
解：（1）设P，Q两点从出发开始到x
s时，四边形APQD为长方形．
根据题意，得16－3x＝2x，解得x＝，故P，Q两点从出发开始到s时，四边形APQD为长方形．
（2）设P，Q两点从出发开始到y
s时，四边形PBCQ的面积为33
cm
2.
根据题意，得×6×（16－3y＋2y）＝33，解得y＝5，故P，Q两点从出发开始到5
?s时，四边形PBCQ的面积为33
cm
2.
（3）如答图，过点Q作QE⊥AB于点E.
设P，Q两点从出发开始到z
?s?时，点P和点Q的距离是10
?cm?.
根据题意，得（16－3z－2z）2＋62＝102，
整理，得（16－5z）2＝82，
解得z1＝，z2＝.
经检验，均符合题意，故P，Q两点从出发开始到s或s时，点P和点Q的距离是
10
cm.
1