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专题17
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
【例1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
【答案】
【解析】，
①＋②＋③得：
，
即，
④－①得：
④－②得：
④－③得：
故方程组的解为：
【名师点睛】本题考查加减消元法求解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法求出．
【举一反三】
1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
【答案】
【解析】
把①代入②得：，
把，代入③得：，
故方程组的解为
【名师点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法．
2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
【答案】
【解析】
把②分别代入方程①③得：
，
解得，，
所以，
，
故原方程组的解为
【名师点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是经过代入消元法把原方程组变成二元一次方程组求解．
3．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
【答案】
【解析】
③－①得：即，
④＋②得：，
把代入④得：
把代入①得：
故方程组的解为：
【名师点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是熟练运用消元法将其转化为二元一次方程组．
1．（2019·四川省初一期末）下列四组数中，是方程组
的解是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
把x=1,y=-2代入（2）得，
z=3,
∴
.
故选D.
2．（2019·云南省初一期中）如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
【答案】A
【解析】
①﹣②，得
x﹣z＝2④
③+④，得
2x＝6，
解得，x＝3
将x＝3代入①，得
y＝5，
将x＝3代入③，得
z＝1，
故原方程组的解是，
又∵方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，
∴3k+2×5﹣3×1＝8，
解得，k＝，
故选：A．
【名师点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握解方程组的方法是解题的关键．
3．（2020·南昌二中高新校区初三期中）已知三元一次方程组，则（ ）
A．20
B．30
C．35
D．70
【答案】C
【解析】，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故选C．
【名师点睛】本题考查了解三元一次方程组，本题的关键是将三个方程相加得出结果.
4．（2020·山东省初三零模）在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（
）
A．6种
B．7种
C．8种
D．9种
【答案】D
【解析】试题解析：设大绳买了x条，小绳条数y条，毽子z个，则有：
根据已知，得x=1或2，
当x=1时，有z=20-3y，此时有：y值可取1，2，3，4，5，6；共六种；
当x=2时，有z=10-3y，此时有：y值可取1，2，3；共三种.
所以共有9种买法.
故选D.
5．（2020·许昌市第二中学初一月考）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )．
A．3
B．－3
C．－4
D．4
【答案】D
【解析】由题意，得：
解得：
将代入y=kx-9中，得：-1=2k-9，
解得：k=4.
故选D.
【名师点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.
6．（2020·全国初一课时练习）解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A选项：得，得，故正确；
B选项：得，得，故错误；
C选项：得，得，故错误；
D选项：得，得，故错误.
故选：A.
【名师点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（2018·湖北省初一期中）解三元一次方程组
【答案】
【解析】
②-①，得；
④
③-①，得.
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把代入①，得.
因此
8．（2020·灵璧县邱庙初级中学初二月考）解下列方程组
(1)
(2)
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)，
①-②得y-z=-2，与③联立得2y=17，则y=，
则分别代入①，③求得x=，z=.
故
（2），
由①可得：，
代入②中得：，
解得x=，
代入①中得y=7
故.
【名师点睛】此题考查二元一次方程组、三元一次方程组，解题关键在于掌握消元法解方程组.
9．（2019·福建省初一期末）由不同生产商提供套校服参加比选，甲、乙、两三个同学分别参加比选，比选后结果是：每套校服至少有一人选中，且每人都选中了其中的套校服．如果将其中只有人选中的校服称作“不受欢迎校服”，人选中的校服称作“颇受欢迎校服”，人都选中的校服称作“最受欢迎校服”，则“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多________________套．
【答案】2
【解析】设“最受欢迎校服”的套数为x,
“颇受欢迎校服”的套数为y,“不受欢迎校服”的套数为z,
根据题意可得
②-①得2x+y=8③
①-③得z-x=2
即“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多2套
故答案为：2．
【名师点睛】此题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系得到方程组求解．
10．（2019·永州市李达中学初一月考）有甲、乙、丙三种商品，如果甲购3件，乙2件，丙1件共需420元，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需__________．
【答案】200元．
【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．
根据题意，得
，
两方程相加，得
4x+4y+4z=800，
∴x+y+z=200．
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需200元．
故答案是：200元．
【名师点睛】此题考查三元一次方程组的应用，要注意观察方程组的系数，能够运用加减法整体求解．
11．（2019·山东省初一期中）解关于、、的三元一次方程组，得______．
【答案】2
【解析】，
由①+②得：2x+4y=?2，即x+2y=?1，
由②×3+③得：3x+11y=?8，
解方程组，
解得：，
将y=?1代入②得：z=?2，
∴，
故答案为：2．
【名师点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，在解题的过程中用到了转化思想、消元法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．
12．（2020·江苏省初一期中）已知
x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0（），则=_____．
【答案】
【解析】由题意得：，
①×2-②得y=11z，
代入①得x=-19z，
原式=．
故本题答案为：．
点睛：此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．
13．（2020·全国初一课时练习）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是____.
【答案】217
【解析】设个位上的数字是x,则十位上的数字为y,百位上的数字为z
依题意得:
解得
所以,原来的三位数字是217.
【名师点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法,解答此题的关键是列出方程组,用代入消元法或加减消元法求出方程组的解.
14．（2020·全国初一课时练习）有A，B，C三种不同的货物，如果购买A种货物3件、B种货物7件、C种货物1件，需付人民币315元；如果购买A种货物4件、B种货物10件、C种货物1件，需付人民币420元，某人想购买A，B，C各一件，需付________元.
【答案】105
【解析】设A，B，C三种不同的货物的单价分别为x,y,z元，
依题意得
设x+y+z=m()+n()
则
解得
∴x+y+z=3()-2()=3×315-4×420=105
故填：105.
【名师点睛】此题主要考查三元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
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专题17
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
【例1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
【答案】
【解析】，
①＋②＋③得：
，
即，
④－①得：
④－②得：
④－③得：
故方程组的解为：
【名师点睛】本题考查加减消元法求解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法求出．
【举一反三】
1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
3．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
1．（2019·四川省初一期末）下列四组数中，是方程组
的解是(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2019·云南省初一期中）如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
3．（2020·南昌二中高新校区初三期中）已知三元一次方程组，则（ ）
A．20
B．30
C．35
D．70
4．（2020·山东省初三零模）在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（
）
A．6种
B．7种
C．8种
D．9种
5．（2020·许昌市第二中学初一月考）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )．
A．3
B．－3
C．－4
D．4
6．（2020·全国初一课时练习）解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2018·湖北省初一期中）解三元一次方程组
8．（2020·灵璧县邱庙初级中学初二月考）解下列方程组
(1)
(2)
9．（2019·福建省初一期末）由不同生产商提供套校服参加比选，甲、乙、两三个同学分别参加比选，比选后结果是：每套校服至少有一人选中，且每人都选中了其中的套校服．如果将其中只有人选中的校服称作“不受欢迎校服”，人选中的校服称作“颇受欢迎校服”，人都选中的校服称作“最受欢迎校服”，则“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多________________套．
10．（2019·永州市李达中学初一月考）有甲、乙、丙三种商品，如果甲购3件，乙2件，丙1件共需420元，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需__________．
11．（2019·山东省初一期中）解关于、、的三元一次方程组，得______．
12．（2020·江苏省初一期中）已知
x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0（），则=_____．
13．（2020·全国初一课时练习）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是____.
14．（2020·全国初一课时练习）有A，B，C三种不同的货物，如果购买A种货物3件、B种货物7件、C种货物1件，需付人民币315元；如果购买A种货物4件、B种货物10件、C种货物1件，需付人民币420元，某人想购买A，B，C各一件，需付________元.
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专题17
三元一次方程组的解法
考点精讲
知识点1
三元一次方程组的解法
通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
【答案】
考点精炼
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