初中数学人教版七年级数学上3.4 实际问题与一元一次方程 课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
第三章
一元一次方程
3.4
实际问题与一元一次方程
①相遇问题：
甲走的路程+乙走的路程
=甲乙两出发地的路程
练1：甲乙两地相距230千米,一辆卡车和一辆客车分别以50千米/小时和40千米/小时的速度从两地出发,相向而行,若卡车早出发1小时,则问客车出发后几小时两车相遇?
卡车后行
230千米
客车行的路程
卡车先行
相遇
卡车先行的S+后行的S+客车行驶的S=230千米
解：设客车出发后
小时两车相遇。
答：客车出发后2小时两车相遇。
练1：甲乙两地相距230千米,一辆卡车和一辆客车分别以50千米/小时和40千米/小时的速度从两地出发,相向而行,若卡车早出发1小时,则问卡车出发后几小时两车相遇?
卡车后行
230千米
客车行的路程
卡车先行
相遇
卡车行的S+客车行驶的S=230千米
解：设卡车出发后
小时两车相遇。
答：卡车出发后3小时两车相遇。
50x+40(x-1)=230
X=3
②追及问题：
快跑路程AC=慢跑路程BC+相距路程AB
练2　甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分行走200米，并且先出发20分。乙每分行走300米，两人同时到达。乙用多少时间？距离商店有多远？
解：设乙用
分，则
答：乙用40分钟，距离商店12000米？
300x
米
4000米
200x
米
练2：甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分行走200米，并且先出发20分。乙每分行走300米，两人同时到达。甲用多少时间？距离商店有多远？
乙走（x-20)分
甲先走20分钟
甲后走（x-20)分
解设甲用了X分
200x=300（x-20)
X=60
答：甲用60分钟，距离商店12000米？
某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
设由A地到B地规定的时间是
x
小时
12x＝
方法二：设由A、B两地的距离是
x
千米
甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。
解：设乙的速度是
x
千米/时，则
3x＋3
(2x＋2)＝25.5×2
航行问题：
飞机的飞行
顺风飞行
逆风飞行
轮船的航行：
顺水航行
逆水航行
速度关系：
逆水速度＝船在静水中的速度－水速
顺水速度＝船在静水中的速度＋水速
逆风速度＝在无风中的速度－风速
顺风速度＝在无风中的速度＋风速
例1:
一条船在两个码头之间航行。顺水时需要4.5小时，逆水返回需要5小时20分钟，水流速度是1千米/时，这两个码头相距多少千米？
一轮船往返于甲乙两码头，顺水航行需要3小时，逆水航行比顺水航行多45分钟。若轮船在静水中的速度为每小时24千米，求水流速度。
例2.一小船由A顺流到B需行驶6小时，由B逆流到A需行驶8小时，一天，小船由A顺流到达B发现一救生圈中途落水，立即返回，1小时后找到救生圈，若水流速度是2千米/时。
（1）小船在静水中的速度是多少？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
解：设A与B的距离是x千米
②
当C在BA的延长线上时
解得x＝120
解得x＝56
答：A与B的距离是120千米或56千米。
①
当C在A、B之间时
乙
甲
乙
甲
环形背向相遇问题
环形同向相遇问题
例3
甲、乙两人在400米的环形跑道上散步，甲每分钟走110米，乙每分钟走90米，两人同时从一个地点出发，几分钟后两人第一次相遇？
分析：在环形跑道上运动，分两种情况：
已知：V甲〉V乙
图一所示实为
问题
相遇
图二所示实为
问题
追击
甲乙程和=周长
快的路程-慢的路程=周长
第10次相遇呢？
总结：在环形跑道上运动，分两种情况：
甲的行程＋乙的行程=跑道的周长
（2）同向而行：
甲的行程－乙的行程=跑道的周长
想一想
若把上题中的“第一次”相遇改为“第二次”
相遇需要时间又是多少呢？若改为“第n次”相遇呢？
（1）背向而行：
甲、乙两人在6千米的环形跑道上竞走，甲的速度是乙的速度7/5倍，从同一地出发同向而行，经35分钟后，他们第一次相遇。问甲、乙两人的速度是多少？
分析：在环形跑道上运动，相向而行，
第一次相遇时，速度快者比速度慢者
恰好多走了一圈。
例4:在钟表面上两点到三点之间，什么
时候分针和时针重合？
分析：用追及问题来解决来问题。
分针走的度数—时针走的=差距
6x-0.5x=60
解：设分针与时针重合需要x分
5.5x=60
练习：
在3点钟和4点钟之间，钟表上的
时针和分针什么时间重合？
3
12
1
2
6
5
4
分针走的度数—时针走的=差距
6x-0.5x=90
解：设分针与时针重合需要x分
5.5x=90
措车问题：
游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，一个骑自行车的人以每小时15千米的速度向游行队伍迎面驶来，他从队头骑到队尾用去2分钟，求游行队伍的长度。
算术法：
人走路程+队伍走的路程=队伍的长
措车问题：
游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，一个骑自行车的人以每小时15千米的速度向游行队伍迎面驶来，游行队伍的长度为600米，求他从队头骑到队尾用的时间？
同向措车问题：
长为600米的游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，第二队伍以每小时15千米的速度同向来行驶，该游行队伍的长度为300米，求第二队从队头接触到队尾离开所用的时间？
相向措车问题：
长为600米的游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，第二队伍以每小时15千米的速度迎面行驶，该游行队伍的长度为300米，求两队从队头接触到队尾离开所用的时间？
与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴
行人的速度为每秒多少米？
⑵
这列火车的车长是多少米？
等量关系：
①
两种情形下火车的速度相等
②
两种情形下火车的车长相等
在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：⑴
行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒
骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒
⑵
方法一：设火车的速度是x米/秒，则
26×(x－3)＝22×(x－1)
解得x＝4
方法二：设火车的车长是x米，则
工程问题
工程问题中的数量关系：
1）
工作效率=
2）工作总量=工作效率×工作时间
3）工作时间=
4）各队合作工作效率=各队工作效率之和
5）全部工作量之和=各队工作量之和
例
修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成
1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，
剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？
解：
1）设两工程队合作需要x天完成。
2）设修好这条公路共需要
y
天完成。
等量关系：
甲30天工作量+乙队y天的工作量
=
1
答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。
等量关系：甲工作量+乙工作量=1
依题意得
依题意得
y=75
x=48
一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，甲先做5天之后乙又做了10天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需几天？
某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而
且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
利息问题
例
：小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄。今
年到期后，扣除利息税20%，所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？
解：设小明爸爸前年存了x元。
依题意得：2
×
2.43%x
（1－
20%）=
48.6
x
=
1250
答：小明爸爸前年存了1250元钱
等量关系：利息－利息税=应得利息
利息
=
本金
×
年利率
×
期数
利息税
=
本金
×
年利率
×
期数×税率（20%）
利息问题
练习：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元。甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各多少元？
解：设甲种存款为x万元。则乙种存款为（20
-
x)万元
根据题意得：
解方程得：
x
=
5
所以
20
–
x
=
15
答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元
调配问题
例:某部队开展支农活动，甲队27人，乙队19人，现另调26人去支援，使甲队是乙队的2倍，问应调往甲队、乙队各多少人？
解：设调往甲队x人，则调往乙队（26-x)人
根据题意，得方程：
解方程得：x
=
21
答：调往甲队21人。调往乙队5人。
甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
配套问题
等量关系式：
生产出来的两种产品总量成比例
例：包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？
某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
日历数字问题
例1：日历中2×2方块的四个数的和是72，求这四个数。
解：设四个数中最小的数为x,
解方程，得：x
=
14
答：这四个数分别为14，15，21，22。
例2：一个两位数，个位数字与十位数字的和是11，若交换十位数字与个位数字的位置，则新数比原数小9，求原两位数。
练习
1、一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？
2、一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上与个位上的数字之和为这个数的，求这个两位数？
市场经济问题
市场经济问题
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
典型例题
例1：小明家的灯泡坏了，去商店买，现有两种灯泡可供选择，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价是60元；另一种是60瓦（即0.06千瓦）的白炽灯，两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到3000小时，节能灯售价高，但是较省电；白炽灯售价低，但是用电多，如果电费的单价是0.5元/千瓦时，选哪种灯可以节省费用（灯的售价加电费）？
解析：
1、问题中的基本等量关系有哪些？
（1）总费用=灯的售价+
；
（2）电费=灯的千瓦数×
×
。
2、列式表示费用：
设照明时间是t小时，则节能灯的费用=
；
白炽灯的费用=
。
3、哪一种灯的费用低呢？用特殊值验证一下。
当t＝2000时，节能灯的费用=
；白炽灯的费用=
。当t＝2500时，节能灯的费用=
；白炽灯的费用=
。
4、照明多少小时用这两种灯的费用相等？
5、如果计划照明时间3500小时，则需要购买两个灯，试设计你认为能省钱的选灯方案。
练习：
1、某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元；该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行；受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案，方案一：尽可能多地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利多呢？
解：方案一：尽可能多地做奶片，可做
吨，获利
元。
方案二：设x天生产奶片，则
天生产酸奶，列方程得
。
解得x=
。∴生产奶片
吨，生产酸奶
吨，共获利
元。
（或设x吨鲜奶制成奶片，则其余
吨鲜奶制成酸奶，列方程得
。解得x=
。∴共获利
元。）
∵
，
∴
。
2、某市百货商店元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元按9折优惠；超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，
问：（1）此人两次购物，其所购物品打折前是多少钱？
（2）在此活动中，他节省了多少钱？
（3）若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品，能省
钱吗？说明你的理由。