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第17章《一元二次方程》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故选：C．
2．（4分）用配方法解一元二次方程3x2﹣6x﹣5＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝
B．（x﹣1）2＝
C．（x﹣1）2＝8
D．（x﹣1）2＝6
解：∵3x2﹣6x＝5，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：A．
3．（4分）已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜x1＜﹣1
B．﹣3＜x1＜﹣2
C．2＜x1＜3
D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
x＝，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
4．（4分）已知a是有理数，则a2﹣2a+4的最小值是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
解：a2﹣2a+4＝（a2﹣2a+1）+3＝（a﹣1）2+3，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+3≥3，即a2﹣2a+4≥3，
则a2﹣2a+4的最小值是3，
故选：A．
5．（4分）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或
B．24
C．
D．24或
解：x2﹣16x+60＝0，
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
x﹣6＝0或x﹣10＝0，
所以x1＝6，x2＝10，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高＝＝2，此时三角形的面积＝×8×2＝8
当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积＝×8×6＝24．
故选：D．
6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1
B．0
C．4
D．5
解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得c≤4．
故选：D．
7．（4分）某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10%
B．20%
C．90%
D．110%
解：设平均每次降价的百分率为x，则有：
70（1﹣x）2＝56.7
∴（1﹣x）2＝0.81
∴1﹣x＝±0.9
∴x1＝10%，x2＝190%（舍）
故选：A．
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
解：∵a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2019，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2019＝2018．
故选：B．
9．（4分）为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（ ）
A．200（1+x）＝500
B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500
C．200（1+x）2＝500
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝500
解：设3，4月平均每月的增长率为x，
又知：2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元，
所以，可列方程为：200（1+x）2＝500；
故选：C．
10．（4分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ．
解：根据题意得k﹣1≠0且△＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故答案为k≤且k≠1．
12．（5分）已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为 3 ．
解：设2x2+3＝t，且t≥3，
∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，
∴t＝3或t＝﹣5（舍去），
∴2x2+3＝3，
故答案为：3
13．（5分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 24 ．
解：依题意，得：1+2+3+…+a＝300，
整理，得：a2+a﹣600＝0，
解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故答案为：24．
14．（5分）若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝ ．
解：a2+ab﹣b2＝0
△＝b2+4b2＝5b2．
a＝＝b
∴＝．
故答案是：
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
解：（1）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
∴8x2﹣10x+3＝0，
∴（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，
则2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，
解得x＝或x＝；
（2）∵x2+2x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣2，
则△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴x＝＝﹣1．
16．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
解：（1）根据题意得m≠0且△＝（m﹣3）2﹣m（m﹣1）≥0，
解得m≤且m≠0；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程变形为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣8．
17．（8分）对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
解：（1）∵﹣7＜﹣2，
∴（﹣7）
（﹣2）＝14﹣4＝10；
（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
当x1＝﹣1，x2＝6时，x1
x2＝﹣6﹣36＝﹣42；
当x1＝6，x2＝﹣1时，x1
x2＝36+6＝42．
18．（8分）将一个容积为750cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程．该
方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x，
则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）?x＝600．
整理，得x2﹣15x+40＝0．
该方程属于关于x的一元二次方程．
19．（10分）随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降，某市2018年销售烟花爆竹10万箱，到2020年烟花爆竹的销售量为6.4万箱．
（1）求该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率；
（2）假设2021年该市烟花爆竹年销售量的平均下降率与前两年的年平均下降率相同，请你预测该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是多少万箱？
解：（1）设该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝6.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），
答：该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率20%；
（2）6.4×（1﹣20%）＝5.12（万箱），
答：该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是5.12万箱．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设x1，x2是方程的两根且，求m的值．
解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞．
故m的取值范围是m＞；
根据题意得
21．（12分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？
解：（1）设BC＝xm，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x1＝6，x2＝5．
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，
当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞18，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
22．（12分）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为MN＝2x+3
（2x+1）＝2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1＝ a2+4a ，S2＝ a2+4a+4 （需要化简）．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M＝（a﹣4）2，N＝16﹣（a﹣6）2，且M＝N，求（a﹣4）（a﹣6）的值．
解：（1）根据题意得：S1＝a（a+4）＝a2+4a，S2＝（a+2）2＝a2+4a+4，
∵S1﹣S2＝（a2+4a）﹣（a2+4a+4）＝a2+4a﹣a2﹣4a﹣4＝﹣4＜0，
∴S1＜S2；
故答案为：a2+4a，a2+4a+4；
（2）∵A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，
∴A﹣B＝2a2﹣6a+1﹣a2+4a+1＝a2﹣2a+2＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1≥1＞0，
则A＞B；
（3）由M＝N，得到M﹣N＝0，
∴（a﹣4）2﹣16+（a﹣6）2＝0，
整理得：a2﹣10a+18＝0，即a2﹣10a＝﹣18，
则（a﹣4）（a﹣6）＝a2﹣10a+24＝﹣18+24＝6．
23．（14分）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
（2）由题意得：
（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．
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第17章《一元二次方程》
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（4分）用配方法解一元二次方程3x2﹣6x﹣5＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝
B．（x﹣1）2＝
C．（x﹣1）2＝8
D．（x﹣1）2＝6
3．（4分）已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜x1＜﹣1
B．﹣3＜x1＜﹣2
C．2＜x1＜3
D．﹣1＜x1＜0
4．（4分）已知a是有理数，则a2﹣2a+4的最小值是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
5．（4分）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或
B．24
C．
D．24或
6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则常数c的值不可能为（ ）
A．﹣1
B．0
C．4
D．5
7．（4分）某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10%
B．20%
C．90%
D．110%
8．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
9．（4分）为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（ ）
A．200（1+x）＝500
B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500
C．200（1+x）2＝500
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝500
10．（4分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
．
12．（5分）已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为
．
13．（5分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为
．
14．（5分）若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝
．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
16．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
（8分）对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝，例如：4
2，因为
4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．
（1）求（﹣7）
（﹣2）的值；
（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1
x2的值．
18．（8分）将一个容积为750cm2的包装盒剪开、铺平．纸样如图所示．写出关于x的方程．该
方程是一元二次方程吗？如果是．把它化为一元二次方程的一般形式．
19．（10分）随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降，某市2018年销售烟花爆竹10万箱，到2020年烟花爆竹的销售量为6.4万箱．
（1）求该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率；
（2）假设2021年该市烟花爆竹年销售量的平均下降率与前两年的年平均下降率相同，请你预测该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是多少万箱？
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设x1，x2是方程的两根且，求m的值．
21．（12分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？
22．（12分）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为MN＝2x+3
（2x+1）＝2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1＝
，S2＝
（需要化简）．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A＝2a2﹣6a+1，B＝a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M＝（a﹣4）2，N＝16﹣（a﹣6）2，且M＝N，求（a﹣4）（a﹣6）的值．
23．（14分）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
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