(共10张PPT)
专题19
不等式
考点精讲
知识点1
不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
【答案】B
知识点2
不等式的基本性质
性质1:如果a>b，b>c，那么a>c(不等式的传递性).??
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b，那么a+c>b+c(不等式的可加性).?
性质3:?不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，ac
性质4:如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.?(不等式的加法法则)?
性质5:如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.?(可乘性)?
性质6:如果a>b>0，n∈N，n>1，那么an>bn，且.当0【答案】C
考点精炼
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专题19
不等式
知识点一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
【例1】（2020·全国初一课时练习）若
是关于x的一元一次不等式，则m的值为(
)
A．±1
B．1
C．－1
D．0
【答案】B
【解析】
根据一元一次不等式的概念，可知m+1≠0，解得m≠-1，然后根据次数可知m2=1，解得m=±1，因此可知m的值为1.
故选B.
【举一反三】
1．（2020·全国初一课时练习）根据下列数量关系，列出相应的不等式，其中错误的是（ ）
A．x的减去4小于1：
B．x与5的差不大于9：
C．y与5的和的3倍是一个负数：
D．x的2倍与2的差不小于零：
2．（2019·东方市八所中学初一期中）下列式子属于不等式的个数有（ ）
①＞50；②3x=4；③-1＞-2；④；⑤2x≠1．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2019·东方市八所中学初一期中）下列各数中，是不等式的解的是（）
A．
B．
C．
D．
知识点二、不等式的基本性质:??
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).??
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).?
性质3:?不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.?(不等式的加法法则)?
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.?(可乘性)?
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0【例2】（2019·洋县教育局初二期中）若，根据不等式的基本性质，下列变形中，不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：∵，∴，故A正确；
∵，∴，故B正确；
∵，∴，∴，故C错误；
∵，∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【举一反三】
1.（2018·云南省初一期末）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+7＜b+7
B．
C．﹣5a＞﹣5b
D．9a﹣2＞9b﹣2
2．（2019·浙江省初三二模）若x>y，a<1，则（
）
A．x>y+1
B．x+1>y+a
C．ax>ay
D．x－2>y－1
3．（2020·农安县小城子乡第三中学初一月考）下列不等式总成立的是（ ）
A．4a＞2a
B．a2＞0
C．a2＞a
D．-
2
≤0
1．（2019·山东省初二期中）苏州市2018年2月1日的气温是t℃，这天的最高气温是5℃，最低气温是-2℃，则当天我市气温t（℃）变化范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江省初二期末）用不等式表示：“的与的和为正数”，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·广东省初二期末）下列x的值中，能使不等式成立的是（
）
A．
B．2
C．3
D．
4．（2019·福建省初二期末）下列各数中，是不等式的解的是
A．
B．0
C．1
D．3
5．（2018·江西省初一期末）下列说法错误的是( )．
A．不等式x－3＞2的解集是x＞5
B．不等式x＜3的整数解有无数个
C．x＝0是不等式2x＜3的一个解
D．不等式x＋3＜3的整数解是0
6．（2019·广东省初一期末）以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解的是（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．
D．2
7．（2018·广西壮族自治区初一期末）由x＜y能得到mx＞my，则（ ）．
A．m＞0
B．m≥0
C．m＜0
D．m≤0
8．（2019·重庆市第十一中学校初二月考）下列不等式中不一定成立的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．（2020·河南省郑州市宇华实验中学初二月考）若x＋a＜y＋a，ax＞ay，则(
)
A．x＜y，a＞0
B．x＜y，a＜0
C．x＞y，a＞0
D．x＞y，a＜0
10．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
11．（2020·全国初一课时练习）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
12．（2020·全国初一课时练习）数学表达式中：①a2≥0
②5p-6q<0
③x-6=1
④7x+8y
⑤-1<0
⑥x≠3.不等式是________（填序号）
13．（2020·射阳县第二初级中学初一月考）如果，则_____．
14．（2020·安徽省金寨第二中学初一月考）如果a＞b，则－ac2________－bc2(c≠0)．
15．（2018·湖南省雅礼中学初一期中）实数在数轴上的位置如图所示，则①；②；③；④；⑤．以上说法正确的有____________．（在横线上填写相应的序号）
16．（2019·南通市第二中学初一月考）对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称为“幸运数”；如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数.若四位数为“幸运数”，且的三十三分之一是完全平方数，则符合条件的最大一个的值为_______．
17．（2020·福建省厦门一中初一月考）指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）
（1）由
，得
；根据不等式的基本性质__________________________；
（2）由，得；根据不等式得基本性质_____________________________；
18．（2019·山东省初二期中）若，试比较，的大小．
19．（2019·山东省初二期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题．
（1）完成下列填空：
已知
用“＜”或“＞”填空
5+2
3+1
﹣3﹣1
﹣5﹣2
1﹣2
4+1
（2）一般地，如果那么a+c
b+d（用“＜”或“＞”填空）．请你说明上述性质的正确性．
20．（2020·全国初二课时练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x（1）5x>4x+8
（2）x+2<-1
（3）-x>-1
（4）10-x>0
（5）-x<-2
（6）3x+5<0
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专题19
不等式
知识点一、不等式及其解集
1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。
【例1】（2020·全国初一课时练习）若
是关于x的一元一次不等式，则m的值为(
)
A．±1
B．1
C．－1
D．0
【答案】B
【解析】根据一元一次不等式的概念，可知m+1≠0，解得m≠-1，然后根据次数可知m2=1，解得m=±1，因此可知m的值为1.
故选B.
【举一反三】
1．（2020·全国初一课时练习）根据下列数量关系，列出相应的不等式，其中错误的是（ ）
A．x的减去4小于1：
B．x与5的差不大于9：
C．y与5的和的3倍是一个负数：
D．x的2倍与2的差不小于零：
【答案】B
【解析】A.
x的减去4小于1，列不等式为，正确，不合题意；
B.
x与5的差不大于9，列不等式为，错误，符合合题意；
C.
y与5的和的3倍是一个负数，列不等式为，正确，不合题意；
D.
x的2倍与2的差不小于零，列不等式为，正确，不合题意.
故选：B.
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．特别注意一些反映不等关系的关键词：小于，不小于，大于，不大于等.
2．（2019·东方市八所中学初一期中）下列式子属于不等式的个数有（ ）
①＞50；②3x=4；③-1＞-2；④；⑤2x≠1．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】∵（1）是不等式；（2）是等式；（3）是不等式；（4）是代数式（既不是等式，也不是不等式）；（5）是不等式；
∴上述式子中属于不等式的有3个.
故选C.
点睛：解答本题的要点有两点：（1）熟记：不等式的定义：“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”；（2）熟记常见的5种不等号：.
3．（2019·东方市八所中学初一期中）下列各数中，是不等式的解的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴是不等式的一个解；
故选择：C.
【名师点睛】本题考查了一元一次不等式的解，解题的关键是正确求出不等式的解集.
知识点二、不等式的基本性质:??
性质1:如果a>b，b>c，那么a>c(不等式的传递性).??
性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b，那么a+c>b+c(不等式的可加性).?
性质3:?不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，ac性质4:如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.?(不等式的加法法则)?
性质5:如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.?(可乘性)?
性质6:如果a>b>0，n∈N，n>1，那么an>bn，且.当0【例2】（2019·洋县教育局初二期中）若，根据不等式的基本性质，下列变形中，不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴，故B正确；
∵，∴，∴，故C错误；
∵，∴，故D正确；
故选：C．
【名师点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【举一反三】
1.（2018·云南省初一期末）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+7＜b+7
B．
C．﹣5a＞﹣5b
D．9a﹣2＞9b﹣2
【答案】D
【解析】A、∵a＞b，∴a+7＞b+7，故此选项错误；
B、∵a＞b，∴
＞
，故此选项错误；
C、∵a＞b，∴﹣5a＜﹣5b，故此选项错误；
D、∵a＞b，∴9a﹣2＞9b﹣2，故此选项正确．
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2019·浙江省初三二模）若x>y，a<1，则（
）
A．x>y+1
B．x+1>y+a
C．ax>ay
D．x－2>y－1
【答案】B
【解析】由x＞y，a＜1得：x＞y，1＞a，∴x+1＞y+a．
故选B．
【名师点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．
3．（2020·农安县小城子乡第三中学初一月考）下列不等式总成立的是（ ）
A．4a＞2a
B．a2＞0
C．a2＞a
D．-
2
≤0
【答案】D
【解析】A、当a
0时，不成立，故本选项错．
B、当a=0时，不成立，故本选项错．
C、当a介于0和1之间时，等式不成立，故本选项错．
D、无论a取何值时，-
2
≤0总是成立的，故本选项正确
综上，可得本题选D
【名师点睛】本题考查等式的性质的应用，能够找出反例即可．
1．（2019·山东省初二期中）苏州市2018年2月1日的气温是t℃，这天的最高气温是5℃，最低气温是-2℃，则当天我市气温t（℃）变化范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由最高气温是5℃，最低气温是?2℃，可得-2≤t≤5.故选D.
【名师点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，根据题意找出不等量关系式解答本题的关键．
2．（2020·浙江省初二期末）用不等式表示：“的与的和为正数”，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得.故选A.
【名师点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
3．（2019·广东省初二期末）下列x的值中，能使不等式成立的是（
）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】A
【解析】不等式x-1＜1的解集为：x＜2．
所以能使不等式x-1＜1成立的是-3．
故选：A．
【名师点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
4．（2019·福建省初二期末）下列各数中，是不等式的解的是
A．
B．0
C．1
D．3
【答案】D
【解析】满足不等式x>2的值只有3，故选：D．
【名师点睛】本题考查不等式解的求解，关键是明白解的取值范围.
5．（2018·江西省初一期末）下列说法错误的是( )．
A．不等式x－3＞2的解集是x＞5
B．不等式x＜3的整数解有无数个
C．x=0是不等式2x＜3的一个解
D．不等式x＋3＜3的整数解是0
【答案】D
【解析】A．
不等式x－3＞2的解集是x＞5，正确；
B．
不等式x＜3的整数解有无数个，正确；
C．
x=0是不等式2x＜3的一个解，正确；
D．
不等式x＋3＜3的解集是x＜0，故D选项错误．
故选D．
6．（2019·广东省初一期末）以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解的是（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．
D．2
【答案】D
【解析】－2x＜－3，x＞，∴不等式的解集是：x＞．故选D．
7．（2018·广西壮族自治区初一期末）由x＜y能得到mx＞my，则（ ）．
A．m＞0
B．m≥0
C．m＜0
D．m≤0
【答案】C
【解析】∵x＜y，∴当m＜0时，mx＞my．故选：C．
【名师点睛】本题主要考查不等式得性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
8．（2019·重庆市第十一中学校初二月考）下列不等式中不一定成立的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【解析】A、若，不等式的两边减a，不等号的方向不变，则．故本选项一定成立；
B、当x＞y时，取x=2，y=1，，取x=1，y=-2，x2＜y2．则不一定成立，故本选项符合题意；
C、若，则一定大于0，不等式的两边都除以，不等号的方向不变，则．故本选项一定成立；
D、若，不等式的两边加m，不等号的方向不变，则，故本选项一定成立．
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．熟记不等式的基本性质是解题的关键．
9．（2020·河南省郑州市宇华实验中学初二月考）若x＋a＜y＋a，ax＞ay，则(
)
A．x＜y，a＞0
B．x＜y，a＜0
C．x＞y，a＞0
D．x＞y，a＜0
【答案】B
【解析】∵x＋a＜y＋a，
∴由不等式的性质1，得x＜y，
∵ax＞ay，
∴a＜0.故选B.
【名师点睛】此题主要考查不等式的性质，熟知不等式的性质是关键.
10．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
【答案】5+2m＜0
【解析】由题意得：5与m的2倍的和是负数，
可列不等式：5+2m＜0
故答案为：5+2m＜0.
【名师点睛】本题主要考查列不等式，较简单.
11．（2020·全国初一课时练习）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【解析】∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为：a≤-1．
【名师点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
12．（2020·全国初一课时练习）数学表达式中：①a2≥0
②5p-6q<0
③x-6=1
④7x+8y
⑤-1<0
⑥x≠3.不等式是________（填序号）
【答案】①②⑤⑥．
【解析】③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥．
13．（2020·射阳县第二初级中学初一月考）如果，则_____．
【答案】<
【解析】将不等式的两边都加上a，
得．
故答案是：.
【名师点睛】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
14．（2020·安徽省金寨第二中学初一月考）如果a＞b，则－ac2________－bc2(c≠0)．
【答案】＜
【解析】∵a＞b，∴-a<-b，∵c≠0，∴c2>0，∴－ac2<－bc2.故答案为：<.
【名师点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
15．（2018·湖南省雅礼中学初一期中）实数在数轴上的位置如图所示，则①；②；③；④；⑤．以上说法正确的有____________．（在横线上填写相应的序号）
【答案】①⑤
【解析】由图可知，a①，正确；
②，错误；
③，错误；
④，错误；
⑤，正确
故答案为①⑤．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的定义和性质，利用数轴，绝对值，有理数的运算，等知识点，关键是先根据数轴确定a，b符号及绝对值的大小．
16．（2019·南通市第二中学初一月考）对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称为“幸运数”；如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数.若四位数为“幸运数”，且的三十三分之一是完全平方数，则符合条件的最大一个的值为_______．
【答案】7425
【解析】设“幸运数”m的个位数字为x，十位数字为y（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴百位数字为（9?x），千位数字为（9?y），
∴m=1000（9?y）＋100（9?x）＋10y＋x=9900?990y?99x=99（100?10y?x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100?10y?x是整数，
∵m=99（100?10y?x）是四位数，
∴1000≤99（100?10y?x）＜10000，
∵，
∴，
∴既是3的倍数，也是完全平方数，
∴只有36，81，144，225这四种可能，
∴的值为1188或2673或4752或7425，
即符合条件的最大一个的值为7425，
故答案为：7425．
【名师点睛】此题主要考查了列代数式，整式的加减，不等式的性质以及新定义的理解和掌握，熟记300以内的完全平方数会使解题事半功倍．
17．（2020·福建省厦门一中初一月考）指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）
（1）由
，得
；根据不等式的基本性质__________________________；
（2）由，得；根据不等式得基本性质_____________________________；
【答案】1
3
【解析】(1)
由
，得
，根据不等式的基本性质1，不等式两边都加上-3，
故答案为1；
(2)
由，得，根据不等式的基本性质3，不等式两边同除以?2，
故答案为3．
【名师点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键，注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
18．（2019·山东省初二期中）若，试比较，的大小．
【答案】
【解析】
移项得
∴
故．
【名师点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知不等式的性质．
19．（2019·山东省初二期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题．
（1）完成下列填空：
已知
用“＜”或“＞”填空
5+2
3+1
﹣3﹣1
﹣5﹣2
1﹣2
4+1
（2）一般地，如果那么a+c
b+d（用“＜”或“＞”填空）．请你说明上述性质的正确性．
【答案】（1）＞，＞，＜；（2）结论：a+c＞b+d．理由见解析．
【解析】（1）5+2＞3+1，﹣3﹣1＞﹣5﹣2，1﹣2＜4+1．
故答案为＞，＞，＜；
（2）结论：a+c＞b+d．
理由：因为a＞b，所以a+c＞b+c，因为c＞d，所以b+c＞b+d，所以a+c＞b+d．
故答案为＞．
【名师点睛】本题考查了不等式的性质、解题的关键是熟练掌握不等式的性质解决问题，属于中考常考题型．
20．（2020·全国初二课时练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x（1）5x>4x+8
（2）x+2<-1
（3）-x>-1
（4）10-x>0
（5）-x<-2
（6）3x+5<0
【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-．
【解析】（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，
得5x-4x>4x+8-4x，即x>8；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，
得x+2-2<-1-2即x<-3；
（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变，
得-x÷（-）<-1÷（-）即x<；
（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，
得10-x-10>0-10即-x>-10，
再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；
（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，
得-x·（-5）>-2×（-5）即x>10；
（6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变
得3x+5-5<0-5即3x<-5，
再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变，
得3x÷3<-5÷3即x<-．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
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