湖北省荆州市沙市区人教版九年级下册第二十七章相似全章讲学稿（无答案）

沙
市
第
四
中
学
数
学
九
年
级
下
讲
学
稿
细
节
决
定
成
败，勤
奋
成
就
学
业，态
度
决
定
一
切，努
力
终
会
成
功！
27.1.1图形的相似（一）
一、学习目标:
1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．
2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
二、学习重、难点：
重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．
难点：成比例线段概念．
三、学习过程
（一）探究新知：
1.观察右边几组几何图形，
你能发现它们之间有什么关系?
相似图形定义：这种形状相同的图形叫
．
2.对上题中的3组相似图形，其中一个图形可以看做由另一个图形
或
得到。?练一练：
1．在下面的图形中，形状相似的一组是(
)
2．下列图形一定是相似图形的是(
)
A．任意两个菱形
B．任意两个正三角形C．
两个等腰三角形
D．两个矩形
（二）探究新知：
问题：如图在矩形ABCD中，边AB=2cm，
BC=3
cm，这两条线段的比=
.
归纳：
1.两条线段的比，就是两条线段
的比．
例1
一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，
那么长与宽的比：=
（1）如果
a=125cm，b=75cm，
那么长与宽的比：=
（2）如果a=1250mm，b=750mm，
那么长与宽的比：=
小结：⑴上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是
的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位
，但求比时两条线段的长度单位必须
（2）线段的比是一个没有单位的正数；
2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，即：（或），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a，b，c，d成比例，
【注意】
比例线段是四条线段之间的特殊关系；
3.比例的基本性质：若四条线段满足：（或），则有
，即比例内项之积等于比例外项之积。
练一练：
1.已知，则，，；
2.若，则；若，则∶=
。
（三）学以致用
例2
已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
（四）练习：
1．________________________是相似图形．
2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________
与____________
(即)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．
3．比例的基本性质：如果不等于零的四个数成比例，那么
；
反之亦真；即______(a，b，c，d不为零)．
4．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．
5．若则x＝______．
6．若则______．
7．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为______m．
8．
AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
27.1.2图形的相似（二）
一、学习目标:
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形及相似三角形的特征，会运用其性质进行相关的计算．
二、学习重难点：
重点：相似多边形的主要特征与识别．
难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、学习过程
（一）探究新知
1.观察图片，体会相似图形性质(教材P38页)
(1)
下图⑴中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
(2)对于图
(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？
图27.1-4
2.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等
(二)
归纳总结：
（1）相似多边形的性质：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．
几何语言：
∵
△ABC和△A1B1C1相似
∴
．
反之亦然。
（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．
（3）相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．
（4）相似三角形
☆在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,
∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,
∠B=_____,
∠C=____,
且．
☆
问题：如果k=1，这两个三角形
☆
当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，△A′B′C′与△ABC的相似比为
．
（三）学以致用
例1
下列说法正确的是（
）
A．所有的平行四边形都相似
B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似
D．所有的正方形都相似
例2
如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度．
例3
如图，
已知△ABC∽△ADE，⑴求证：DE∥BC；⑵若AD:DB=1:2，BC=6，求DE的长？
例4
已知△ABC∽△DEF，且△ABC的周长为45；⑴如果，求△DEF的周长；⑵如果DE∶EF∶DF=2∶3∶4，求△ABC的.各边长．
（四）练习
1，2
（书P40
2，3）
3．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
27.1.3平行线分线段成比例定理（1）
一、学习目标:
1.
经历探索平行线分线段成比例定理的过程；2.理解掌握平行线分线段成比例定理及推论；
3.能利用平行线分线段成比例定理解决有关问题。
二、学习重难点：
重点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
难点：掌握平行线分线段成比例定理应用．
三、学习过程
（一）回顾复习：
1.如图，
已知△ABC∽△ADE，
AD:DB=2:3，DE=6，则BC=
2.成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段
的比与另两条线段的比
，即：
（或
），
我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a，b，c，d成比例，
（二）探究新知：
探究1：在练习本上画一条与练习本上“横线”垂直的直线，请同学们观察所画直线被这些“横线”分成的线段有什么关系？如果所画直线与“横线”相交（不垂直的情况）呢？
探索2：从练习本上众多
“横线”
中随别选三条“横线”，再任意画两条与“横线”相交的直线，如图所示，被“横线”所截的四条线段AB，BC，DE，EF是成比例的线段吗？你还发现哪些线段是成比例的线段？
☆注：像线段AB与DE位置上类似的两线段叫做对应线段。那么
线段BC与
是对应线段，线段AC呢？
问题：练习本上的众多“横线”相互的位置关系是什么？
（三）归纳总结：
☆☆
平行线分线段成比例定理
：
三条_________截两条直线，所得的________线段的比________（即所得
线段成比例）。
★★几何语言：∵a∥b∥c,
∴,
,
,
.
填一填：如图1，已知a∥b∥c，⑴
如果AB:BC=2:3，DE=6㎝，则DF=
.
⑵
如果AB:AC=2:3，DE=4㎝，则EF=
.
探究3：如果把所画的两条相交直线的交点A刚好落到“横线”上，如图⑴，⑵所示，所得的对应线段成比例吗？依据是什么？
探究4：把图⑴，⑵中多余的线擦掉，得到图（3），⑷，即：△ABC中，DE∥BC,交AB、AC(或延长线)于D、E.哪些对应线段成比例呢？依据是什么？
☆
平行线分线段成比例定理推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比________.
（三）学以致用
例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4
，AB=3，EC=1.求AD和BD.
2．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求AE:AC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，求AE和EC的长．
27.1.3平行线分线段成比例定理（2）
一、学习目标:
1.进一步理解掌握平行线分线段成比例定理及推论；2.能利用平行线分线段成比例定理解决有关问题。3.掌握作“平行线”利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题
二、学习重难点：
重、
难点：掌握作“平行线”利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题．
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
平行线分线段成比例定理
：
三条_________截
两条直线，所得的________线段的比________
（即所得
线段成比例）。
★
几何语言：∵a∥b∥c,
∴,
,
,
.
☆
平行线分线段成比例定理推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比________.
★
几何语言：∵
,
∴,
,
.
（三）学以致用
例1
如图，在△ABC中，DE∥BC
，EF∥AB，AB=4
，BC=6，DE=2.求EF.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3
，AB=5，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF是正方形。求正方形CDEF的边长？
例2．如图，在△ABC中，
AD，BE是△ABC的中线，AD，BE交于F。求BF:FE的值；
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，
求证：
27.2.1相似三角形的判定-------预备定理
一、学习目标:
1.探究平行相似；
2.会证明定理并灵活应用。
二、学习重难点：
重点：平行相似．
难点：证明定理并灵活应用。
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个三角形相似．
☆
平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比______
☆
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_______
（二）探究新知：
探究：如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。
所截的△ADE与△ABC相似吗？为什么？
归纳总结：
☆三角形相似的判定定理（预备定理）--------平行相似：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形
。
☆
符号语言：∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
选一选：
1．下列各组三角形一定相似的是（
）
A．两个直角三角形
B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．如图1，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3．如图2，△ABC中，DE∥BC，写出对应边的比例式．
（三）学以致用
例1．如图3，△ABC中，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
例2
（2004江苏淮安）已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，请你写出图中所有相似三角形？(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)
为什么？
1
.如图4，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
2.已知平行四边形ABCD中，AF∶FC=1∶2，若DC=6，求BE
27.2.1相似三角形的判定（一）
一、学习目标:
1.类比全等探究三边等比相似。
2.会证明定理并灵活应用。
二、学习重难点：
重点：三边等比相似．
难点：证明定理并灵活应用。
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个三角形相似．
☆三角形相似的判定定理（预备定理）-----
平行相似：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形
。
（二）探究新知：
问题：类似判定三角形全等的“SSS”.
你能得到判定三角形相似方法吗？
猜测：如果两个三角形的三组对应边的比
，
那么这两个三角形相似．
证明：（写已知、求证、证明）
已知：
求证:
证明：
归纳:
☆三角形相似的判定定理1：
如果两个三角形的三组对应边的比
，
那么这两个三角形相似．
简称为：
，
。
☆
符号语言：∵
，
∴△ABC∽△DEF
选一选：如图，在大小为4×4的正方形网格中，
是相似三角形
的是（???
）.
　Ａ.
①和②?????????
Ｂ.
②和③?????????
　Ｃ.
①和③?????????
Ｄ.
②和④
（三）学以致用
例1
如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
例2
如图，矩形ABCD是由三个相同正方形拼成的，⑴求证：△AGC∽△HGA
⑵求证：∠1+∠2=45°
1．如图，已知，求证：∠1=∠2
2．（2008江西）7．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（
）
3．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边
的三角形叫做格点三角形。请你在如图所示的4×4的方格纸中，
画出两个相似但不全等的格点三角形(要求：所画三角形为钝角
三角形，标明字母，并说明理由)
27.2.1相似三角形的判定（二）
一、学习目标:
1.掌握两组对应边的比相等，且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。2.利用定理判定两三角形相似并解决相关问题。
二、学习重难点：
重点：相似判定证明定理．
难点：定理灵活应用。
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
三角形相似的判定定理（预备定理）-----平行相似：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形
。
☆
三角形相似的判定定理1：
如果两个三角形的三边对应
，
那么这两个三角形相似．
（二）探究新知：
问题：类似判定三角形全等的“SAS”.
你能得到判定三角形相似方法吗？
猜测：如果两个三角形的两组对应边的比
，且
，
那么这两个三角形相似．
证明：（写已知、求证、证明）
已知：
求证:
证明：
归纳:
☆三角形相似的判定定理2：
如果两个三角形的两组对应边的比
，且
，
那么这两个三角形相似．
简称为：
，
。
☆
符号语言：∵
，
∴△ABC∽△DEF
练一练：根据下列条件，判断
△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝120°，A1B1=
3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝120°，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝120°，A1B1=
8cm，A1C1=24cm。
（三）学以致用
例1
已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF＝3FC，Q是CD的中点．
求证：⑴
△ADQ∽△QCF；⑵
AQ⊥QF.
例2
如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
1.
如图，在中，点分别在边上，且，若cm，求．
2.已知：如图，在中，，、分别是、上的两点，并且；求证：
27.2.1相似三角形的判定（三）
一、学习目标:
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、学习重难点：
重点：三角形相似的判定方法3：“两角对应相等，两个三角形相似”；
难点：三角形相似的判定方法3的运用．
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
三角形相似的判定方法有哪些？
（二）探究新知：
问题：类似判定三角形全等的“ASA”,
“AAS”.
你能得到判定三角形相似方法吗？
猜测：如果两个三角形的
，
那么这两个三角形相似．
证明：（写已知、求证、证明）
已知：
求证:
证明：
归纳:
☆三角形相似的判定定理3：
如果两个三角形的
，
那么这两个三角形相似．
简称为：
，
。
☆
符号语言：∵
，
∴△ABC∽△DEF
选一选：下列四组图形中不一定相似的是（
）．
Ａ．有一个角等于40°的两个等腰三角形；Ｂ．有一个角为50°的两个直角三角形
Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形；Ｄ．有一个角是60°的两个等腰三角形
（三）学以致用
例1
在△ABC中，AC=AB，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证：（1）△ABC∽△BCD；（2）BC2=CD·CA
1.已知：如图，△ABC
的高AD、BE交于点F．求证：．
2．如图，梯形ABCD中，，，，，，求.
3．如图，中，，M为BC的中点，交CA的延长线于D；交AB于E.
求证：.
27.2.1相似三角形的判定（四）
一、学习目标:
1．掌握“斜边直角边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、学习重难点：
重点：直角三角形相似的判定方法：“斜边直角边对应成比例，两个三角形相似”；
难点：直角三角形相似的判定方法的运用．
三、学习过程
（一）回顾复习：
☆
一般三角形相似的判定方法有哪些？
（二）探究新知：
问题：类似判定直角三角形全等的“HL”,
你能得到判定直角三角形相似方法吗？
猜测：如果两个直角三角形的
，
那么这两个直角三角形相似．
证明：（写已知、求证、证明）
已知：
求证:
证明：
归纳:
☆直角三角形相似的判定定理：
如果直角两个三角形的
，
那么这两个直角三角形相似．
简称为：
，
。
☆
符号语言：∵
，
∴△ABC∽△DEF
选一选：下列四组图形中不一定相似的是（
）．
Ａ．两条直角边对应成比例的两个直角三角形；Ｂ．有一个角相等的两个直角三角形；
Ｃ．有一个锐角相等的两个直角三角形；
Ｄ．斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形。
（三）学以致用
例1
如图，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，当AD等于多少cm时，若图中的两个直角三角形相似？
例2：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D。
(1)
求证：AC2＝AD·AB；
⑵若AD＝2，DB＝8，求CD；⑶
若AC＝6，DB＝9，求AD。
1．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截
ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线
共有（
）
A．
1条
B．2条
C．3条
D．4条
2.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
相似三角形基础训练题
1.如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=AB，若BC=12㎝，求DE的长？
2.
如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，四边形CDEF是矩形，且EF=2，求矩形CDEF的面积？
3.
如图所示，已知△ABC中，
D、E分别是AB,AC上的两点，且AD·AB=AE·AC，
求证：∠1+∠C=180°
4.
如图所示，已知∠1=∠2=∠3,
求证：AD·AB=AE·AC，
5.已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，F是BC上的点，且FC=．
求证：
AQ⊥QF.
6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D。若AC＝6，AD＝4，求BD。
7.
如图所示，已知△ABC中，AB=12㎝，AC=18㎝，D是AB的点，AD=8㎝，在AC上找一点E，使△ADE与△ABC相似。求AE的长？
8.已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，DF⊥AE与F，且BC=3，AD=4．
⑴求证：
△AFD∽△EBA；⑵设AE=x，DF=y，求y与x的函数关系？
相似三角形的判定习题课
一、填空题
1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相
似．
4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．
8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
9．如图1所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
10．如图2所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．
二、选择题
11．如图3所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是(
)
A．∠B＝∠DAC
B．∠BAC＝∠ADC
C．AC2＝DC·BC
D．AD2＝BD·BC
12．如图4，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(
)
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
13．如图5所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(
)
三、解答题
14.如图，在中，，BD平分，求证：AB2=
AC·AD
15．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：
(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．
16．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．
思考题：一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？
相似三角形提高训练题
1.
如图，已知菱形ADEF内接于△ABC，D、E、F分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21
cm，CA＝15
cm，求菱形ADEF的周长。
2.
如图所示，已知AB⊥BC，CD⊥BC，EF⊥BC，且BF＝4㎝，FC＝2㎝，EF＝2.5㎝，CD＝1.5㎝，求AB的长？
3.
如图所示，△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，DF∥BC交AE与M，如果BD＝1，MF＝3，EC＝3.5，求AB的长？
4.
如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上一点，EF∥AD，EM∥BC，求的值？
5.如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于F。
求证：①；②。
6.如图所示，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H．①求证：FH＝FA；②求EH∶HC的值？
27.2.2相似三角形的周长与面积
一、学习目标:
1．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。2．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
二、学习重难点：
重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
三、学习过程
（一）回顾复习：
1.如果两个三角形的三组对应边
，
那么这两个三角形相似．相似三角形的判定方法有
2．相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
（二）探究新知：
☆探究一：
相似三角形的周长
问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？
设△ABC∽△A1B1C1的相似比为k
，则有
☆
结论：相似三角形周长的比等于
☆
延伸：相似多边形周长的比等于
；相似三角对应中线的比等于
；
相似三角对应角的角平分线的比等于
；
☆
探索二：相似三角形的面积
如图，△ABC∽△A′B′C，相似比为k，它们对应高的比是多少？面积的比是多少？
☆
结论：相似三角形对应高的比等于
，相似三角形的面积等于
☆
延伸：相似多边形的面积比等于
（三）学以致用
例1
如图所示，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求
△DEF的周长和面积。
例2
如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，，若S△ABC=12㎝2，求S△ADE？
例3
如图所示，已知，在□ABCD中，BE∶EC=1∶2，若S△BEF=2，求：⑴
S△ADF；⑵S□ABCD；
1．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，且DE将△ABC的面积平分成相等的两部分，若BC=6，求DE的长？
2．
如图所示，已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，若S△AOD=2，S△BOC=8，
求：
S梯形ABCD；
相似三角形的性质习题课
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______
．
3．相似三角形的周长比等于______．
4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．
6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．
7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．在比例尺1∶1000的地图上，1cm2所表示的实际面积是______．
9．如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么C△ADE︰C△ABC＝　　　　．
10．如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么C△ADE︰C△ABC＝　　　　．
11.（08河南）
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为
．
12.（09年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是
．
二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为(
)
A．9∶4
B．4∶9
C．3∶2
D．81∶16
14．如图1所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边
的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，
则△AQB的面积为(
)
A．18
B．27
C．36
D．45
15．如图2所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，
它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若，
则此三角形移动的距离AA'是(
)
A．
B．
C．1
D．
三、解答题
16．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积．
17．已知：如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且相交于F点．
(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；(2)若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积S△AFD．
18．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．已知△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长。
19.在△ABC中，AE∶EB=1
∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值.
27.2.2相似三角形的应用举例（一）
一、学习目标:
1进一步巩固相似三角形的知识．2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
二、学习重难点：
重点：运用两个三角形相似解决实际问题；难点：在实际问题中建立数学模型
三、学习过程
（一）探究新知：
☆
问题1：我校前操场有一颗老榆树，你能设计一种“切实可行”的方案，测出这颗大树的高度吗？注：
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
☆
问题2：为什么“相同时刻，物高与影长成比例”？
例1
在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)
例2
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长1m的竹竿影长为3m，但当他马上测量树影时，因树靠近一斜坡，影子不全落在平地上，有一部分影子在斜坡上，如图，他先测得留在斜坡上的影长CD=6m，又测得平地上的影长BC=20m，且斜坡与地面的夹角为30°，他求得的树高AB是多少？
变式：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高CD=1.2m，又测得地面部分的影长BC=2.7m，他求得的树高AB是多少？
例3.
赵爽的“双立标杆法”测物高：如图所示，用一长一短两根标杆CD、EF测树高AB，调整标杆CD，EF的位置，使得A、D、E在一条直线上，测得BC=4米，CF=2米，已知标杆CD=2.5米，EF=1.5米，求树高AB是多少?
变式
如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4m，如果小明的身高为1.6m，GF=2m。你能求出路灯杆AB的高度吗？
27.2.2相似三角形的应用举例（二）
一、学习目标:
1.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
二、学习重难点：
重点：运用两个三角形相似解决实际问题。难点：在实际问题中建立数学模型
三、学习过程
（一）探究新知：
例1：如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45
m，ST=90
m，QR=60
m，求河的宽度PQ。
变式1：如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为多少？
变式2：如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是多少？
例2：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
变式1：如图，小明站在处看甲乙两楼楼顶上的点和点．三点在同一条直线上，点分别在点的正下方且三点在同一条直线上．相距米，相距米，乙楼高为米，甲楼高为多少米（小明身高忽略不计）
其他：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在
AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
相似三角形应用习题课
一、选择题
1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是(
)
A．15m
B．60m
C．20m
D．
2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为(
)
A．
B．
C．
D．
3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为(
)
A．1.5m
B．1.6m
C．1.86m
D．2.16m
4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为(
)
A．3.85m
B．4.00m
C．4.40m
D．4.50m
二、填空题
5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20m，PC⊥AC，且PC＝24m，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______
．
三、解答题
7．（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，
求该古城墙的高度？
8.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
9.如图，已知零件的外径a为25cm
，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
10．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?
11．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．
(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)
27．3位
似（一）
一、学习目标:
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、学习重难点：
重点：位似图形的有关概念、性质与作图
难点：利用位似将一个图形放大或缩小
三、学习过程
（一）探究新知：
☆
位似图形定义：
下图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？
☆
定义：两个图形不仅
，而且对应点的连线
，对应边
，像这样的两个图形叫做位似图形。
叫做位似中心。
例1：
如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
☆
利用位似形放大或缩小：
例2：如图，已知四边形ABCD，把四边形ABCD缩小到原来的．
【分析】：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点
到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2
．
思考：此题还有其他画法吗？
（二）学以致用
1．画出所给图中的位似中心．
2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
3.如图,已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5,求矩形ABCD与矩形EFGH的面积比.
4．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的内部；（2）位似中心在△ABC的一条边上；（3）以点C为位似中心．
27．3位
似（二）
一、学习目标:
1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、学习重难点：
重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换；难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
三、学习过程
（一）探究新知：
1.在平面直角坐标系中,有两点A(6，3)、B(6，0)。以原点O为位似中心，相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF。观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现?(分两种)
2.△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3）、B（2，1）、C（6，2）以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现?
☆
位似变换中对应点的坐标的变化规律：
①
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于
或
②
在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据
(1)总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
（二）学以致用
1．
△ABO的定点坐标分别为A(-1，4)、B(3，2)、O(0，0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为，求点E和点F的坐标．
2．
如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．
3.如图1，已知△ABC的坐标为A(-3，5)、B(-4，1)、C(-1，3)，画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为1/2的位似图形.
4．已知：如图2，△ABC的顶点A，B，C，点的坐标分别为(1，2)、(1，1)、(3，1)．
以点O(0，0)为位似中心，作出相似比为2的位似图形△A1B1C1并写出各对应点的坐标；
相似三角形基础练习题一
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中相似的多边形是（
）
A．所有的矩形
B．所有的菱形
C．所有的等腰梯形
D．所有的正方形
2．甲、乙两地相距3.5km，地图上的距离为7cm，则这张地图的比例尺为（
）
A．
2∶1
B．
1∶50000
C．
1∶2
D．
50000∶1
3．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（
）
A．
30°　
B．
50°
C．
40°　　D．
70°
4．三角形三边之比3∶5∶7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（
）
A．
15cm　　　B．
18cm
C．
21cm　　　D．
24cm
5．下列命题中正确的是（????
??
）
①
任意两个等腰三角形都相似?
②
任意两个直角三角形都相似
③
任意两个等边三角形都相似?
④
任意两个等腰直角三角形都相似
A．
①③???????B．
①④?????
C．
②④??????
D．
③④
6．如图1，P是的边AC上的一点，连结BP，则下列条件中不能判定∽的是
（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图2，锐角的高CD和BE相交于点O，图中与相似的三角形有
（
）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
8．如图3，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（
）
A．
1对　　B．
2对
C．
3对　　D．
4对
9．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（
）
10．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（
）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
二．填空题（每题3分，共24分）
1．若2∶=
3∶6
，则=???????????
；若∶=1∶2，则∶=?????????
。
2．2和8的比例中项是
???????????????；线段2㎝与8㎝的比例中项为
。
3．图纸上画出的某个零件的长是
32
mm，如果比例尺是
1∶20，这个零件的实际长是
。
4．如图4，已知△ABC中，DE∥BC，AD
=
15
cm，AB
=
40
cm，AC
=
28
cm，则
AE
=
。
5．如图，A、B两点被池塘隔开，在
AB外选一点
C，连结
AC和
BC，并分别找出它们的中点
M、N．若测得MN＝15m，则A、B两点的距离
6．如图6所示，要证∽，还需添加的条件是
。
7．如果两个相似三角形的相似比为1:3，其中较小三角形的最长边长为5，则较大三角形的最长边长为??????????
。
8．在ABC
中，D为AB的中点，AB
=
4，AC
=
7，若AC上有一点E，且ΔADE
与△ABC相似，则AE
=
。
三．解答题
1．如图，在中，，BD平分，求证：AB2
=
AD·AC
2．如图，正方形ABCD中，过点A的直线交BD、CD及BC的延长线分别于点E、F、G，连接EC。求证：EC2
=
EF·EG
3．如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，若图中的两个直角三角形相似，求AD的长？
4．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。请你在如图所示的4×4的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形(要求：所画三角形为钝角三角形，标明字母，并说明理由)
5．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？
6.如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；
图1
图3
图3
2
1
（第7题）
A．
B．
C．
D．
1
F
E
D
C
B
A
图1
图3
C
A
┐
┐
┌
E
F
D
C
B
A
D
A
C
D
C
B
A
F
E
a
b
T
S
R
Q
P
G
H
F
E
D
C
B
A
O
(E)
(F)
E
F
B
A
E
D
C
B
A
F
（第9题）
A．
B．
C．
D．
N
C
B
A
M
A
G
F
E
D
C
B
A
PAGE
1