行程问题
【例题分析】
例1. 一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行；由B到A是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度。
分析与解答：不论是顺水航行还是逆水航行，其行驶路程相等，都等于AB两地之间的路程；而船顺水航行时其行驶的速度是船在静水中的速度加上水流速度，而船在逆水航行时的速度等于船在静水中的速度减去水流速度，我们可以列方程求解。
顺水速×时间＝逆水速×时间
解：设水流速度为每小时x千米
答：水流速度为每小时4千米。
例2. 两条公路成十字交叉，甲从十字路南1350米处向北直行，乙从十字路口向东直行，二人同时出发10分钟后，二人距十字路口距离相等；二人仍保持原速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等，求甲、乙二人的速度。
分析与解答：二人同时出发后第一次距十字路口距离相等时，甲在十字路口的南侧，此时两人所走的路程和为1350米，第二次距十字路口的距离相等时，甲处在十字路口北侧，此时甲比乙正好多走了1350米，即两人所走路程的差是1350米。
根据二人10分钟所走路程和是1350米，可以求出甲乙速度和。
根据二人（10＋80）分钟的路程差是1350米，可以求出甲乙速度差。
应用和、差问题的规律，可以求出甲、乙速度。
列式：
（米）
（米）
（米）
（米）
答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟60米。
例3. 一个游泳池长50米，甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回，照这样往返游，两人游了两分钟，已知甲每秒钟游3米，乙每秒钟游2米，从出发后的两分钟内，二人相遇了几次？
分析与解答：两人同时从游泳池的两端出发，第一次相遇时，两人共游了50米，第一次相遇到第二次相遇，两人共游了100米，即从第一次相遇后，两人共同游100米就相遇一次。两人游了两分钟，一共游了（米），除了第一次相遇时游的50米，又游了550米，这550米中有几个100米就相遇了多少次。
列式：
（米）
（次）
答：在出发后的两分钟内相遇了6次。
例4. 在一条笔直的公路干线上，有两个骑车人从相差500米的A、B两地同时出发，甲从A地出发，每分钟行驶300米；乙从B地出发，每分钟行驶200米；问经过多长时间，两人相距5000米？
分析与解答：问题的实质是已知两人相距的距离、两人的速度，求时间。但题中并没有告诉我们两人是同向行驶、相向行驶，还是相背行驶，所以我们需要考虑四种可能的情况。
第一种情况是两人相背而行，两人原来相距500米，要想相距5000米，两人还要共同行驶4500米。
（分）
第二种情况是两人相向而行，两人先相遇，再做反向运动，两人共同行驶了米。
（分）
第三种情况是两人同向行走（从B向A方向）。两个人开始相距500米，因为甲比乙快，每分钟两人距离增加米，两人之间距离再增加4500米，则两人相距5000米，只要看4500米里面有几个100米就可以了。
（分）
第四种情况是两人同向行走（从A向B方向），两人开始相距500米，因为甲比乙快，甲要先追上乙，再超过乙5000米，也就是说甲要比乙多行米，知甲每分钟比乙多行（米），看5500米里面有几个100米就需要多少分钟。
（分钟）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反方向跑，1分钟后相遇，如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。
2. 小李去跑步，每分钟跑250米，出发5分钟后，小王骑车去追，每分钟行400米，几分钟后可以追上？
3. 一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行，由B到A是逆水航行，已知船在静水中的速度是每小时20千米，由B到A所用时间是由A到B的1.5倍，水流速度是每小时多少千米？
4. 某人以一定的速度从A到B需24小时，若速度每小时增加6千米，可提前4小时到达，求A、B两地之间的距离？
5. 某人由甲地去乙地，原计划每天走50千米，9天走完全程，实际比原计划提前一天半到达，实际比原计划每天多走多少千米？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时从某一点沿跑道向相反方向跑，1分钟后相遇，如果二人向同一方向跑，10分钟后相遇，已知甲比乙快，求甲、乙二人的速度。
因为甲比乙快，所以甲每分跑220米，乙每分跑180米。
2. 小李去跑步，每分钟跑250米，出发5分钟后，小王骑车去追，每分钟行400米，几分钟后可以追上？
（分钟）
答：分钟后可以追上。
3. 一条轮船往返于A、B两地之间，由A到B是顺水航行，由B到A是逆水航行，已知船在静水中的速度是每小时20千米，由B到A所用时间是由A到B的1.5倍，水流速度是每小时多少千米？
解：设水流速度为每小时x千米，由A到B的时间为t
等号两边同时除以t，得：
答：水流速度为每小时4千米。
4. 某人以一定的速度从A到B需24小时，若速度每小时增加6千米，可提前4小时到达，求A、B两地之间的距离？
答：A、B两地之间的距离是720千米。
5. 某人由甲地去乙地，原计划每天走50千米，9天走完全程，实际比原计划提前一天半到达，实际比原计划每天多走多少千米？
答：实际比原计划每天多走10千米。
PAGE
4填补不完整的算式（一）
（一）思路指导：
例1. 在下面竖式的□里填上适当的数。
５□７
＋□８６
□３４□
分析与解：
（1）审题：即找出算式中数字之间的关系及特征。此题是一道三位数加三位数，和是四位数的加法算式。
（2）找突破口：即在审题的基础上，确定从哪个已知数字思考，先找到容易填的，或关键性的空格。此题可以从个位数字进行思考，先填和的个位数字，是解题的突破口。
（3）试验填数：即从突破口开始，根据题中的已知条件，逐个填出每个空格中的数，填写时要正确运用加法、减法之间的互逆关系，乘法、除法之间的互逆关系，通过推理、判断、尝试等手段进行解答。
①填个位：，和的个位填3，向十位进一。
②填十位：从和的十位可以看出，加数十位上的数相加应是14，也就是，可以逆推出第一个加数十位数字应是5。
③填千位数字。两个三位数相加，和是四位数，和最多只能向千位进一，所以和的千位上只能是1。
④填百位上的数。百位数字之和只能是13，也就是，逆推出第二个加数百位上应填7。
（4）检验：填完所有数字之后，按计算法则重新计算一遍。看每一个所填数字和已知数字是否符合题目要求。
例2. 在下面竖式中的□里填上适当的数。
□□６
× □
５□４８
分析与解：
这是一道一位数乘三位数，积是四位数的乘法竖式题。解答此题的突破口是正确确定乘数是几。从个位进行思考。
（1）确定乘数。根据被乘数的个位是6，积的个位是8，想6乘以几积的个位是8呢？有两种情况：；可以肯定乘数只能是8。
（2）填十位，积的十位数字是4，所以被乘数十位数字可能是0，也可能是5。
（3）填百位，根据十位数字的两种可能性，可以推出被乘数百位数字的两种情况：若十位填0，则百位填7，若十位填5，则百位填6。算式是：
７０６ ６５６
× ８ 或 × ８
５ ４８ ５２４８
例3. 在空格中填上适当的数字，使算式成立。
□０□ □□
× □６ ６□□ □□□１
５□２□ □□７
□□□６ □□□１
４□５８□ □□６□
０
分析与解：
（1）乘数个位是6，第一层不完全积是五千多，所以被乘数的百位数字一定是9，被乘数个位与乘数个位6相乘是二十多，被乘数的个位数字一定是4。由于积的最高位数字是4，所以第二层不完全积的最高位数字只能是3或4，已知被乘数是904，第二层不完全积的个位是6，所以乘数十位数字只能是4或9，而乘数十位数字是9，第二次不完全积至少八千多，与题意相矛盾，乘数十位只能是4，这样就可以填出所有空格。
９０４
× ４６
５４２４
３６１６
４１５８４
（2）除数是6百多，商的最高位一定是1，可知除数个位数字是7，又知商的个位与除数相乘的积的个位数字是1，可以推出商的个位数字是3。知道除数与商的个位。
（3）相乘的积的后两位是61，可知除数十位数字一定是8，这样可以得出正确答案：
１３
６８７ ８９３１
６８７
２０６１
２０６１
０
例4. 在下面算式的□内，各填一个合适的数字，使算式成立。
□８□
□□□ □□□□□□
□□□□
□□□
□□□
□ □□□
□ □□□
０
分析与解答：
我们看到，在整个算式中只有一个数字8是已知的。因此有人把这样的算式叫做“孤独的8”，在一个算式中，如果缺的数字很多，一般来说比较难解。
为了便于讲解，我们做个特殊标记（如下）
□８□
□□□ □□□□□□
□□□□……………第二行
□□□…………第一余数
□□□…………第四行
□ □□□………第二余数
□ □□□………第六行
０
除数与商的十位数字相乘的积是三位数，那么除数一定小于125，除数与商的百位与个位数字的积是四位数，那么商的百位与个位数字一定是9，除数一定大于111，即除数在112～124之间，由于第一余数减第四行的差仍是三位数，所以第四行一定是8百多，所以除数只能是112。由商是989，除数是112，可求得被除数是，这样其它空格都可以填出了，所得的解如下：
９８９
１１２ １１０７６８
１００８
９９６
８９６
１００８
１００８
０
［答题时间：30分钟］
（二）尝试体验：
1. 把下列加减法算式中缺少的数字补上。
（１）□６３ （２）□□４
７□２ － □□
＋５８□ ９
□０４２
2. 把下列乘法算式中缺少的数字补上。
（１）６□ （２）２８５
×□□ × □□
□ □ １□２□
□□ □□□
□□６ □９□□
3. 把下列除法算式中缺少的数字补上。
（１） □□□ （２） □３
□ □２□□ ３□ □□□１
□□ □□５
□□ □□１
□３ □□１
□□ ０
８□
８
4. 在下列各加法算式中，□内的数字之和分别是多少？
（１）□□ （２）□□□□
□ □□□□
＋ □ ＋□□□□
１１１ ２９９９７
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 把下列加减法算式中缺少的数字补上。
（１）６６３ （２） １０４
７９２ － ９５
＋５８７ ９
２０４２
2. 把下列乘法算式中缺少的数字补上。
（１）６６ （２）２８５
×１１ × ３５
６６ １４２５
６６ ８５５
７２６ ９９７５
3. 把下列除法算式中缺少的数字补上。
（１） ５７９ （２） ５３
９ ５２１９ ３７ １９６１
４５ １８５
７１ １１１
６３ １１１
８９ ０
８１
８
4. 在下列各加法算式中，□内的数字之和分别是多少？
（１）□□ （２）□□□□
□ □□□□
＋ □ ＋□□□□
１１１ ２９９９７
（1）因为个位向十位最多进2，而十位上的和等于11，所以十位上的加数只能是9，且个位必须向十位进2，因此个位上三个□内数字的和是21，
（2）因为千位上的和等于29，所以千位上三个□都必须是9，且百位向千位进2，同理，百位上和十位上的□也都必须是9，且十位向百位进2，个位向十位进2，因此个位上三个□内数字之和为27，
PAGE
5图形的分割
【典型例题】
例1. 将图1中正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好有1、2、3、4四个数字。
图1
分析与解：根据图形的对称性，将一个正方形分成形状和大小一样的四块，一般可以从正方形的中心点开始分，只要能设法找到其中一块的大小和形状，那么围绕中心点旋转，就会得到第二块，接着转下去，每次转，就会得到第三块，第四块。
怎样找出关键的第一块呢？因为每一块中只有1、2、3、4四个数字，所以相同的两个数字必须分开，我们先将两个并列在一起的“4”分开，在两个“4”之间画上一段划分线，然后将它分别绕中心旋转，得到另外三段划分线，如图2，仿照上述方法，可以画出所有这样的划分线，如图3。
图2 图3
中间的四个小方格，必然，分属于四小块，不可能两格同属于一块，因此也要分开，注：要这个正方形的面积是个面积单位，因此切分后的每一块的面积为16个面积单位，即由16个小方格组成，在图3的基础上，从最里层开始沿着划分线，根据题目要求，就容易得到答案了。
具体分法见图4，图中的两块阴影和两块空白部分将图3分成形状和大小一样四块，并且每块中有1、2、3、4四个数字。
图4
例2. 将图5中图形分成形状相同、面积相等的两部分，应怎么分？
1
2
8
6
7
图5
分析与解：为了方便，可先将图分成许多的小正方形，如图6，由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位，为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来，下面继续进行类似的推理，可以找到答案。
图6
具体分法见图7，图中的阴影和空白部分将图5分成了形状相同，面积相等的两部分。
图7
例3. 图8是由三个同样大小的正三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四块。
图8
分析与解：把三个同样大小的正三角形平均分成四份，每份应占正三角形的，因此先把每个正三角形四等分，选择其中的三份。
图9
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
二. 尝试体验，合作交流：
1. 把图10分成形状相同、面积相等的四份，应怎么分？
1
3
1
2
2. 学校有一块正方形的小树林（如下图），里面正好有12棵树，现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学看护，要求每块的形状和大小都相同，并且每块中都有三棵树，怎么分？
3. 下图是由五个同样大小的正方形组成的，请把它分成形状相同，面积相等的四块。
4. 下图是一个直角梯形，请在它的内部画一条直线段，把梯形分成形状相同，面积相等的两部分。
D 20cm C
60cm
A B
5. 下图是一个正六边形，过A点在正六边形内引两条直线段，把正六边形分成面积相等的三部分。
A
B F
C E
D
6. 如下图，一个正三角形形状的土地上有四口水井，要把这块地分成和它形状相同的四小块，要求每小块的面积相等，并且每一块中都要有一口水井，应该怎样分？
1填补不完整的算式（二）
大家知道，所谓“计算”就是根据算式中给出的数据、运算符号及运算顺序求出一个算式的结果，在小学数学竞赛中有一种与“计算”有关，但又不同的“填补不完整算式”的题目，在这些不完整的算式中，或缺少数字，或缺少运算符号。填补这些不完整的算式，需要灵活运用运算法则，整数的性质等知识。这一讲我们将向大家介绍这类问题的基本方法。
（一）例题解析：
例1. 在下面的□里填上适当的运算符号。
分析与解：本题是已知算式结果，求算式中的一个运算符号，根据四则混合运算的运算顺序，可采用逆推法解答。
结果3是1470和中括号的得数运算的结果，因此先求出中括号中得数是490。由“”，得方块中只能填“÷”。
例2. 把下面除法算式中缺少的数字补上。
□□
６□□ □□□４
□□７
□□□□
□□７４
０
分析与解答：设商数为，除数为。根据已知条件可以很明显得出下面结果（如下图）
１□
６□７ □□４４
□□７
□□７４
□□７４
０
除数商B的尾数是“4”，可知“B”应是2，“C”应是3或8，若可得出：
１２
６３７ ７６４４
６３７
１２７４
１２７４
０
若可得出：
１２
６８７ ８２４４
６８７
１３７４
１３７４
０
例3. 在下面算式的□内，各填一个合适的数字，使算式成立。
□８□
□□□ □□□□□□
□□□□
□□□
□□□
□□□□
□□□□
０
分析与解答：为了便于分析，我们设商数为，除数为，如下算式：
a８b
x y z □□□□□□
□□□□……………………第二行
□□□…………………第一余数
□□□…………………第四行
□□□□………………第二余数
□□□□………………第六行
０
因为除数和8相乘的积是三位数，而除数与a和b相乘的积都是四位数，所以a和b一定都是9。由于是三位数，所以最大只能是124，由于是四位数，所以最小是112，又由于第一余数减去第四行的差最高位是1，所以第四行只能是8百多，既然的积小于900，所以小于113，这样我们可以得出只能是112。商和除数都已确定，就可以求出被除数，从而填出整个算式。（如下）
９８９
１１２ １１０７６８
１００８
９９６
８９６
１００８
１００８
０
例4. 把下面乘法算式中缺少的数字补上。
图１. □□５
×１□□
２□□５
１３□０
□□□
４□７７５
分析与解：通过观察可以很容易得出：（图2）
图２. □□５
×１□□
２□７５
１３□０
□□５
４□７７５
为了叙述方便，我们可以这样表示（如图3）。
图３. a ５
×１c d
２□７５…………第一积
１３□０……………第二积
□□５………………第三积
４□７７５…………乘积
由于的积的个位是5，所以d一定是奇数（单数）但不能是1，d是3、5、7、9之一，同理，c只能是双数，是2、4、6、8之一，由于积的最高位是4，所以第三积的最高位只能是2或3。下面我们进行讨论：
（1）如果，第一积的算式变为，d只能取9，则b是7，即。，经试验可知，无论c是多少，算式都不成立，这就说明a不能取2。
（2）如果，那么求第一积的算式变为，由这个算式可以得出d只能是7，推出，即，这时第二积的算式变为，经试验可知，即，得出被乘数是325，乘数是147，这样其余的空格根据竖式乘法法则就可很容易填出来了。
３２５
×１４７
２２７５
１３００
３２５
４７７７５
通过这个题大家应注意：
（1）认真分析算式的特征及其各数之间的关系，它们是确定各方格填什么数字的主要依据；
（2）注意选择解题突破口，这是填算式的关键；
（3）求解过程中经常用到假设、试验，试验之前应先分析估算所求数字的取值范围，这样可以减少试验的次数。
［答题时间：40分钟］
（二）尝试体验：
1. 在下面各加法算式中，□内的数字之和分别是多少？
（１） □□ （２）□□□□
＋ □ □□□□
□ ＋□□□□
１１１ ２９９９７
2. 把下列加减法算式中缺少的数字补上。
（１）□６３ （２）□□４
７□２ － □□
＋５８□ ９
□０４２
3. 把下列乘法算式中缺少的数字补上。
（１） ６□ （２）２８５
×□□ × □□
□□ １□２□
□□ □□□
□□６ □９□□
4. 把下列除法算式中缺少的数字补上。
（１） □□□ （２） □３
□ □２□□ ３□ □□□□
□□ □□５
□□ □□１
□３ □□１
□□ ０
８□
８
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 在下面各加法算式中，□内的数字之和分别是多少？
（１） □□ （２）□□□□
＋ □ □□□□
□ ＋□□□□
１１１ ２９９９７
（1）30 （2）108
2. 把下列加减法算式中缺少的数字补上。
（１）６６３ （２）１０４
７９２ － ９５
＋５８７ ９
２０４２
3. 把下列乘法算式中缺少的数字补上。
（１） ６６ （２）２８５
×１１ × ３５
６６ １４２５
６６ ８５５
７２６ ９９７５
4. 把下列除法算式中缺少的数字补上。
（１） ５７９ （２） ５３
９ ５２１９ ３７ １９６１
４５ １８５
７１ １１１
６３ １１１
８９ ０
８１
８
PAGE
5图形的组合
同学们，你们好！今天我们一起来研究“图形的组合”。在我们解答的几何问题中，有一些是要将一个图形分割成若干块后，再拼成一个新的图形，仍然需要从计算中得到启发。
（一）阅读思考
例1. 有一个长24厘米，宽15厘米的长方形，请你把它切成两块，拼成一个长20厘米，宽18厘米的新长方形。
分析与解答：我们可以先对比一下原来的长方形和新拼成的长方形的长、宽，可以看出：原来的长比新的长多4厘米，新的宽比原来的宽多3厘米，所以我们可以考虑将原来的长方形分割成一些（平方厘米）的小长方形。
因为新长方形的长为20厘米，应减少一个小长方形，而新长方形的宽为18厘米，应增加一个小长方形。
我们可以沿着对角线的方向，把它剪成呈阶梯状的2块，并使它们形状和大小完全一样，再把它们错位互相“咬”在一起，就组成了新的长方形。
例2. 请将下图切成两块，拼成一个的长方形。
分析与解答：我们通过观察图可以看出，这个图中的长边是7个长度单位，短边是3个长度单位。要拼成一个的长方形，可以把它分为上下两部分。
分割后，上边部分向左移动与下边部分“咬合”。
例3. 一个等腰三角形，如下图，它的高是底的2倍，把它剪成三部分，拼成一个正方形。
分析与解答：要把这个三角形拼成一个正方形，肯定要用到它的底，把它的底作为正方形的一条边，因为它的高是底的两倍，所以应从它高的中点处将它分为上下两部分。再将上半部分分为两半，分别放置在下半部分的两侧，就可以组成正方形了。
［答题时间：30分钟］
（二）尝试体验
1. 将下图切分成两块，然后拼成一个正方形（每个小正方形的边长为1）。
2. 将长和宽分别为9厘米和16厘米的长方形纸片切分成两块，然后拼成一个正方形。
3. 下图是一块废木板，阴影部分为空缺，尺寸如图所示（单位：厘米）。把它锯成两块，然后拼成一个正方形。
4. 将下图分成四个形状和大小都相同的图形，然后将分得的图形拼成一个正方形。
PAGE
3
