运用消去法解应用题
有些较复杂的应用题是由两种或两种以上的数量组成的，我们可以根据已知条件将其中一种数量消去，使数量关系简单明了，从而解决此问题。
（一）思路指导：
例1. 甲买4个足球和5个篮球共花492元，乙买了同样的4个足球和2个篮球共花312元，每个足球、每个篮球各多少元？
分析与解答：题目中有两个未知量，足球和篮球的单价，我们要想办法使两个未知量消去一个，只留一个未知量。
4个足球+5个篮球=492元 （1）
4个足球+2个篮球=312元 （2）
从（1）式中减去（2）式得：
3个篮球=180元
可以求出每个篮球：（元）
列式：（元）
（元）
答：每个足球48元，每个篮球60元。
例2. 桔子、香蕉各一筐共重115千克，苹果、桔子各一筐共重100千克，苹果、香蕉各一筐共重95千克。桔子、香蕉每筐各重多少千克？
分析与解答：
方法一：
桔子 香蕉 → 115千克
苹果 桔子 → 100千克
＋ 苹果 香蕉 → 95千克
2筐苹果 2筐桔子 2筐香蕉 → 310千克
（千克）（苹果、桔子、香蕉各1筐）
苹果 桔子 香蕉 → 155千克
－ 苹果 桔子 → 100千克
香蕉 → 55千克
方法二：
桔子 香蕉 ＋ 苹果 桔子 ＝ 215千克
115千克 100千克
215－（苹果＋香蕉）＝2筐桔子重量
95千克
列式：（千克）
（千克）
答：1筐桔子55千克，1筐香蕉60千克。
例3. 2筐白菜和4筐土豆共重370千克，同样的3筐白菜5筐土豆，共重490千克，问白菜和土豆每筐各多少千克？
分析与解答：
从490千克中消去2筐白菜和4筐土豆共重的370千克，还剩1筐白菜和1筐土豆，重（千克），再从370中消去2个120千克，只剩下2筐土豆了，这两筐土豆重（千克），每筐土豆重（千克）
（千克）
（千克）
（千克）
答：每筐白菜重55千克，每筐土豆重65千克。
例4. 农民伯伯在自行车两边分别带着5只鸡、4只兔共重22千克，因为兔比鸡重，他把鸡兔互相交换一只后，两边的重量正好相等，每只鸡重多少千克？
分析与解答：已知 5鸡+4兔=22千克 （1）
交换一只鸡和兔后，两边重量相等，可以知道：
4鸡+1兔=3兔+1鸡 （2）
利用消去法把（2）式两边同时消去一只鸡和一只兔得：
3鸡=2兔 （3）
知道3只鸡等于2只兔的重量，那么4只兔的重量等于6只鸡的重量。把（1）式中的“4兔”用“6鸡”来代换，可得22千克相当于（5+6）只鸡的重量，可以求出每只鸡重（千克）
答：每只鸡重2千克。
此题综合应用了代换法和消去法。
例5. 妈妈到水果店买苹果和香蕉，全部的钱可以买6千克苹果和8千克香蕉，或买3千克苹果和12千克香蕉，如果妈妈用全部的钱只买苹果或只买香蕉，可以各买多少千克？
分析与解答：6千克苹果+8千克香蕉=3千克苹果+12千克香蕉 （1）
两边同时消去3千克苹果和8千克香蕉得：
3千克苹果=4千克香蕉 （2）
6千克苹果=8千克香蕉 （3）
把（1）式中6千克苹果换成8千克香蕉
那么全部的钱可以买 千克香蕉
把（1）式中8千克香蕉换成6千克苹果，
那么全部的钱可以买 千克苹果
答：如果妈妈用全部的钱只买苹果可以买12千克，只买香蕉可以买16千克。
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 买3个苹果和2个梨共重1600克，买5个苹果、2个梨共重2400克，问：每个苹果、每个梨各重多少克？
2. 有甲、乙、丙三人，已知甲乙两人年龄和是60岁，乙丙两人年龄和是70岁，甲丙两人的年龄和是46岁，甲、乙、丙三人各多少岁？
3. 甲、乙两数之和是170，甲的3倍与乙的5倍之和是600，甲、乙各是多少？
4. 去儿童商店第一次买3个排球8个足球共用170元，第二次买同样的8个排球5个足球共用192元，每个排球、每个足球各多少元？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 买3个苹果和2个梨共重1600克，买5个苹果、2个梨共重2400克，问：每个苹果、每个梨各重多少克？
（克）
（克）
答：每个苹果400克，每个梨200克。
2. 有甲、乙、丙三人，已知甲乙两人年龄和是60岁，乙丙两人年龄和是70岁，甲丙两人的年龄和是46岁，甲、乙、丙三人各多少岁？
（岁）
乙的岁数：（岁）
甲的岁数：（岁）
丙的岁数：（岁）
答：甲18岁，乙42岁，丙28岁。
3. 甲、乙两数之和是170，甲的3倍与乙的5倍之和是600，甲、乙各是多少？
答：甲是125，乙是45。
4. 去儿童商店第一次买3个排球8个足球共用170元，第二次买同样的8个排球5个足球共用192元，每个排球、每个足球各多少元？
（元）
（元）
答：每个足球16元，每个排球14元。
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3用面积图解应用题
同学们，你们好！今天我们一起来研究“用面积图解应用题”
过去，我们学过画线段图来分析应用题，这样做可以使问题具体、形象。但是，在我们解答一些要同时考虑两个因素的应用题时，如果用长方形的长和宽分别表示两个不同的因素，画出长方形来，再利用长方形的面积进行分析，往往更方便一些。
一. 阅读思考：
例1. 有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，请问10分和20分的邮票各有几张？
分析与解答：以前我们都是用假设法来解这种题，今天我们试着用面积图来解答。
E F
D G C
18张 10分
H
A 20分 B
在图中，AE表示10分和20分邮票的总张数，AB、DG分别表示两种邮票的面值，AD和DE分别表示两种邮票的张数。长方形ABCD和DEFG的面积分别表示两种邮票的总面值。
由条件可知，AE=18，长方形ABCD和DEFG的面积和是2.80（单位是元）我们只要求出AD和DE的长度就可以求出问题了。
从图中可以看出，AEFH是一个长方形，AH=DG=10（分）=0.1（元），那么BH也是0.1（元）。长方形AEFH的面积是，那么长方形BCGH的面积是，所以，也就是说分的邮票有10张，则，也就是10分的邮票有8张。
例2. 某工程队修一条公路，原计划每天修100米，60天可完工，由于在实际施工中改进了技术，结果比原计划每天多修25米，这样可以提前几天完成任务？
分析与解答：我们可以画出下面这个长方形面积图来进行分析。
D C
E F G
60
A 100 B 25 H
图中ABCD的面积表示计划60天的工作总量，长方形AHGE的面积表示实际的工作总量，审题可知工作总量是不变的，所以这两个长方形的面积是相等的。
AB=100是计划的工作效率，AD=60是计划的工作时间；BH=25是提高的工作效率，那么AE是实际的工作时间。DE就是提前完成的时间，也就是问题。
长方形ABCD的面积是，那么长方形AHGE的面积也是6000，就可以求出，即实际工作了48天。
所以（天）
答：可以提前12天完成任务。
例3. 幼儿园的老师给小朋友们发梨，每人6个就剩12个，每人7个便少11个，请问有几位小朋友？多少个梨？
分析与解答：我们可以画下图来分析。
D C F H
11
12个 个
B E G
A 6个 1个
在图中，AB表示每个小朋友分6个梨，那么长方形ABCD的面积就表示这时分发出去的梨数，长方形AEFD的面积就表示梨的总数，AD就表示小朋友的人数。长方形AGHD的面积就表示每个小朋友分到7个梨时所需的梨的总数。
从图中可以看出，长方形BGHC的面积是（个），而它的宽是1，所以（人），因为AD=BC，所以AD=23（人），就是有23个小朋友。
那么长方形ABCD的面积是（个），长方形AEFD的面积是（个）
答：有23个小朋友，150个梨。
［答题时间：30分钟］
二. 尝试体验：
1. 一辆汽车从市区开往山区，往返共用20小时。去时用的时间是回来时的1.5倍，去时的速度比回来时的速度每小时慢12千米，问往返共行了多少千米？
2. 幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小朋友分枣，甲班每人比乙班每人少3个枣。乙班每人比丙班每人少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？
3. A、B两地相距60千米，甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时沿同一路线从A驶往B，结果甲比乙提前4小时到达B地。又知摩托车的速度是自行车速度的3倍，问摩托车与自行车的速度各是多少？
4. 一个学生做两个整数的乘法时，把其中一个乘数的个位数字4误看成1，得出的积为525；另一个学生却把这个乘数的个位数字误看成8，得出的积是700，问正确的积是多少？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
二. 尝试体验：
1. 一辆汽车从市区开往山区，往返共用20小时。去时用的时间是回来时的1.5倍，去时的速度比回来时的速度每小时慢12千米，问往返共行了多少千米？
576千米
M E
N F H
12小时
8小时
A B C D
2. 幼儿园有3个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小朋友分枣，甲班每人比乙班每人少3个枣。乙班每人比丙班每人少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问三个班总共分了多少个枣？
673个枣
O N
M P
Q R X Y H
C D E F G
A B 4人 4人 4人
3. A、B两地相距60千米，甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时沿同一路线从A驶往B，结果甲比乙提前4小时到达B地。又知摩托车的速度是自行车速度的3倍，问摩托车与自行车的速度各是多少？
每小时30千米和每小时10千米
H G
4
F E D
A B C
4. 一个学生做两个整数的乘法时，把其中一个乘数的个位数字4误看成1，得出的积为525；另一个学生却把这个乘数的个位数字误看成8，得出的积是700，问正确的积是多少？
600
B C G
A E D F
4添辅助线求面积
（一）阅读思考
例1. 如下图，已知：在四边形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE＝8，AB＝7，CD＝4，CF＝10。（单位：厘米）
求：阴影部分面积
B F
A
E D C
分析与解答：ABCD是一个任意四边形，没有办法直接求出它的面积。但如果连接A和C，这条辅助线就把四边形ABCD分成两个三角形，和。
B F
A
E D C
是以AB为底，它的高是CF。所以的面积是平方厘米。
同样，的底是CD，高是AE，的面积是
平方厘米
所以四边形ABCD的面积是
平方厘米
例2. 如下图，已知ABCD是平行四边形，AC是对角线，AC＝3CG，AE＝EF＝FB，的面积是6平方厘米，求：平行四边形ABCD的面积。
D C
G
A E F B
分析与解答：连接GB，因为AE＝EF＝FB，所以、、的面积都相等，都等于6平方厘米，因此的面积是平方厘米
因为AC＝3GC，所以AG＝2GC，所以的面积是面积的2倍，的面积是18÷2＝9平方厘米，的面积是18＋9＝27平方厘米。
因为AC是平行四边形ABCD的对角线，和的面积相等。因此平行四边形ABCD的面积是平方厘米
例3. 如下图，已知ABCD是长方形，A、D、E和F在一条直线上，AB＝7，BC＝5，DG＝3。（单位：厘米），求DE的长。
A D E F
G
B C
分析与解答：我们先添上一条辅助线，连接C和E。这样可以得到一个三角形BCE。的底是BC，高与AB相等。所以的面积是平方厘米。
是由和组成。的底是BC，高是CG，CG的长是7－3＝4厘米。所以的面积是平方厘米。那么的面积是平方厘米
而的底是GC，高与DE相等。所以DE的长是：
厘米
［答题时间：30分钟］
（二）尝式体验
1. 的面积是12平方厘米，，F是CD的中点。求阴影部分的面积。
C
E
F
A D B
2. 在中，D、E和F分别为AC、AB和AD的中点。的面积是4平方厘米。厘米，求以BC为底时，它的高是多少厘米？
A
D
C
E
B
3. 求下图中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
4
6
6
4. 下图中正方形的面积为18.75平方厘米。在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形平均分成面积相等的三份。求图中的平行线段长是多少厘米？
5. 在长方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分别为AD、CD中点，EG＝2FG。求阴影部分面积。
A E D
G
F
B C
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）尝式体验
1. 的面积是12平方厘米，，F是CD的中点。求阴影部分的面积。
C
E
F
A D B
答：5平方厘米
2. 在中，D、E和F分别为AC、AB和AD的中点。的面积是4平方厘米。厘米，求以BC为底时，它的高是多少厘米？
A
D
C
E
B
答：12.8厘米
3. 求下图中阴影部分的面积（单位：厘米）
4
4
6
6
答：24面积单位
4. 下图中正方形的面积为18.75平方厘米。在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形平均分成面积相等的三份。求图中的平行线段长是多少厘米？
答：5厘米
5. 在长方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝10厘米，E、F分别为AD、CD中点，EG＝2FG。求阴影部分面积。
A E D
G
F
B C
答：7.5面积单位
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5用“弦图”求面积
同学们，你们好！今天，我们一起来研究“弦图”的知识。
这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。
三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。
（一）阅读思考
例1. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？
分析与解答：要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面我们就设法求出这两个量中的某个量。
解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。
方法1：
方法2：
方法3：
方法4：
图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是平方厘米，因为梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是平方厘米。
例2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？
分析与解答：我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。
从图中可以看出，中间的小正方形面积是平方米，大正方形的面积是平方米。
由于，所以大正方形的边长是4.5米。也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。从图中也可以看出，大正方形的边长＝小正方形边长＋长方形宽×2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.5米。所以锯下的木条的面积是平方米。
［答题时间：50分钟］
（二）尝试体验
1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。
2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。已知每张小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。
3. 四个相同的小长方形，宽是1厘米，它们的面积和是12平方厘米，求正方形ABCD的面积。
4. 有9张相同的小长方形卡片，摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长是18厘米，宽是4厘米，求大长方形的面积。
5. 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
6. 计划修一个正方形的花坛，并在花坛周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？
答案见名师面授！
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3用特殊方法解应用题
在解答应用题的方法中，从不同角度来思考可以概括出多种类型的解题思路，但生活中的实际问题有时用已有定名的思路是无法概括的，必须用一些特殊思路来进行分析，为了开阔我们的思路，特编排一些用特殊方法解答的应用题。
（一）思路指导：
例1. 今年母亲45岁，女儿13岁。几年后母亲的年龄是女儿的3倍？
分析与解答：这类年龄问题的特点是：母亲、女儿若干年前或若干年后，她们的年龄差是不变的。经过若干年后，年龄都各自增加若干岁，抓住这个“不变量”即可按差倍问题求解。
1倍
若干年后女儿：
3倍
若干年后母亲：
（45-13）岁
列式：（年）
答：3年后母亲的年龄是女儿的3倍。
例2. 洪山区举办教职工乒乓球单打赛，共有428名教职工报名参加比赛，比赛采用淘汰制，一共要进行多少场比赛才能决出冠军？
分析与解答：
比赛采用淘汰制，即每一场比赛都要淘汰一名队员。要想决出冠军，就要淘汰掉427人，（只剩一名冠军），所以要进行427场比赛。
列式：（场）
答：一共要进行427场比赛。
例3. 某商店规定杨梅汁饮料1元一盒，五个空盒子又可换一盒饮料，育才幼儿园买了80元钱的杨梅汁饮料，你知道小朋友们最多可以喝多少盒饮料？
分析与解答：
解这类题时，用列表法仔细分析，并不困难，而且不易出错。
次数 1 2 3 4
杨梅汁（盒） 80 16 3 1
空盒数（盒） 80 16 4 0
从表上可知，第1次用80元钱可买80盒饮料，同时剩80个空盒子，第二次用第一次喝剩的80个空盒，可以换16盒饮料，喝完后剩下16个空盒子，第三次用第二次剩下的15个空盒换了3盒饮料，喝完后剩下3个空盒，加上上一次剩下的1个空盒还有4个空盒。第四次处理4个空盒，可以这样想，先借一个空盒，再一起换回一盒杨梅汁饮料，喝完后将空盒归还。或先借一盒饮料，喝完后剩下一个空盒和前面剩下的4个空盒一起归还。这样空盒全部换完了。
喝到的杨梅汁饮料最多的盒数是：
（盒）
答：小朋友们最多可以喝100盒饮料。
例4. 一艘轮船发生漏水事故，当时已漏进水480桶，立即用两部抽水机同时向外抽水，甲每分钟能抽出20桶，乙每分钟能抽出18桶。经过40分钟才把水抽完，求每分钟漏进来多少桶水？
分析与解答：因为在两台抽水机往外抽水时，通过漏洞仍然在不停地往船里进水。40分钟所抽出的水，除抽出已经漏进的480桶水外，还抽出随时漏进来的水。已知两部抽水机一分钟能抽水（桶）。经过40分钟，抽水的总量是桶，其余的是随时漏进的水。再除以40就得到每分钟漏进的桶数。
（桶）
如果这样列式，你明白其中的道理吗？
（桶）
答：每分钟漏进26桶水。
例5. 甲、乙、丙、丁四位同学比赛跳棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘，问丙赛了几盘？
分析与解答：用图示法解答。
我们可以用四个点分别表示甲、乙、丙、丁四个人，每两人之间比赛了就用一条线相连，没比赛就不连线。甲赛了3盘，甲一定是和乙、丙、丁各赛1盘，丁只赛1盘，那是和甲赛的，丁就不再和其它同学比赛了，乙赛了2盘，是和甲、丙各赛1盘。（如下图）
甲· ·乙
丙· ·丁
所以，丙赛了2盘。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 小明今年11岁，爸爸今年38岁，几年前爸爸的年龄是小明的4倍？
2. 有25人参加大扫除，其中扫地的有18人，擦窗子的有12人，那么扫地擦窗子都参加的有几人？
3. 甲桶有水35升，乙桶有水13升，甲桶的水倒入乙桶多少升才能使甲桶的水是乙桶的2倍？
4. 四个人驾驶3辆汽车，行驶了200千米的路程，平均每人驾驶多少千米？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 小明今年11岁，爸爸今年38岁，几年前爸爸的年龄是小明的4倍？
（岁）
（年）
答：2年前爸爸的年龄是小明的4倍。
2. 有25人参加大扫除，其中扫地的有18人，擦窗子的有12人，那么扫地擦窗子都参加的有几人？
（人）
答：两项都参加的有5人。
3. 甲桶有水35升，乙桶有水13升，甲桶的水倒入乙桶多少升才能使甲桶的水是乙桶的2倍？
（升）
（升）
答：从甲桶倒入乙桶3升，才能使甲桶里水是乙桶的2倍。
4. 四个人驾驶3辆汽车，行驶了200千米的路程，平均每人驾驶多少千米？
每辆车都行驶200千米，3辆车则行驶600千米，平均每人驾车（千米）
列式：（千米）
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