浓度问题
溶质与溶液重量的比值叫做溶液的浓度（通常用百分数表示），这三者的关系如下：
溶液的重量＝溶质的重量＋溶剂的重量
浓度＝溶质的重量÷溶液重量
溶液重量＝溶质重量÷浓度
溶质重量＝溶液重量×浓度
【例题分析】
例1. 一容器内有浓度25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？
分析与解答：
由于加水前后容器中所含有的糖的重量并没有改变，所以我们只需要将加水前后容器中所含糖的重量表示出来，即可计算出结果。用方程解，等量关系式是：
加水前溶液重量×浓度＝加水后溶液重量×浓度
解：设容器中原有糖水x千克。
（千克）
答：容器中原来有糖7.5千克。
例2. 现有浓度为10%的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？
分析与解答：这是一个溶液混合问题，混合前后溶液的浓度改变了，但是总体上溶质和溶液的总重量没有改变。
即：10%盐水中的盐＋30%盐水中的盐＝22%盐水中的盐
解：设加入浓度30%的盐水x千克
答：加入了浓度为30%的盐水30千克。
例3. 现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？
分析与解答：要想解决这个问题可以有两种方法：一种是往溶液中加盐，使盐水的浓度升高，一种是减少溶液中的水份，利用蒸发掉一部分水份的方法，从而提高盐水的浓度。
采用加盐的方法：溶液中水没有改变。加之前溶液中水的重量为（千克），加盐之后，水占盐水的，仍然是7.2千克，用（千克），可以求出加盐后盐水的重量，现在比原来多的部分就是加的盐的重量，所以加入盐的重量为（千克）。
若采用蒸发的方法：蒸发掉水份，盐的重量始终没改变，原来有盐（千克），现在有盐仍是0.8千克，但它占蒸发掉水份后盐水重量的20%，用（千克），可以求出蒸发后盐水的重量，现在比原来少的部分就是应蒸发掉的水（千克），所以需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20%。
例4. 在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？
分析与解答：第一次是往浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，在这个过程中，溶液中纯酒精的量不变，我们只要计算出5千克浓度为30%的酒精溶液中所含酒精的量，用这个量除以前后溶液浓度的差值，即可计算出原有酒精溶液的量。
（千克）
即原有浓度为40%的酒精溶液15千克。
第二次加的是酒精，加入酒精前，溶液的重量是（千克），加入酒精前后，溶液中所含水的量不变。
加酒精前溶液中所含水的重量为：
（千克）
所以加入酒精后溶液的重量为：
（千克）
所以加入的酒精的重量为：
（千克）
答：再加入8千克酒精，溶液浓度变为50%。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？
2. 浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加糖多少千克？
3. 两种钢分别含镍5%和40%，要得到140吨含镍30%的钢，两种钢分别需要多少吨？
4. 一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是多少？
5. 在浓度为20%的盐水中加入10千克水，浓度变为15%，再加入多少千克盐，浓度变为25%？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？
（千克）
答：加入20克水就能得到浓度为8%的糖水。
2. 浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加糖多少千克？
答：需加糖克。
3. 两种钢分别含镍5%和40%，要得到140吨含镍30%的钢，两种钢分别需要多少吨？
答：含镍40%的钢需100吨，含镍5%的钢需40吨。
4. 一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是多少？
第二次倒出的纯酒精为：
两次共倒出的纯酒精为：
此时溶液的浓度为：
5. 在浓度为20%的盐水中加入10千克水，浓度变为15%，再加入多少千克盐，浓度变为25%？
答：再加入千克盐，浓度变为25%。
PAGE
4列方程求面积
同学们，这一讲我们主要来研究一下“列方程求面积”这方面的问题，也就是研究如何利用列简易方程求面积。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 图1中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积（单位：厘米）
A D
6 F
B 9 E C
分析与解答：因为三角形AEF的底和高很难求出，所以用三角形面积公式求三角形AEF的面积是很困难的。
但是，三角形ABE、AFD和四边形AECF面积相等，也就是说它们三个把这个长方形的面积平均分成了三份。因为长方形的面积是平方厘米，所以它们三个的面积都是平方厘米。
我们只要从四边形AECF中减去三角形ECF的面积，就可以求出三角形AEF的面积了。
而三角形ECF的面积，需要利用EC、CF的长来求。要想求EC、CF的长，就要知道BE和DF的长。
我们利用现有条件可以求出BE和DF的长度。
解：设BE长为厘米，DF长厘米。
所以厘米
厘米
那么，三角形ECF的面积就是平方厘米
三角形AEF的面积就是平方厘米
例2. 如图2所示，四个一样的长方形和一个小正方形，拼成一个面积为49平方米的大正方形，小正方形的面积是4平方米，问长方形的短边长是几米？
图2
分析与解答：因为大正方形和小正方形的面积分别是49和4平方米，所以我们可以很快想出大正方形和小正方形的边长分别是7米和2米。从图中可以看出：大正方形的边长是2个长方形短边与一条小正方形边长的和。
解：设长方形短边长米。
答：长方形的短边长2.5米。
例3. 图3中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，求三角形ABD的面积。
A 5厘米 D
B 7厘米 C
图3
分析与解答：要想求三角形ABD的面积，就要知道它的底和高分别是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD长5厘米，高就是梯形的高。现在已知梯形的上底和下底以及面积，可以求出梯形的高，也就是三角形ABD的高。
解：设梯形ABCD的高是x厘米。
所以的面积是：（平方厘米）
答：的面积是10平方厘米。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
二. 尝试体验:
1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。
5cm
6cm
2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。
B A
F
C E D
3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。
4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。
6厘米
3厘米
5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。
6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。
A
B D F C
请做完之后再看答案！
【试题答案】
二. 尝试体验:
1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。
5cm
6cm
9平方厘米
2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。
B A
F
C E D
12平方厘米
3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。
180平方厘米
4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。
6厘米
3厘米
70平方厘米
5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。
1
6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。
A
B D F C
10平方厘米
6添辅助线求面积（一）
【例题分析】
一. 阅读思考
例1. 图中线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于E点，如果三角形DEF的面积为6平方厘米，请你算一算三角形BCE的面积。
A D
E
B C F
分析与解答：从原图上看，三角形DEF和三角形BCE之间没有任何联系。如果能借助第三个图形，使它们联系起来就可以使问题得到解决。这时，我们就要添“辅助线”来帮助解决问题。但是，辅助线不能乱添，如果添上后不能使两个三角形产生联系，就没有意义了。
从图中可以看出ABCD是平行四边形，所以AB与CD平行，AD和BC平行。如果我们连接A和C，就可以看出：和的面积相等，和面积相等。（都是等底等高）
所以
所以的面积也是6平方厘米
A D
E
B C F
例2. 在下图中，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于E，AF＝CE，DE＝BG，如果四边形ABCD的面积是25平方厘米，请算算三角形EFG的面积。
D
F A E C
B
G
分析与解答：从图中可以看出，AC和BD把四边形分成了四个三角形，我们可以添上辅助线，来利用“三角形等底等高面积相等”这一关系。
连接AG和CG
D
F A E C
B
G
因为DE＝BG，所以，
又因为，所以，到这里，我们就可以看出
也就是说，的面积和四边形ABCD的面积相等，都是25平方厘米。
例3. 在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米，求三角形CDF的面积。
D C
G F
A E B
分析与解答：既然是求三角形的面积，我们就应该利用“三角形”等底等高面积相等这一知识。
通过连接AF和CE，可以看出，
又因为
所以
所以三角形CDF和三角形AED的面积相等，都是10平方厘米。
同学们，你们能想出一个更简便的思路吗？
例4. 在三角形ADE中，BD＝3AB，CE＝5AC，求三角形ADE是三角形ABC的多少倍？
A
C
B
D E
分析与解答：要解答这道题，我们可以添上一条辅助线，也就是连接BE。
A
C
B
D E
添上辅助线后，可以看出：
和的高相等，因为“两个三角形高相等，它们面积的比就是它们底边长度的比”，CE＝5AC，所以
所以
同理，可知因为，所以，
所以是的6×4＝24倍
［答题时间：30分钟］
二. 尝试体验
1. 在图中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？
F
C
B
A
D E
2. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四边形EFGH的面积。
H G
C
D
B
A
E F
3. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？
A H D
E G
B F C
4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。
A D
F
O
B E C
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 在图中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？
F
C
B
A
D E
答：72个面积单位
2. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四边形EFGH的面积。
H G
C
D
B
A
E F
答：10平方米
3. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？
A H D
E G
B F C
答：36平方分米
4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。
A D
F
O
B E C
答：216平方厘米
PAGE
5工程问题
我们以前经常接触“工作问题”，它是研究工作效率、工作时间和工作量之间的关系，工程问题也是研究这三个量之间关系的，唯一不同的是，工程问题以“率”代“量”。
【例题分析】
例1. 一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成。问乙队单独完成这项工作需多少天？
分析与解：甲队单独做20天可完成，每天完成工程的，现在甲队干了8天，完成了全部工程的，这时余下，余下的乙干了15天，由此可知，乙队每天完成全部工程的。
（天）
答：乙队单独完成这项工程需25天。
例2. 某制衣厂要制做一批服装，原计划每天生产300件，60天完成任务。实际上每天生产的服装件数比原计划多20%，完成这批服装的制做任务，实际用了多少天？
分析与解：
方法一：（天）
方法二：原计划60天完成，每天完成总任务的，无形中把总任务看作单位“1”，实际每天完成的相当于计划的120%，即实际每天完成的120%。
（天）
两种方法对比，后者以“率”代“量”比较简便。
答：实际用了50天。
例3. 用一根绳测井深，用3折量井外余4米，用4折量井外余1米，井深几米？绳长几米？
分析与解：
方法一：用3折量，井外余米，用4折量，井外余米，相比之下，后者比前者少余（米），这8米正好是个井深。
（米） 井深
（米） 绳长
方法二：用3折量，每折相当于绳子全长的，用4折量，每折相当于绳子全长的，绳子的比多（米）。
（米）
（米）
答：井深8米，绳长36米。
例4. 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙。若同时开放甲丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两个水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满。若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？
分析与解：通过同时开放甲丙两管，20小时可将水排空，可以求出甲丙两管齐开，1小时排完满池水的；同时开放乙丙两个水管30小时将满池水排空，可以求出乙丙两管1小时排完满池水的；单开丙管60小时将空池注满，每小时注入水池的。
（甲、乙、丙合开1小时的工效）
（小时）
答：三管齐开，排空满池水需要10小时。
例5. 师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成。已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同。师傅与徒弟甲合作所需天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同。问两徒弟单独完成这项工程各需多少天？
分析与解：因为师徒合作8天能够完成，所以师徒三人合作的工作效率是。又由于师傅单独完成与两徒弟合作完成这项工程所需的天数相等，所以师傅的工作效率为。
因为师傅与徒弟甲合作完成这项工程所需天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相等，所以师傅与徒弟甲合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的4倍。由此可知，师徒三人合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的5倍，所以徒弟乙的工作效率为，徒弟甲的工作效率为，已知三人工效就可以求出三人单独完成这项工程所需的时间。
（天）
（天）
答：若单独完成这项工程，甲需天，乙需40天。
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 一项工程，甲、乙两队合作60天可完成。如果甲、乙两队合作24天后，余下的工程由乙队再用48天才能完成。问甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
2. 一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在三人合作需几天完成？
3. 一项工程，甲、乙合作需12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的，如果这件工作由乙单独做，需多少天完成？
4. 有一批机器零件，甲单独做需17天，比乙单独做多用了1天，两人合作8天后，剩下的420个零件由甲单独制作，问甲共做了多少个零件？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 一项工程，甲、乙两队合作60天可完成。如果甲、乙两队合作24天后，余下的工程由乙队再用48天才能完成。问甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
答：单独完成这项工程，甲需240天，乙需80天。
2. 一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在三人合作需几天完成？
答：三人合作需天。
3. 一项工程，甲、乙合作需12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的，如果这件工作由乙单独做，需多少天完成？
答：由乙单独做需30天完成。
4. 有一批机器零件，甲单独做需17天，比乙单独做多用了1天，两人合作8天后，剩下的420个零件由甲单独制作，问甲共做了多少个零件？
答：甲共做了7140个零件。
PAGE
4连续数问题
［开场白］
今天我们一起学习连续数的问题。什么叫连续数呢？
若干自然数依次差1的，叫做连续数。依次差2的奇数（单数）叫做连续奇数，依次差2的偶数（双数），叫做连续偶数。
以若干个整数按某一规律排成一列为内容的问题，称作连续数问题。
例1. 5个连续整数和是35，求这五个数。
思路分析：连续整数的个数是奇数，必有一个中间数（排列位置在中间的数），以中间数成中心对称的两个数的和必是中间数的2倍，所以中间数等于这几个连续整数的平均数。
解法一：这五个连续整数的中间一个数是几？
前面的两个数各是几？
后面的两个数各是几？
答：这五个连续整数是5、6、7、8、9。
解法二：以最小的一个数为一倍。
（一）：
（二）：
1
（三）：
2 35
（四）：
3
（五）：
4
或者：以最大的一个数为一倍。
答：这五个连续数是5、6、7、8、9。
由例1可以看出，解连续数问题，应注意两个连续整数间的差是1。连续整数是奇数时，求中间数的关系式是：
连续整数的和÷连续整数的个数＝中间数
例2. 6个连续整数的和是63，求这6个数。
分析：连续整数的个数是偶数，第一个数与倒数第一个数的和与第二个数与倒数第二个数的和，及中间两个数的和都是相等的。所以中间两个数的和，等于连续整数和除以连续整数的个数的一半，所得的商。
解：中间两个数和是多少？
连续两个数的和是21，差是1，根据和差问题的解题方法，中间两个较大的数是
较小的数是：
前面两个数与后面两个数分别是：
答：这6个数分别是8、9、10、11、12、13。
例3. 六个连续偶数的和为54，求这六个数。
分析：此题与例2是同类型的题，六个连续偶数，相邻两个连续偶数的差是2，根据连续偶数的差是2，解答时，可以先求出六个偶数中的中间两数，然后分别求出各数。
解：（1）中间两个偶数的和是多少？
（2）中间两个偶数较大的一个是几？
（3）中间两个偶数较小的一个是几？
（4）前面两个偶数与后面两个偶数分别是多少？
答：这六个数分别是4、6、8、10、12、14。
例4. 7个连续奇数的和是63，求这7个奇数各是多少？
（1）中间数是多少？
（2）各数是多少？
第三个数
第二个数
第一个数
第五个数
第六个数
第七个数
答：这7个奇数分别是3、5、7、9、11、13、15。
［答题时间：30分钟］
（一）尝试讨论，合作交流
1. 小组讨论能用几种方法解答下面的题。
（1）两个连续整数的和是195，求这两个数。
（2）七个连续整数的和是126，求各数。
（3）五个连续偶数的和是110，求各数。
2. 八个连续奇数的和是304，求最大的一个数。
（二）巩固提高，创造发展
1. 四个连续奇数的和是40，求各数。
2. 五个连续整数从小到大排列，它们的和是160，第4个数是多少？
3. 八个连续奇数的和是816，求其中最大的奇数。
4. 5个排一列的整数的和是60，每个数比前一个数大3，求这5个数。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（一）尝试讨论，合作交流
1. 小组讨论能用几种方法解答下面的题。
（1）两个连续整数的和是195，求这两个数。
答：这两个数是97、98。
（2）七个连续整数的和是126，求各数。
答：这七个数是15、16、17、18、19、20、21。
（3）五个连续偶数的和是110，求各数。
答：这五个偶数是18、20、22、24、26。
2. 八个连续奇数的和是304，求最大的一个数。
答：这8个数是31、33、35、37、39、41、43、45。
（二）巩固提高，创造发展
1. 四个连续奇数的和是40，求各数。
答：这4个奇数是7、9、11、13。
2. 五个连续整数从小到大排列，它们的和是160，第4个数是多少？
答：第4个数是34。
3. 八个连续奇数的和是816，求其中最大的奇数。
答：最大一个数是109。
4. 5个排一列的整数的和是60，每个数比前一个数大3，求这5个数。
答：这5个数是6、9、12、15、18。
PAGE
5
