等差数列（一）
计算能力是重要的数学能力，计算要准确、熟练，还要运用运算定律简化计算。对特殊规律的计算还要研究解决它的特殊规律和公式。这一讲，我们就一起开始研究等差数列的知识。
阅读思考
1. 高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。高斯10岁的时候，他的数学教师给全班同学出了一道数学题：1+2+3+…+100。老师刚刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师。而其他同学过了很久才写出答案。老师非常吃惊地发现高斯的石板上只写了一个答案：5050。
同学们，你们知道高斯是怎么算得吗？
其实，奥妙在于高斯发现了下面这个规律：
1+2+3+……+98+99+100
101
把这些数两两相配，可以求出50个和，这些和都是101，总和是5050。以上这个思考方法可以用一个算式表示如下：
这个故事，使我们受到启发，要想算得又巧又快，就必须善于观察，注意题目的构造规律。以上问题是从1开始的连续自然数求和。相邻两个数的差都相等。
按一定规律排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项，用表示；第二个叫第二项，用表示；第三个数叫第三项，用表示；……。最后一项又叫末项，通常用表示。
2. 下面是两个等差数列的例子：
2，4，6，8，……
1，4，7，10，……
第一个数列的相邻两项的差都是2，第二个数列相邻两项之差都是3。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。其中相邻两项的差叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
在上面例子中，第一个数列的首项第二个数列的首项公差d=3。
同学们，你们能不能仿照样子举出几个等差数列的例子？说一说它们的首项、公差。
3. 等差数列的通项公式：
如果已知一个等差数列的首项，那么这个数列的组成就确定了。例如：，，那么这个数列就是5，9，13，17，……。虽然这个数列的各项不难逐一写出来，但是如果要求（第100项），就得把这个数列的前99项都写出来，这就太麻烦了。
有没有一个由首项，公差d，直接写出的公式呢？第二项比第一项多4；第三项比第二项多4，比第一项多2个4；第四项比第三项多4，比第一项多3个4……；第100项比第99项多4，比第一项多99个4。
所以可知：
一般地，一个等差数列可以由它的首项和公差d表示为：
……其中，，这就是等差数列的通项公式，也就是：
即：
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 按规律填数：
（1）1，2，4，（ ），16；
（2）1，4，9，16，（ ），36，49；
（3）0，3，7，12，（ ），25，33；
（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34。
2. 在下面括号中填入适当的数：
（1）2，4，16，256，（ ）；
（2）14，22，38，70，134，（ ）；
（3）2，4，7，11，16，（ ）；
（4）3，5，9，17，33，65，（ ）
3. 已知等差数列3，8，13……。求这个数列的第19项，第91项。
4. 求等差数列1，4，7，10，13，……的第12项和第80项各是多少？
5. 已知等差数列1，8，15，……，问134是这个数列的第几项？
6. 一个等差数列3，7，11，15，19，……，203。这个数列一共有多少项？
7. 等差数列。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 按规律填数：
（1）1，2，4，（8），16；
（2）1，4，9，16，（25），36，49；
（3）0，3，7，12，（18），25，33；
（4）1，1，2，3，5，8，（13），21，34。
2. 在下面括号中填入适当的数：
（1）2，4，16，256，（65536）；
（2）14，22，38，70，134，（262）；
（3）2，4，7，11，16，（22）；
（4）3，5，9，17，33，65，（129）
3. 已知等差数列3，8，13……。求这个数列的第19项，第91项。
93、453
4. 求等差数列1，4，7，10，13，……的第12项和第80项各是多少？
34、238
5. 已知等差数列1，8，15，……，问134是这个数列的第几项？
20
6. 一个等差数列3，7，11，15，19，……，203。这个数列一共有多少项？
51
7. 等差数列。
91
PAGE质数与合数（一）
（一）阅读思考
同学们都知道，每个自然数都存在约数，但每个自然数约数的个数很不相同。如果把自然数按照其约数的个数来分类：
1. 除了它本身之外不再有别的约数；
像2、3、5、7……这些数，除了1和它本身这两个约数之外，不再有别的约数，也就是说它们只有两个约数；
像4、6、8、9……这些数，除了1和它本身这两个约数之外，还有别的约数，也就是说它们有两个以上的约数。
我们说：（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这样的数叫做质数，也叫做素数。
（2）一个数除了1和它本身，还有别的约数，这样的数叫做合数。
（3）1既不是质数，也不是合数。
我们可以用下面这个图表示出这种分类：
自然数
质数 1 合数
质数与合数的知识是“数论”中最基本又是最重要的概念之一。下面我们来看一看这部分知识的应用。
例1. 判断247是不是质数。
分析与解答：在我们的书上，有100以内的质数表。但是对于超出这个表的自然数，我们怎样判断它是不是质数呢？
除了可以依据定义来判断，我们还可以用这个方法来判断：
因为，，如果247是合数，那就一定能分解成两个大于1的自然数相乘，而且这两个数中较小的一个一定会小于16，这个较小的数要么是质数，要么是合数，所以这个较小数一定又能被某一个小于16的质数整除。我们用小于16的质数，2，3，5，7，11，13这六个数除247，13能整除247，也就是，所以247是合数。
反过来，如果这六个质数都不能整除247，说明247是质数。
例2. 从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的一个数大12。你能写出几组？
分析与解答：我们已经掌握了100以内的25个质数，所以可以先从这里来思考。
那么，我们就从最小的质数开始考虑。
如果第一个质数是2，那么第二个数是14，不是质数，所以第一个质数不能是2。
如果第一个质数是3，那么第二个数是15，不是质数，不符合要求。
如果第一个质数是5，那么第二个数是17，第三个数是29，第四个数是41，第五个数是53，符合要求。
所以这五个质数是5、17、29、41、53
经过观察，后面的质数个位数字是1、3、7、9，不管以哪个数字做为个位数字的质数，逐次增加12，这五个数的个位都会以1、3、5、7、9逐次循环出现，而除了5以外，其它个位是5的数都不是质数，所以5、17、29、41、53是唯一的一组。
例3. 有三张卡片，上面分别写有1、2、3各一个数字，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中质数都写出来。
分析与解答：
抽一张卡片，可以写出一位数1、2、3
抽二张卡片，可以写出两位数12、13、21、23、31、32
抽三张卡片，可以写出三位数123、132、213、231、312、321
这些数中，是质数的有：2、3、13、31、23
所以，用这三张卡片可以摆出质数2、3、13、23、31
［答题时间：40分钟］
（二）尝试体验：
1. 有三张数字卡片，分别写着1、4、7，如果随意从中取出一张、二张、三张组成数，其中哪几个数是质数？把它们写出来。
2. 判断269，437两个数是合数还是质数。
3. 有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。
4. 把33拆成若干不同质数之和，如果要使这些质数的乘积最大，这些质数分别是多少？
5. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成小于100的质数，如果每个数字都用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成多少个质数？
6. 判定和是质数还是合数？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 有三张数字卡片，分别写着1、4、7，如果随意从中取出一张、二张、三张组成数，其中哪几个数是质数？把它们写出来。
17、41、47、71
2. 判断269，437两个数是合数还是质数。
269是质数，437是合数。
3. 有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。
例如：7个连续合数90、91、92、93、94、95、96
4. 把33拆成若干不同质数之和，如果要使这些质数的乘积最大，这些质数分别是多少？
2、7、11、13
5. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成小于100的质数，如果每个数字都用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成多少个质数？
6个
6. 判定和是质数还是合数？
是合数
是合数
PAGE巧求周长（一）
同学们都知道长方形的周长＝（长＋宽）×2，我们把长方形的周长用C表示，长用a表示，宽用b表示，长方形的周长用字母表示。正方形的周长＝边长×4，用C表示正方形的周长，a表示边长，正方形的周长用字母表示。运用上面两个公式可以求出标准的长方形和正方形的周长。今天我们要进一步学习运用长方形和正方形周长计算公式巧求周长，培养同学们灵活应用知识的能力。
（一）典型例题
例1. 下图是一块近似长方形的麦地，这块麦地的周长是多少？
思路分析：
要想求这块地的周长，乍看起来似乎缺少条件。因为这不是一块标准的长方形的地，而是一个六边形。求这块麦地的周长只要把围成麦地的六条边相加即可，而条件不足。如果我们运用平移，就可以把六边形转化为标准的长方形了。
答：这块麦地的周长是200米。
例2. 下图是一个楼梯的侧剖图面，已知每步台阶宽3分米，高2分米，问这个楼梯侧面周长是多少米？
分析与解答：
要求楼梯侧面的周长是多少米？乍看起来似乎缺少条件，如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层同样高的地方；把每层台阶的高度右移到左，最后层高度一致的地方，这样就将原图转化成了长方形。
答：楼梯侧面周长是10米。
例3. 王爷爷用篱笆在一面靠墙的地方围一个长方形的菜园，这些篱笆长30米，如果这个长方形菜园长18米，宽应该是多少？
思路分析：
王爷爷用篱笆围的长方形菜园是一面靠墙，所以这些篱笆只需围三个面（长方形的三条边，两个宽边，一个长边），因此这个长方形的宽应该是：
答：宽应该是6米。
例4. 用两个长和宽分别是9分米、7分米的长方形，拼成一个大的长方形，拼成后的长方形周长最长是（ ）分米，最短是（ ）米。
思路分析：
用两个长和宽都相等的长方形拼成一个大的长方形，要使周长最长，画出草图让长方形的宽边重合在一起。
方法（1）：
方法（2）：
方法（3）：
答：周长最长是50分米。
思路分析：用两个长宽都相等的长方形拼成一个长方形，要使周长最短，画草图时应让长方形的长边重合在一起。
方法（1）：
方法（2）：
方法（3）：
答：周长最短是46分米。
例5. 街心花园有一块草坪（如下图），在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花，一共可以种多少棵月季花？
思路分析：
要想求出草坪上种多少棵月季花，就要先求出草坪的周长，再求出周长里含有几个2米，就可以种几棵月季花了。
答：一共可以种63棵月季花。
［答题时间：25分钟］
（二）试一试，独立完成
1. 一个长方形边长6分米，把它平均分成3个小长方形，求每个小长方形的周长和面积各是多少？
2. 下图是一个餐厅室的平面图，准备重新装修。每一米长的墙壁需用50元壁纸，10元钱的胶。请你预算一下，装修墙壁约需材料费多少元？
3. 用9个边长2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长是__________厘米。
4. 下图正方形被分割成4个长方形，每个长方形的周长都是20厘米，求这个正方形的周长？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）试一试，独立完成
1. 一个长方形边长6分米，把它平均分成3个小长方形，求每个小长方形的周长和面积各是多少？
（分米）
（平方分米）
答：每个小长方形周长是16分米，面积是12平方分米。
2. 下图是一个餐厅室的平面图，准备重新装修。每一米长的墙壁需用50元壁纸，10元钱的胶。请你预算一下，装修墙壁约需材料费多少元？
（米）
（米）
（10＋50）×58
＝60×58
＝3480（元）
答：装饰墙壁需材料费3480元。
3. 用9个边长2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长是__________厘米。
（5＋3）×2＝16（厘米）
答：周长是16厘米。
4. 下图正方形被分割成4个长方形，每个长方形的周长都是20厘米，求这个正方形的周长？
20×4÷10
＝80÷10
＝8（厘米）
8×4＝32（厘米）
答：正方形周长是32厘米。
PAGE学高斯 巧求和（一）
德国大数学家高斯小时候就喜欢动脑筋，上小学三年级时老师出一道题：1+2+3+4+5+……+99+100=？
聪明的小高斯看到题后并不急于直接相加求和，而是寻求这串加数的规律，他发现：1+100=2+99=3+98=……=50+51=101，这些两个数的和都相等，且这100个数可以组成的个这样的和。于是小高斯就把这道题巧算为：，当别的学生还在埋头苦算时，小高斯早已算出答案了。
实际上，上面的这道题就是求等差数列1，2，3，……99，100各数的和，我们把高斯所列的算式推广到一般情况，就得到了等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数。
在等差数列中还有两个比较常用的公式：
下面我们就来应用以上公式解决有关等差数列的问题。
二、指导探索。
例1. 计算：1+2+3+4+……+1996+1997
分析与解：显然这串加数1，2，3，……1996，1997成等差数列，且已知首项是1，末项是1997，共有1997个加数，所以可以直接使用等差数列的求和公式求和：
例2. 计算：
分析与解：数列2，5，8，……，299是个等差数列，且首项是2，末项是299，公差是3，要想求出这个数列所有项的和，必须先求出这个数列共有多少项，然后再代入求和。
例3. 求数列6，9，12，……，前100个数的和。
分析与解：数列6，9，12，……是个等差数列，且首项为6，公差为3，项数为100，要想求出这100个数的和，必须先求出末项，即这个等差数列的第100项。
例4. 计算：
分析与解：由于每个括号里的加数都成等差数列，故应先利用等差数列求和公式分别求出每个括号内的和，然后再求差。显然，每个括号求和之前，应先求出每个括号内共有多少个数。
（个）
（个）
例5. 求所有能被11整除的三位数的和。
分析与解：首先应找出能被11整除的三位数都有哪些。它们依次是110，121，132，143，154，……990。显然它们是一个等差数列，故应根据等差数列求和公式求和，在此之前应先求出项数。
例6. 求1至100以内所有不能被5或7整除的数的和。
分析与解：如果想直接求出1至100以内所有不能被5或7整除的数的和是困难的。因此我们采用“迂回”的方法来解此题。即可以先分别求出能被5或7整除的数，并求出它们的和，然后再从1至100的和中减去它们的和，所得的差就是要求的和。
1至100内所有能被5整除的数依次是5，10，15，……100，这个等差数列的项数为。因此
1至100内所有能被7整除的数依次是7，14，21，……98，这个数列的项数为，因此
还应注意到，1至100内35、70这两个数既能被5整除，又能被7整除，而在上面所求的两个数列的和中都有35，70这两个数，计算重复了。
所以，+
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 计算。
（1）11+14+17+……+101
（2）（101+103+105+……+399）-（91+93+95+……+389）
2. 求自然数中所有两位数的和。
3. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数来，得到数列：1，4，7，10，……，求前100个数的和。
4. 求自1开始连续100个单数之和。
5. 求100以内所有被5除余1的自然数之和。
6. 求1至200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 计算。
（1）11+14+17+……+101
（2）（101+103+105+……+399）-（91+93+95+……+389）
2. 求自然数中所有两位数的和。
自然数中所有两位数：10，11，12，13，14，……99
3. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数来，得到数列：1，4，7，10，……，求前100个数的和。
4. 求自1开始连续100个单数之和。
5. 求100以内所有被5除余1的自然数之和。
100以内被5除余1的自然数是：1，6，11，16，21，……91，96
6. 求1至200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
能被4整除的数有：
4，8，12，16，……200
能被11整除的数有：11，22，33，44，……198
其中44，88，132，176既能被4整除又能被11整除。
PAGE平均数应用题（一）
二. 重点、难点：
平均数在我们的生活中经常用到，比如，有两块田地（面积不一样大），秋收完毕后，为了比较两块地中哪一块的产量高，人们就要计算出每一块地的平均产量来比较；像求平均亩产量，平均分数，平均速度都是求平均数。
计算平均数时，用总数量除以相应的总份数，简要地可以写成：
平均数=总数量÷总份数
由这个基本数量关系式可得：
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
一. 典型例题
例1. 四年级乒乓球队的同学测量身高，其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米，求四年级乒乓球队同学的平均身高是多少厘米？
分析与解：要求球队的平均身高，要先求出球队身高总和及总人数：
（厘米）
除了这种方法外，还可以采用“移多补少”的方法求平均数。
这七个人的身高分别是
153 153 152 149 149 147 147
把多的补给少的，直到每人都相等为止，这同样多的身高数就是这七个人的平均身高。（150厘米）
方法三：以最少的（147厘米）为标准，把多余的合起来再均分。
（厘米）
答：四年级乒乓球队同学的平均身高是150厘米。
例2. 前进机床厂有三个车间，一车间有120名工人，月生产机床7200台，二车间有114名工人，月生产机床7068台，三车间有140名工人，月产机床10042台，求三个车间平均每个工人月产量是多少？
分析与解：先求出三个车间的月总产量，再求出三个车间的总人数。三个车间的月总产量除以总人数，就可得出三个车间平均每个工人的月产量。
=65（台）
答：三个车间平均每个工人的月产量为65台。
问：例2，列成下面的算式计算可以吗？
例3. 小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的平均分数是90分，问小明前后几次考试的平均分数是多少？
分析与解：利用前两次考试的平均分数，可以求出前两次考试的总分数。同理，也可以求出后三次考试的总分数，然后用前后几次考试的总分数除以总次数就是所求的平均分数，列式计算如下：
（分）
答：小刚前后几次考试的平均分数是88分。
如果列成可以吗？为什么？
例4. 小刚在期末考试时，地理成绩公布前他四门功课的平均分数是92分，地理成绩公布后，他的平均成绩下降了2分。
问小刚的地理考了多少分？
分析与解：
方法一：
（分）
方法二：
（分）
答：小明的地理考了82分。
例5. 小强上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米，那么，他在上下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？
分析与解：要求上、下山的平均速度就要求出上、下山的总路程和总时间，根据“总路程÷总时间=平均速度”我们假设山路为S千米。
列式：
因为上式我们暂时无法计算，为了解决这个问题，我们可以假设S=12千米，当然把S假设为其他数也可以。
答：上山、下山的平均速度是每小时3千米。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 以下2个数的平均数是多少？
401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401，400，400，402，403
2. 比较下面3组同学的身高情况
1号 2号 3号 4号 5号 6号
第1组 147 136 170
第2组 145 143 158 132 140 146
第3组 141 160 135 155
3. 有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8，这个改动的数原来应该是多少？
4. 小华语文、数学、自然期末考试的平均成绩是96分，语文，自然的平均成绩是94分，语文，数学的平均成绩是97.5分，小华三科成绩各是多少？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 以下2个数的平均数是多少？
401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401，400，400，402，403
2. 比较下面3组同学的身高情况
1号 2号 3号 4号 5号 6号
第1组 147 136 170
第2组 145 143 158 132 140 146
第3组 141 160 135 155
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：一组同学最高，二组同学最低。
3. 有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8，这个改动的数原来应该是多少？
答：这个被改动的数原应该是6。
4. 小华语文、数学、自然期末考试的平均成绩是96分，语文，自然的平均成绩是94分，语文，数学的平均成绩是97.5分，小华三科成绩各是多少？
（分）……语文
（分）……自然
（分） 数学
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