二进制（二）
同学们，今天我们继续学习二进制。如何把十进制改成二进制，下面向大家介绍一种方法叫：除二倒取余法。
（一）学习方法指导
例1. 将写成二进制数。我们将71除以2，余数1。相应写在右边，（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边，再将这步的商17除以2，重复上述的过程，直到商等于1为止，并且最后一步的商“1”也写在右边余数哪一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是的二进制数表示法。即：
例2. 用除二倒取余法将写成二进制。
请你们试着做一做。
仍然是将38除以2，商19余0，用19除以2，商9余1，再用9除以2商余1，用4除以2商2余0，直到商等于1为止，再用2除以2商1余0，最后余1。最后将这列余数由下到上写成一行，则是。
例3. 用两种方法将改写成二进制数。
方法一：
我们先将107分成64与43，64则是最高位。43分成32和11，这时将11分成16这一档的数没有，则写成，则11可以分成8和3，那么3不够4，只能写，3可以分成2和1。
方法二：用除二倒取余法将写成二进制，首先用107除以2商53余1，再用53除以2商26余1，用26除以2商13余0，用13除以2商6余1，用6除以2商3余0，用3除以2商1余1，最后1余1。写成模式。即是所求：。
同学们还记得吗？我们学习加法时有加法口诀；学习乘法计算时，又有“九九乘法口诀表”，背诵乘法口诀大家感到很费事。那是我们使用的是十进制，所以它的四则运算法则不能太简单。现在我们学习了二进制数，而二进制数中只有两个独立的符号“0”与“1”，所以二进制数的四则运算就简单多了。
如加法法则：
乘法法则：
我们根据八条二进制运算法则可以归纳成八个字：“格式照旧，满二进一。”利用这一规则，可以很容易地实现二进制数的四则运算。只是对于减法，当需要向上一位借数时，必须把上一位的1看成下一位的。我们看一例子，右边列的是十进制下的对照。
加法运算：
，本位记0，并向高位进1，即满二进一。
减法运算：
被减数不够减，向高位借1当2，得1。
乘法运算：
除法运算：
我们通过上边四个例子，我们初步知道了二进制数的四则运算的方法。下面试做题。
（二）合作学习
1.
我们可以验算：
2. 玲玲和丽丽这样做的：
，然后他们用加法验算：
3. 我们共同完成下一题：
，验算：
4. 验算：
［答题时间：20分钟］
（三）灵活运用，创造发展
1.
2.
3.
4.
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（三）灵活运用，创造发展
1.
2.
3.
4.
……当2
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5巧解应用题
同学们好！应用题中的条件变化很大，你能从中巧妙地找到解题方法吗？如果遇到一些棘手问题怎么办，今天老师教你“几招”。
（一）思路指导与解答
例1. 三年级一班有42人，全班都订了杂志，订“少年报”的有38人，订“科学画报”的有24人，两种杂志都订的多少人？
分析与解答：图中横线圈表示订“少年报”的人数，竖线圈表示订科学画报的人数，最大的圈表示全班人数，具有两种线条的小圈表示两种杂志都订的人数。
方法（1）：（人）
方法（2）：（人）
方法（3）：（人）
方法（4）：（人）
答：两种杂志都订的有20人。
例2. 新华书店新进了故事书和科技书，故事书的本数是科技书的11倍。如果从故事书中拿出100册放在科技书里，那么这两种书的册数刚好相等，故事书和科技书原来各有多少册？
思路分析：将题中叙述的已知条件用线段图表示出来。
方法（1）：（倍）
（倍）
（本）
（本）
答：故事书有220本，科技书有20本。
方法（2）：（本）
（倍）
（本）
（本）
答：故事书有220本，科技书有20本。
例3. 三棵树上停着39只鸟，如果第一棵树上的6只鸟飞到第二棵树上去了，第二棵上有4只鸟飞到第三棵树上去了，这时三棵树上的鸟相等，原来树上各停着几只鸟？
思路分析：这道题从后往前推，三棵树共停39只鸟，最后三棵树上鸟的只数相等，再推理出三棵树上的鸟是如何相等的，飞走的飞回来，飞来的飞回去。
解法1：
（第一棵）
（第二棵）
（第三棵）
答：第一棵树上有19只鸟，第二棵树上有11只鸟，第三棵树上有9只鸟。
解法2：列表法。
第一次 第二次 第三次 第四次
第一棵树 -6 13 13+6
第二棵树 +6 -4 13 13-6+4
第三棵树 +4 13 13-4
答：第一棵树上有19只鸟，第二棵树上有11只鸟，第三棵树上有9只鸟。
例4. 有甲乙两个人出相等的钱买若干支同样的笔，其中甲比乙多拿了6支笔，因此甲付给乙12元，那么每支笔多少元？
思路分析：两人出相等的钱里应得到相等数量的铅笔，结果甲比乙多要6支笔，实际上3支笔是他自己应得到的，另3支笔是从甲乙那里拿来的，所以付12元是3支笔的价钱。
答：每支笔用4元。
［答题时间：60分钟］
（二）尝试体验，合作交流
1. 朝阳小学举行运动会，三年级有90人，其中参加田赛的49人，参加径赛有58人，20人没有参加比赛，既参加田赛又参加径赛的有多少人？
2. 妈妈买两种布料，一种布料每米25元，另一种每米23元，妈妈共买了12米。收款时，售货员把每米25的布料算成每米23元，每米23元的布料算作每米25元，妈妈付了286元，这样商店要损失多少元？
3. 哥哥说，“假如我再多5元，那么我的钱是妹妹的钱数的2倍，我们一共有100元，”哥哥有多少钱？妹妹有多少钱？
4. 育红小学去年栽杨树960棵，是松树的4倍，今年计划栽松树的棵数不变，栽的杨树是松树的5倍，今年比去年多栽杨树多少棵？
5. 2角硬币比5角硬币多24个，按钱数算，5角的却比2角多3元，还有53个一角的硬币，一共有多少硬币？
（三）思考后独立完成
1. 小丽家养了一只大白兔和一只小花猫。小丽抱着大白兔站在体重计上，重量是33千克，小丽抱着小花猫站体重计上，重量是31千克，把大白兔和小花猫放在体重计上，重量是4千克，求小丽、大白兔、小花猫的体重各是多少千克？
2. 小宁家有一个书架，上面放着各种书450本，书架共分3层，小宁从第2层拿出35本放到第1层里，从第3层拿出2本放到第2层里，又从第1层拿出29本放到第3层里，这样，3层里书的本数一样多了。求原来每层有书多少本？
3. 甲、乙两筐苹果，如果从甲筐中取出6个放在乙筐中，两筐苹果的个数就相等了。问原来这两筐苹果相差多少个？
4. 老汉要卖一车瓜，自卖自夸笑哈哈，
先卖一半零一个，再卖一半零一个，
又卖一半零一个，车里还剩一个瓜，
小朋友们算一算，车里原有几个瓜。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验，合作交流
1. 朝阳小学举行运动会，三年级有90人，其中参加田赛的49人，参加径赛有58人，20人没有参加比赛，既参加田赛又参加径赛的有多少人？
答：既参加田赛又参加竞赛的有37人。
2. 妈妈买两种布料，一种布料每米25元，另一种每米23元，妈妈共买了12米。收款时，售货员把每米25的布料算成每米23元，每米23元的布料算作每米25元，妈妈付了286元，这样商店要损失多少元？
答：商店损失4元。
3. 哥哥说，“假如我再多5元，那么我的钱是妹妹的钱数的2倍，我们一共有100元，”哥哥有多少钱？妹妹有多少钱？
答：妹妹有35元，哥哥有65元。
4. 育红小学去年栽杨树960棵，是松树的4倍，今年计划栽松树的棵数不变，栽的杨树是松树的5倍，今年比去年多栽杨树多少棵？
答：今年比去年多栽杨树240棵。
5. 2角硬币比5角硬币多24个，按钱数算，5角的却比2角多3元，还有53个一角的硬币一共有多少硬币？
答：有129个硬币，共28元3角。
（三）思考后独立完成
1. 小丽家养了一只大白兔和一只小花猫。小丽抱着大白兔站在体重计上，重量是33千克，小丽抱着小花猫站体重计上，重量是31千克，把大白兔和小花猫放在体重计上，重量是4千克，求小丽、大白兔、小花猫的体重各是多少千克？
答：小猫重1千克，小兔重3千克，小丽重30千克。
2. 小宁家有一个书架，上面放着各种书450本，书架共分3层，小宁从第2层拿出35本放到第1层里，从第3层拿出2本放到第2层里，又从第1层拿出29本放到第3层里，这样，3层里书的本数一样多了。求原来每层有书多少本？
原第一层：
原第二层：
原第三层：
答：原来第一层有144本，第二层有183本，第三层有123本。
3. 甲、乙两筐苹果，如果从甲筐中取出6个放在乙筐中，两筐苹果的个数就相等了。问原来这两筐苹果相差多少个？
答：原来这两筐苹果相差12个。
4. 老汉要卖一车瓜，自卖自夸笑哈哈，
先卖一半零一个，再卖一半零一个，
又卖一半零一个，车里还剩一个瓜，
小朋友们算一算，车里原有几个瓜。
（1）第3次卖的时候共有多少个瓜？
（2）第二次卖的时候共有多少个瓜？
（3）车里原有多少个瓜？
答：车里原有22个瓜。
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5图形的个数（二）
我们已经学习了数线段、数角、数三角形，还总结了计算图形个数的公式，但这些公式不是万能的，这一讲我们学习比较复杂的图形计数问题，请同学们留心观察：我们都采取了哪些方法和策略。
［学习过程］
一. 例题分析：
例1. 数一数，下图中有多少个三角形？
分析与解：观察上面图形中这些三角形，可以分为尖朝上和尖朝下两大类，将尖朝上的三角形1—8依次编上序号，尖朝下的三角形用A、B、C、D、E、F、G、H依次标上字母（如下图）
（1）标上数字和字母的基本三角形共有：
（个）
（2）由四个基本三角形组成的三角形，尖朝上的有3个，尖朝下的有3个，所以这个图形共有三角形：（个）
想一想：如下图，如果没有明显尖朝上和尖朝下的三角形怎么办？
例2. 下图是由18个边长相等的正方形组成的长方形，在这个图形中，含有$的长方形或正方形共有多少个？
分析与解：由于宽是3，所以只要数出第三行中有$的长方形或正方形的个数，再乘以3就可以了。本题应采用分类的方法（按包含几个基本图形分）。我们把第三行每个正方形用ABCDEF依次编号（如下图），符合题目要求的长方形或正方形必须含有D。
（1）由一个正方形组成的只有D。
（2）由2个正方形组成的图形有2个。（CD、DE）
（3）由3个正方形组成的图形有3个。（BCD、CDE、DEF）
（4）由4个正方形组成的图形有3个。（ABCD、BCDE、CDEF）
（5）由5个正方形组成的图形有2个。（ABCDE、BCDEF）
（6）由6个正方形组成的图形有1个。（ABCDEF）
这一行中含有$的长方形或正方形共有12个。
这个图形中含有$的长方形或正方形共有：（个）。
例3. 数一数下图中有几个三角形。
分析与解：这个图形由8个正方形组成，每个正方形中又分为4个小三角形，我们把每个小三角形作为基本三角形。
1. 基本三角形有：（个）
2. 两个基本三角形构成的三角形有：每个正方形中有4个、8个正方形有（个）
3. 由4个基本三角形组成的三角形：其中尖朝上有5个，尖朝下有5个，尖朝左有4个，尖朝右有4个，共18个。
4. 由8个基本三角形构成的三角形有12个。
5. 由9个基本三角形构成的三角形共有8个。
6. 由16个基本三角形组成的三角形共有2个。
所以图中共有：（个）三角形
本题我们可以根据图形的对称性简便计数，尖朝上与尖朝下，尖朝左与尖朝右的个数相同，数出一侧后再乘以2。
例4. 如下图，AB、CD、EF、GH互相平行，图中梯形的个数和三角形个数哪一个多？它们相差多少？
O
A B
C D
E F
G H
分析与解：
先数出图中三角形的个数，以O点为顶点，以AB上的线段为三角形第三条边，AB上有5个点，所以三角形AOB中共有三角形（个）。同样，以CD上的线段为第三条边，以EF、GH上的线段为第三条边都有10个三角形，所以图中共有个三角形。
图中的梯形只存在于四边形ABHG中，因为AB、CD、EF、GH互相平行，所以数梯形数就如图数长方形数。用公式法可以计算出来，“长边”AB有10条线段，“宽边”AG有6条线段，所以图中共有梯形（个）。
所以，图中梯形个数比三角形的个数多，多（个）。
［答题时间：30分钟］
二. 尝试体验：
1. 数一数，下图中各有多少个三角形？
（1） （2）
2. 数一数，下图中有多少个梯形？
3. 下图中由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个。那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个。
4. 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有多少个？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
二. 尝试体验：
1. 数一数，下图中各有多少个三角形？
（1） （2）
（1）基本三角形16个
由2个基本三角形组成的有16个
由4个基本三角形组成的有8个
由8个基本三角形组成的有4个
共有三角形：个。
（2）基本三角形有12个
由4个基本三角形组成的三角形有6个。
由9个基本三角形组成的三角形有2个。
共有三角形（个）
2. 数一数，下图中有多少个梯形？
用数长方形个数的方法先数出长边线段数，再数出宽边线段数，求出大长方形中图形总数，再减去长方形个数，就是梯形个数。
长边线段数：（条）
宽边线段数：（条）
大长方形中图形总数：（个）
梯形个数：（个）
3. 下图中由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个。那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个。
边长为1的正三角形有1个。
边长为2的正三角形有4个。
边长为3的正三角形有1个。
（个）
4. 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有多少个？
基本正方形有9个，其他正方形的个数如下图。
4个
2个
2个
4个
2个
2个
共有21个正方形。
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6图形的个数（一）
“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。
（一）例题指导：
例1. 数出下列每条线段上线段的总条数。
（1） A B C
（2） A B C D
（3） A B C D E
分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。
（1）（条）
（2）（条）
（3）（条）
当然我们也可以这样数：以A为“左端点”的线段数，加上以B为左端点的线段数加上以C为“左端点”的线段数，……，所求出的结果以及列式与上面方法相同。
规律：线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
例2. 数出下面图中三角形的个数。
A
D E
B C
分析与解：仔细观察图形，可以发现，所构成的每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或DE上的线段，BC和DE上有多少条线段就有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例1可知，BC边上的线段有15条，那么，以BC边上线段为第三边的三角形就有15个。同理，DE边上的线段15条，以DE边上的线段为第三边的三角形也有15个。
所以，图中共有三角形（个）
例3. 数出下图中锐角的个数。
A
分析与解：由A点引出7条射线，任意两条射线之间都夹着一个锐角，同数线段一样，先数出最基本的锐角有多少个，再数出两个基本锐角组成的锐角有多少个，……，可以得出，该图形锐角的个数为：（个）
例4. 数出下图（图1）中三角形的个数。
图1
分析与解：明显地，这个图形与例2中数三角形的个数有很大的区别，所以例2的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。
怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图2所示。
图1
由1个三角形构成的三角形有6。
由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）
由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）
所以，此图中共有三角形：（个）
例5. 数出图3中三角形的个数。
图3
分析与解：
分三类数：第一类是ABE、ACF、ACE中的三角形；
第二类是下半部分BCDEF中的三角形；
第三类是前两类结合起来的三角形。
（1）三角形ABE、AFC中各有6个三角形，ACE中有3个三角形
（2）由第二类中，由1个三角形构成的三角形有8个，由2个三角形构成的三角形有6个，由3个三角形构成的三角形有2个，由4个三角形构成的三角形有2个。
（3）把图形的上下两部分结合起来看还有4个，即ABC、ACD、ADE、AEF
所以，图形中共有三角形：
（个）
［答题时间：30分钟］
（二）尝试体验：
1. 数一数下图中共有多少条线段？
2. 数一数下图中共有多少个三角形？
3. 数出下图中锐角的个数。
O
4. 数一数图中有多少个三角形？
5. 数一数下图中有多少个三角形？
请做完后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 数一数下图中共有多少条线段？
49条线段
2. 数一数下图中共有多少个三角形？
63个三角形
3. 数出下图中锐角的个数。
O
28个锐角
4. 数一数图中有多少个三角形？
38个三角形
5. 数一数下图中有多少个三角形？
45个三角形
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5二进制
同学们好：
我们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”对于其它进制则感到陌生。实际上，在我们的日常生活中，不仅使用十进制，还使用其它许多进制呢？如：
两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月为一年，这里使用的是十二进制；六十秒为一分，六十分为一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制等等，还有我们经常用到的100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，使用的则是一百进制。在实际生活中，还能发现更多的这样的例子。
随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益广泛，我们同学都有计算器吧！可你们知道吗？计算器内进行的计算使用的就是二进制。以后我们经常使用就会了解一些二进制的知识。
（一）阅读思考，学会方法
1. 什么叫二进制？
二进制：只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。如：2在二进制中是10；3在二进中是11；4在二进制中是100；5在二进制中是101。
同学们按照“逢二进一”的法则，很容易得到下表：
十进制 二进制 十进制 二进制
1 1 9 1001
2 10 10 1010
3 11 11 1011
4 100 12 1100
5 101 13 1101
6 110 14 1110
7 111 15 1111
8 1000 16 10000
2. 知道二进制与十进制的表后，我们还应掌握它们是如何互相转化的。
当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用的是“十进制”数，也就是：。
说明：1997中含有一个1000，九个100，九个10与七个1。在表“1”中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制10000表示十进制16；……可以发现规律：二进制数100000应该表示十进制32，……那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2也就是。
明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述方便，我们约定：用表示括号内写的数是二进制的数，如；用表示括号中写的数是十进制数，如。
例1. 把改写成十进制数。
解：
例2. 把改写成十进制数。
分析：因为位数太多，我们先从低位写起，先看最后一位，倒数二位表示，倒数第三位表示。因为4表示100，倒数第四位表示，倒数第五位表示，倒数第六位表示；倒数第七位表示；这样写成算式为：
从以上两道题可以看到：将一个二进制数写成一个十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的2倍。一个二进制的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ……
第二步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。看一题：
例3. 将改写成十进制数。
分析：我们还是由低位写起，看：
（二）尝识体验，合作交流
1. 改写成十进制数。
玲玲和丽丽合作完成，他们想“满二进一”还是按老师数的方法从最后一位做起：
想
因此题目中有三个1所在位置不同，所代表的数值不同。
一个二进制整数，它从右边第一位起，计数单位依次是，……。一般地说，任何一个二进制数都可以用各位上的数码与所在数位上的计数单位的乘积的和来表示。
2.
3. 把改写成二进制数。
从解题过程上可以看到，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进数改写成十进制数的过程相反。先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进数的最高数位，然后逐步往下进行。
4. 把改写成二进制数。
分析：不足64，所以它对应的二进制数的最高位是32，即，剩下的13不足16，则向下一位考虑。剩下的5中包含一个4，即，最后一位是1，又不足2。所以对应的二进位数又空一位。
［答题时间：20分钟］
（三）灵活运用，创造思维
1. 将改写成十进制数。
2. 将改写成二进制数。
3.将改写成二进制数。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（三）灵活运用，创造思维
1. 将改写成十进制数。
2. 将改写成二进制数。
3. 将改写成二进制数。
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