火柴棍中的数字（二）
（一）阅读思考，学会方法
例1. 火柴减少，排的正方形不少。我们用16根火柴摆成四个正方形。现在要用15根火柴，仍要摆成四个正方形。请你移动后，组成四个正方形。
分析：每个正方形由四根火柴组成，后三个正方形不动。
用15根
第一个正方形移动2根，使其成为四边形。
用14根，13根，12根各排成四个正方形，火柴减少，摆的正方形不少。
用14根摆：
用13根摆：
12根的摆法：
例2. 下面有五个用火柴棒排成的算式，请你在数字或加减符号中，移动一根或两根火柴，使计算结果同后面所排的得数相等。移动后，再另外取两根火柴作为等号排起来。你能排吗？
分析：
①将第二个加号去掉，移动加号中的“－”放到14的前面，变成114＋1－111＝4。
②观察发现，算式后面加4、减4，等于没加没减。如果17加11则不得11，如果减去11，则得6，后面加4，应再加4，其结果为11。所以把第一个加号改为“－”号，把＋号的另一根移动到“－”号上变成“＋”号，加上“等号”为17－11＋4＋4＝14。
③我们通过观察算式，为使结果为11，将第一个“＋”号改为“－”移动一根到第二个“－”号上，变为“＋”号，再加上等式，则算式为：14－7－1＋4＋1＝11。
④通过观察发现此题只需移动两个“＋”变为“－”号等式成立，如第一个“＋”号变“－”，把移动的一根放到第一个“－”号上变为“＋”，17－4＋1＋11－14＝11。
⑤将第一个“－”变为“＋”，使“71”变为“11”，“＋17”把“7”移走一根变为“11”，将移走的一根使“－11”变为“＋11”加上等号为7＋4＋11＋11＋11＝44。
例3. 用九根火柴，照下图摆成三个三角形。
要把这三个三角形改变成五个三角形，不准增添一根火柴，你想，应怎样移动？
分析：左图是用火柴排成三个三角形，不添一根火柴，使它变成五个三角形。我们只需将下面的三角形，移到上面来，移动一下。
用六根火柴，摆成一个三角形，要把这个三角形变成六角形，只准移动四根火柴，应怎样移？
分析：为了方便我们将大三角形的6根火柴，编上号，我们先看2号、5号不动，让3号左端不动，右端下移，4号右端不动，左端下移，1号做底边，6号右端不动，左端移下做顶边。这根就形成了六边形。
例4. ①四个正方形变成三个，用火柴十二根，排成四个小正方形。如图：
现在移动四根，使四个小正方形变成三个小正方形。你想应怎样移法？
分析：为了移动清楚，我们将部分火柴贴上序号，我只在两个对角的四边形上写了1、2、3、4号，只要将1、2、3、4号移到右下角组成一个新的四边形就是组成了三个四边形。
②用十五根火柴排成五个正方形。
现在拿走三根，使五个正方形变为三个，你想应怎样拿？
我们仍将图排上序号，1、2、3。我们只要拿掉图中所排的序号三根，就成为三个正方形。
③用火柴二十四根，排成九个小正方形。请你从排好的九个小正方形中，拿掉8根，使它变成五个正方形或者两个正方形。
分析：题目中从24根中，拿走8根，使之变成5个正方形，或者2个正方形。
我们只要拿掉1、2、3、4个正方形，剩下的就是五个正方形，1号正方形拿走2根，2号、3、4分别拿走2根，共8根。
要想变成2个正方形，我们仍然拿走8根，跟上图一样，拿走4个角上的4个正方形，（如图二）然后我们把空缺的四个正方形分别写上序号，即1～8号。
将1号2号分别平移，将3、4、5、6、7、8都平移，这样就形成了两个正方形。
［答题时间：20分钟］
（二）灵活运用，创造发展。
1. 用火柴组成下面五个数字和四个等号。
（1）下面的两个式子是不相等的，请移动一根，使它们分别成为等式。
①
②
（2）移动式子中“”中的两根火柴，使这个式子成为等式。
（3）用24根火柴摆成的图形（如图一），从中可以数出14个正方形来，（自己数一数）请拿去4根，使它只有2个正方形，4个长方形。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）灵活运用，创造发展。
1. 用火柴组成下面五个数字和四个等号。
（1）下面的两个式子是不相等的，请移动一根，使它们分别成为等式。
①
②
答案：
①式中的得数12中的2，移动上面的一根，变成4，此式可成为12＋2＝14。
②式中的“＝”移动其中一根到后面的减号上，此式可成为11－7＝4。
（2）移动式子中“”中的两根火柴，使这个式子成为等式。
答案：移动“＋”号两根火柴，成为“×”此式可成为：7×0＝0。
（3）用24根火柴摆成的图形（如图一），从中可以数出14个正方形来，（自己数一数）请拿去4根，使它只有2个正方形，4个长方形。
答案：从右上边开始，按顺时针方向的顺序，每2个正方形中间的一根火柴可拿走，就成为所求。
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1“牛吃草”问题
同学们，你们好！今天我们一起来研究“牛吃草”问题。这一类题目的代表是世界著名大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中的一道题目。这道题是这样的：一个牧场，12头牛4周吃草格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧草，多少头牛18周吃完？
在“牛吃草”问题中涉及的量有三个：牛的头数，牧场面积，天数（时间）。研究的方法一般是“比较法”，但是为了方便比较，要使两种情况的草场面积相同。
在研究“牛吃草”问题时，出发点一般是从牧草的生长量着手，因此要关心的量有两个，“原有草量”和“每天新生长的草量”。
下面我们就来通过例题，来谈谈这类题的具体特征及解法。
一. 阅读思考
例1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天？
分析：审题后，我们可以看出因为天数不同，这块牧场的总草量是不确定的。但不管多少天，总草量总是由“原有草量”和“每天新生长的草量”相加得到的。
下面，我们就争取通过比较找出这两个量。
10头牛吃20天
原有的草 20天新长的草
15头牛吃10天
原有的草 10天新长的草
从上面的图可以看出来：10头牛吃20天的总草量比15头牛吃10天的总草量多，多的部分就是10天新长出的草量。但草量没有一个明确的单位。所以我们把条件转化一下，来表示总草量：10头牛吃20天，相当于200头牛吃一天，或1头牛吃200天；15头牛吃10天，相当于150头牛吃一天或1头牛吃150天。
这样，10头牛吃20天的总草量就比15头牛吃10天的总草量多：
200－150＝50
在这里，50的单位可以看作“单位1”或“份”，也就是说两种吃法总草量的差相当于50头牛吃1天的或1头牛吃50天的草量，也就是10天新生长的草量。
那么，一天新生长的草量就相当于5头牛吃一天的草量。
知道了一天新生的草量相当于5头牛吃一天，那么20天新生长的草量就相当于100头牛吃1天的。而原有的草量就相当于100头牛吃1天的。
有了原有草量和新生草量，我们就可以解这道题了。
（1）转化：
10头牛20天吃的草可供多少头牛吃1天？
10×20＝200（头）
15头牛吃10天的草可供多少头牛吃1天？
15×10＝150（头）
（2）（20－10）天新生的草可供多少头牛吃1天？
200－150＝50（头）
（3）每天的新生草量可供多少头牛吃1天？
50÷10＝5（头）
（4）20天（或10天）新生的草可供多少头牛吃1天？
5×20＝100（头）或5×10＝50（头）
（5）原有草量可供多少头牛吃1天？
200－100＝100（头）或150－50＝100（头）
（6）每天25头牛中的5头吃新生的牧草，剩下的20头牛吃原有牧草，全部牧草几天吃完？
100÷（25－5）＝5（天）
答：25头牛5天吃完全部牧草。
例2. 22头牛，吃33公亩牧场的草54天可吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可吃完。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃尽（每公亩牧草原草量相等，且草同等生长）？
分析：这道题的解题思路与例1相同，也要先求出“原有草量”和“每天新生长草量”，但因为这三块地面积各不相同，所以我们应该先找出“单一量”，也就是一公亩一天所生的草相当于几头牛吃一天，一公亩原有的草相当于几头牛吃一天。
22头牛54天吃完33公亩上的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上54天新长的草，可供22×54÷33＝36（头）牛吃一天。
17头牛84天吃完28公亩上的牧草，那么一公亩草地上原有的草量加上84天新长的草，可供17×84÷28＝5（头）牛吃一天。
那么一公亩草地上2天新生长的草量就相当于1头牛吃一天的草量。30÷15＝2（天）也就是一公亩草地上2天新长的草可供1头牛吃1天。
因为一公亩草地上2天新长的草可供1头牛吃1天，所以一公亩54天新长的草可供27头牛吃1天，33公亩草地上54天新生长的草可供27×33＝891头牛吃1天。
而33公亩草地上54天的总草量可以供54×22＝1188头牛吃1天，所以33公亩草地原有草量可供1188－891＝297头牛吃1天，那么1公亩上原有草就可供297÷33＝9头牛吃1天。
下面就可以分步列式求出答案了：
（1）一公亩一天新长草可供几头牛吃1天？
（头）
（2）一公亩原有草可供几头牛吃1天？
（头）
（3）40公亩24天的总草量可供几头牛吃1天？
（头）
（4）40公亩牧场的草24天几头牛才能吃完？
（头）
答：40公亩牧场的草35头牛24天吃尽。
［答题时间：40分钟］
二. 尝试体验
1. 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问卖掉4头牛前原有多少头牛？（草每日匀速生长）
2. 牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
3. 一片牧草，每天生长速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
4. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可以淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
5. 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可以抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
请做完后，再看答案
【试题答案】
1. 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问卖掉4头牛前原有多少头牛？（草每日匀速生长）
40头牛
2. 牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
12周
3. 一片牧草，每天生长速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
8天
4. 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可以淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
14人
5. 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可以抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
12台
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4火柴棍中的数字游戏（一）
同学们好！火柴差不多家家都有。要说火柴与火的关系，每个同学都知道，而用火柴棍做数字与游戏，训练同学们的思维，增长智慧，都不是每个同学熟悉的了。这一讲我们共同了解火柴棍中的数字与游戏，去探索变化无穷的数字世界，了解数字的奇妙同时使大家在有趣的数字与游戏中变得更聪明。
（一）下面是由火柴棍组成的四个数字和三个运算符号：
（1）请你移动一根火柴，使下面等式成立。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
分析：思考由火柴棍组成的算式谜的变化时，应注意以下两点：
一是在想使等式成立的数时，不要忘记数字只限于1，2，4，7，这就缩小了数的思考范围。
二是要掌握这些由火柴棍组成的数字。运算符号因火柴的移动、去掉、添加而引起的变化规律。动一根火柴的变化规律一般为：
移：要做到保持算式中火柴总根数不变，如变“2”为“4”变“＋”为“7”，变“1”为“—”，变“7”为“×”，变“＋”为“—”等等。
去，要减少一根火柴。如变“4”为“＋”，变“7”为“1”，变“＋”为“—”，变“＝”为“—”，变“2”为“7”，去“—”，去“一”，去“1”等等。
添：要增加一根火柴，与“去”正好相反。如变“1”为“7”等，还可以在数字间加“—”，在数前，数后加“1”等。
“去”与“添”相结合，就成为“移动”。
我们看例1①移动“1”把“－”变为“＋”：
变
②把“＝”右边的“2”变为4：
变
③把“＋”变为“－”，使“7”变为“2”：
变
④把“＝”左边的“2”变为“4”：
变
⑤把“＋”变“－”，在“7”前添“－”：
变
⑥把“2”变“7”，在74中间添“—”：
变
例2. 添一根或去一根火柴，使等式成立。
①
②
分析：①要添上一根使“1”变为“7”：
变为
②把444中间的“4”变为“＋”，也就是去掉一根：
变为
例3. 移动每个式子中的一根或两根火柴，使下列每个算式成为一个等式。
①
②
③
分析：要想使下列式子成为等式，予取的方法是移动一根或两根。①我们把1144千位上的“1”移到“2”前面把“＋”变为“＝”：
变为
②把444中间的“4”变“＋”最后的“4”前的“－”变为“＝”。
变为
③把“14”十位上的“1”移到“24”前的“－”上，使“－”变“＝”，把“24”的“2”变成“4”。
变
例4. 用6根火柴可以组成哪些三位数？其中最大、最小的三位数各是多少，摆一摆。
分析：先要看看组成每个数字用几根火柴，再算算哪三个数字结合正好用6根火柴。
想用6根火柴分别可组成1，2，7与1，4，7两组数字。用这两组数字一共可组成12个三位数，（请你自己摆一摆）其中最大的是741，最小的是127。
例5. 请你用火柴摆一摆图1中的三个图形，算一算要用72根火柴摆十个这样的图形，每种图形能各摆几个？
分析：先算一算：如果十个图形都摆成所用火柴最少的图形，要比应该用的火柴少用了多少根。再数一数，如果换成另外两种图形，每换一个要多用几根火柴，就可以算出要各用几个另外的两种图形来换。正好把少用的火柴数补齐。也就得出每种图形能各摆几个。如果十个都摆成如图1（A）所示的图形，只用火柴（根），比72根少用（根）。
用一个图1（A）所示的图形换成一个图1（B）所示的图形，要多用2根；用图1（A）所示的图形换成图1（C）所示的图形，要多用3根。各用2个图1（B）和图1（C）所示的图形去换图1（A）所示的图形，还剩下火柴（根）。这时只要再用一个图1（B）去换图1（A）就行了。
72根火柴可摆图1（A）：（个）
摆图1（B）：（个）
摆图1（C）：2个
例6. 用24根火柴摆成（摆时火柴的首尾紧挨）的“四”字形方环，见图：
（1）请移动其中4根火柴，使这两个大小不等的正方形变成两个大小相等的正方形，应该怎样移？
（2）求移动后所得图形的周长（已知每根火柴长4厘米）。
分析解答：（1）移动大正方形对角的4根火柴，成为图2的形状：
（2）移动后所得图形的周长为：
第一种方法：厘米
第二种方法：厘米
第三种方法：厘米
第四种方法：厘米
我们还可以用火柴做游戏，用10根火柴、摆成两只口朝下的杯子，（两杯口之间相距1根火柴长）请你只移动4根火柴，把杯口正过来。
［答题时间：30分钟］
（三）灵活运用，创造发展
1. 下面是由火柴棍组成的十个数字和三个运算符号。
（1）移动一根，使下列公元年份相等。
①
②
（2）添上一根火柴，使下列等式成立。
①
②
③
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（三）灵活运用，创造发展
1. 下面是由火柴棍组成的十个数字和三个运算符号。
（1）移动一根，使下列公元年份相等。
①
②
答案：
（1）①移动一根，使左右两个公元年份相等，就是在一个数字上拿走一根，放在另一个数字上。
变
或
②移动原式中等号右边“6”里的一根，使6变成5，放在等号左边靠近5的“9”里，使“9”变为8。
变
（2）添上一根火柴，使下列等式成立。
①
②
③
答案：
①变
②变
③变
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4发现规律解应用题（一）
同学们，我们在解某些应用题时，可以先从少数事例中摸索出规律来，再用这个规律来思考、解答题目。
我国著名的数学家华罗庚教授曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。”
下面，我们就通过几个例子来加以说明。
一. 阅读思考
例1. 1991名同学从左到右按编号从1到1991排成一列。然后从左到右1，2报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开。留下的同学按原顺序向左看齐后再1，2报数，凡报2的同学留下，其余的同学都离开，留下的同学按原顺序向左看齐后再1，2报数。依次重复上面的做法，直到最后留下一人为止。问最后留下的一个同学，一开始他站在什么号位上？
分析与解答：我们先从100人着手，看看有什么规律，能不能用这个规律解决这个问题。
因为100÷2＝50，所以第一次报数后只留下50人，他们原来的编号依次是：2，4，6，8，10，12，……，96，98，100，而他们新的编号依次是：1，2，3，4，5，6，……，48，49，50。
因为4－2＝2，6－4＝2，……98－96＝2，100－98＝2，且2÷1＝2，4÷2＝2，6÷3＝2，……96÷48＝2，100÷50＝2，可以看出规律：
第次报数后
原号数 新号数
又因为，，，248÷2=124，124÷2＝62，62÷2＝31，31÷2＝15……1，15÷2＝7……1，7÷2＝3……1，3÷2＝1……1
所以共报了10次数，也就是，，所以，也就是最后留下的一名同学一开始站在1024号位上。
例2. 43位同学，他们身上带的钱从8分到5角都不相同，每位同学都把身上的钱全部各自买了画片。画片只有2种，3分一张和5分一张的。每人都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分一张的画片的总数是多少张？
分析与解答：5角也就是50分，这43位同学他们身上带的就是从8分到50分共43种不同的钱数。
我们从8分开始研究：8＝3＋5，9＝3×3，10＝5×2，11＝5＋3×2，12＝3×4。对于13分到17分，它们只是在8分到12分基础上各加上一个5就可以了。而对于18到22，只要在上述五个式子中各加上2个5就可以了，其余的依此类推。
因为从8分到12分这五个数中，含有个3，从8分到50分每5个一组，共8组还余3个数，所以3的个数为：，所以一共可以买84张3分的画片。
例3. 有A、B两个容器，A容器中有1立方米的水，B容器是空的。第一次先将A容器里的水倒入B容器中，第二次再将B容器里的水倒入A容器中，第三次又将A容器里的水倒入B容器中，第四次又将B容器里的水倒入A容器中，照这样来回倒下去，一直倒了1990次之后，A、B容器里各有水多少立方米？
分析与解答：这道题，我们可以列表来分析：
次数 A B 合计
0 1 0 1
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
通过观察表中的数据，可以得以下规律，不管倒几次以后，A、B两容器中水量和是1立方米；倒单数次后，A、B两容器中的水量都是立方米；倒双数（，是自然数）次后，B容器中的水量为立方米，A容器中的水量是立方米。
1990是双数，，所以，这时，所以B容器中有水立方米，A容器中有水立方米。
［答题时间：40分钟］
二. 尝试体验
1. 观察下面数表（横排为行）
；
，；
，，；
，，，；
，，，，；
……
根据前五行数所表达的规律，说明这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，这个数位于从左到右的第几个？
2. 一个楼梯共有20个台阶，我们规定上楼梯时，每次只能跨上一个台阶或两个台阶。问从地面到最上层共有多少种不同的跨法？
3. 将分别写成1～1991的1991张大小一样的卡片，从1至1991依次摞成一摞。然后把写成1的卡片拿出，放到写成1991的卡片下面去，然后把写有2、3的卡片拿走；再将写有4的卡片放到写有1的卡片下面去，然后把写有5、6的卡片拿走，照这样，拿一张放到最下面去，然后拿走相邻两张的要求一直做下去，直到最后剩下一张或两张纸片时为止。问最后剩下的一张或两张纸片上写的数分别是几？
4. 将1～1997这1997个自然数，从小到大按顺时针方向排成一首尾相连的圆圈，然后从1开始，留下1划去2，留下3划去4，留下5划去6，……继续这样留下一个划去一个转圈地划下去，直到剩下一个数为止，最后剩下的那个数是几？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 观察下面数表（横排为行）
；
，；
，，；
，，，；
，，，，；
……
根据前五行数所表达的规律，说明这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，这个数位于从左到右的第几个？
位于第3945行中由左至右第1949个
2. 一个楼梯共有20个台阶，我们规定上楼梯时，每次只能跨上一个台阶或两个台阶。问从地面到最上层共有多少种不同的跨法？
共有10946种不同的跨法
3. 将分别写成1～1991的1991张大小一样的卡片，从1至1991依次摞成一摞。然后把写成1的卡片拿出，放到写成1991的卡片下面去，然后把写有2、3的卡片拿走；再将写有4的卡片放到写有1的卡片下面去，然后把写有5、6的卡片拿走，照这样，拿一张放到最下面去，然后拿走相邻两张的要求一直做下去，直到最后剩下一张或两张纸片时为止。问最后剩下的一张或两张纸片上写的数分别是几？
是1894
4. 将1～1997这1997个自然数，从小到大按顺时针方向排成一首尾相连的圆圈，然后从1开始，留下1划去2，留下3划去4，留下5划去6，……继续这样留下一个划去一个转圈地划下去，直到剩下一个数为止，最后剩下的那个数是几？
是1947
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4最佳策略
我国历史上有“齐王与田忌赛马”的故事。说的是：齐王与田忌约定各自选出头等马、二等马和次等马各一匹进行三场比赛，谁输一场就要拿出黄金千两给赢方。齐王认为自己的马实力强必能赢得田忌三千两黄金，然而比赛结束，反而输掉了一千两黄金。这是为什么呢？我想同学们不会陌生。
这个故事给了我们很大的启示，田忌采取了“扬长避短”的策略，取得了胜利。像这样的带有竞争或斗争性质的现象经常可见。小至下棋、游戏，大致体育比赛、军事较量等。人们在竞赛和争斗中总是希望自己的一方获胜或获得最好的结局。这就要求参与竞争的双方都要定出自己的策略。即分析对方可能采取的计划，有针对性地制出自己的克敌计划，这就是“知己知彼，百战不殆”的道理。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。这种现象称为“对策现象”。
对策现象有三个最基本要素：
（一）局中人
简单说就是有决策权的参加者。
（二）策略
“自始至终通盘筹划”的可行性实施方案。
（三）一局对策的得失
得失即比赛的胜利和失败。
【例题分析】
例1. 甲乙两人从1开始轮流按次序报出自然数，每人每次可以报出1个，2个或3个数，谁先报到30谁就为胜利者，试分析先报者取胜的策略。
分析：设甲为先报者，甲要取胜，最后必报到30才行，这只有在乙报后留下（30）或（29，30）或（28，29，30）时才能实现。而这种情况只有在乙方遇到27、29、29、30四个数时才有可能。为此，甲方应抢报数“26”才行，换句话说抢“30”就是抢“26”，依此前推，甲必须先抢报“22”；要抢报“22”，必须先抢报“18”；要抢报“18”，必须先抢报“14”；要抢报“14”，必须先抢报“10”；要抢报“10”，必须先抢报“6”；要抢报“6”，必须先抢报“2”；到此真相大白，可以得出甲先报必胜的策略了。
策略是：甲先报1，2，此后乙每报一次（1或2或3个数）甲要使甲乙所报数之和为4，这时甲就能抢到6，10，14，18，22，26，而最终抢到30。
例2. 桌上有111根火柴，甲乙两人轮流取火柴，每人每次可以取一根或素数根，取到最后一根者为胜方，问甲应如何取才能取得胜利？
分析：从简单情况入手分析寻求一般规律：
（1）当这堆火柴为1根时，甲先取，必胜；
（2）当这堆火柴为2根时，甲先取2根必胜；
（3）当这堆火柴为3根时，甲先取3根必胜；
（4）当这堆火柴为4根时，甲先取1或2或3根时，乙可以相应取3或2或1根，因此乙胜；
（5）当这堆火柴为5根时，甲先取5根必胜；另一种取法是：甲先取1根，剩下4根，变成<4>，但乙先取，甲胜。
（6）当这堆火柴为6根时，甲先取2根，剩下4根，变为<4>，但乙先取，甲胜。
（7）当这堆火柴为7根时，由于7为素数，甲先取7根，甲胜；当然甲也可以取3根，剩下4根，变为<4>，但乙先取，甲胜。
（8）当这堆火柴为8根时，甲先取，无论如何取法，乙都有必胜的策略。
……
从上面分析已经看出：如果火柴根数是4的倍数。4根、8根、12根、16根……4k根，甲先取，不存在必胜策略。如果火柴根数不是4的倍数时，即火柴根数是4k+1，4k+2，4k+3形式的数时，甲先取，就存在必胜策略。
本题111不是质数，甲先取107根（质数），还剩下4根，这时甲必胜。
例3. 在一个圆桌上，甲、乙两人轮流摆放5分硬币，规定所摆的硬币不能重叠，更不准放在桌面边缘以外，当谁没有空隙摆放硬币时，谁就是输方。求证：先放者存在必胜的策略。
分析：从特殊情况入手分析，设圆桌面只有5分硬币大，甲先摆放后，没乙放的地方，甲必胜。由此推广到一般情况，甲先摆放在圆桌面上的圆心O，此时，我们发现，除O点外，圆桌面上的点都可以配对。如下图：
圆面上一点A，我们连结AO，在AO延长线取，使，这时我们称是A关于O的中心对称点，我们利用这种对称关系，对于圆面上除O以外的每一个点，都可以找到它的对称点，如这时，当甲摆放硬币于O点以后，乙放硬币于A，甲就放硬币于，乙放硬币于B，甲就放硬币于，乙放硬币于C，则必存在与C配对的点可供甲放硬币。……换句话说，乙只要能在圆面上找到一个点，甲就能找到与之对称的点，当然最后首先摆不下硬币的一定是乙。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 抢30游戏，甲乙两人从1开始轮流报出连续自然数，每人每次可报1个、2个、3个或4个数，但不能不报，谁先报到30谁就获胜，试分析，后报者必赢的策略。
2. 甲、乙二人从1开始轮流报出连续自然数，每人每次可报1个、2个或3个数，但不能不报，该谁报20谁就输，试分析先报者必胜的策略。
3. 有两堆火柴，一堆10根，另一堆7根，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次只能在同一堆中取1根或若干根，谁拿到最后一堆的最后一根谁就获胜，试说明，先取者必胜策略。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 抢30游戏，甲乙两人从1开始轮流报出连续自然数，每人每次可报1个、2个、3个或4个数，但不能不报，谁先报到30谁就获胜，试分析，后报者必赢的策略。
要抢到30，就必须先抢到“25”，继而抢到20、15、10、5。
具体策略：甲先报出一个数，假定为2个数，乙就可以报3个数，抢到5以后，无论甲报几个数，乙只要与它凑成5即可，最后便能抢到30。
2. 甲、乙二人从1开始轮流报出连续自然数，每人每次可报1个、2个或3个数，但不能不报，该谁报20谁就输，试分析先报者必胜的策略。
该谁报20谁输，说明谁抢到19谁赢。
先报者先报出3个数，以后每报一次数都与后报的乙凑成4，便能抢到19，20便归后者报了。
3. 有两堆火柴，一堆10根，另一堆7根，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次只能在同一堆中取1根或若干根，谁拿到最后一堆的最后一根谁就获胜，试说明，先取者必胜策略。
甲先取，从10根中取出3根，形成（7，7）的形式，这时乙在一堆中取k根，甲就在另一堆中取k根，甲必取胜。
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