三角形的分割（二）
同学们大家好！在上一讲中，我们一起研究了“三角形的分割”的一些知识。其中有一条很重要的知识“等底等高的三角形面积相等”。今天我们这一讲一起来研究这些知识的应用。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 如图，点D、E、F与点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。那么阴影部分的三角形面积的和是三角形ABC的面积的。（十一届迎春杯决赛题）
A
D G F
H N
B E C
分析与解答：因为D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，所以DE、EF、DF分别平行于AC、AB、BC，所以是等底等高的三角形，，分别是等底等高的三角形。
解：
即
例2. 下图中，三角形ABC的面积是12平方厘米。并且BE=2EC，F是CD的中点。那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。（第十二届迎春杯训练题）
C
E
A D B
分析与解答：因为的高相等，而BE=2EC，所以的面积是面积的2倍。
解：（平方厘米）
（平方厘米）
又因为
所以（平方厘米）
于是
又（平方厘米）
所以（平方厘米）
（平方厘米）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
二. 尝试练习：
1. 有一张等腰直角三角形的纸片，沿它的斜边上的高把这个三角形对折；再沿小三角形的斜边上的高把它对折；再沿更小三角形斜边上的高把它对折。这时，得到一个直角边的长是2厘米的等腰直角三角形（如下图中阴影部分）。那么，原来的等腰直角三角形纸片的面积是多少平方厘米？
2厘米
2. 如下图，已知三角形ABC面积是1平方厘米，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
F
B E
D
3. 在下图中，中，E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图中与等积的三角形一共有多少个？
A
E G
B D C
4. 在图中，的面积是52平方厘米，AC=13，是等腰直角三角形，又由面积相等，求的面积是多少？
A F C
D
B
5. A是所在边上的中点，B点在边上距顶点C三分之一处，阴影部分，那么（ ），（ ）
D A E
B
C
1三阶幻方（二）
同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。
（一）学习指导与解答
例1. 在下图的的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
图1 图2
分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。
例2. 在的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
图3 图4
分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：
，即
从第二行可求出
从对角线中可求出
从第一列可求出
从第一行可求出
从第二列可求出
从第三列可求出
得到三阶幻方如下：
从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。
例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。
例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。
因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为，假设这9个数为，所以，这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：
例5. 从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。如图：
图1 图2
分析：在1～13这13个数中，因为，，所以1～13中去掉7，由，所以要求横行和为28，竖列和为21，先将除7外的12个数分为4组，每组中3个数之和为21，然后再调整，使每横行四个数的和为28，这样可得出解，如图1、2。
［答题时间：30分钟］
（二）认真审题，独立完成
（1）将这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。
（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）认真审题，独立完成
（1）将这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。
由于2、3、4、6、12的最小公倍数为12，所以将9个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7，而的幻方是熟知的，如图，再将图中的每个数除以12就是所求。
（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。
根据幻和为45，可知中心数为，又由于，。经验证，可排出三阶幻方。
（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。
把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1，就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：
图1 图2
PAGE
4三角形的分割（一）
同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等高的三角形面积相等。这是一个非常重要的规律，在解决多边形面积的许多问题中都要用到它。
今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？
分析与解答：因为“等底等高的三角形面积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。
例2. 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。如图（1）
图（1）
又因为，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，即
而可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。
A A A
B C B C B C
图（2）
同理，可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。
即
A A A
B C B C B C
图（3）
类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。
这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等高的三角形，而找这种三角形，就要几等分某一条线段。
如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？
如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比。
同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：
如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于它们的高（底）的长度之比。
例3. 把三角形ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍。
分析与解：要想使三角形甲的面积是三角形乙的面积的3倍，可以使这两个三角形的高相同，而三角形甲的底是三角形乙的底的3倍，同样使三角形丙的高和三角形乙的高相同，而三角形丙的底是三角形乙的底的4倍，这样一来，我们将三角形ABC的一条边8等分，使乙占其中的一份，甲占其中的3份，丙占其中的4份，即可达到目的。
A
B C
例4. 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。（如图）
A
E
B D C
分析与解：根据如果两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积比等于它们底的比的结论，即可求出三角形ABC的面积。
三角形ADE和三角形DCE中，因为CE=3AE，所以三角形DCE的底是三角形ADE的底的3倍，又因为这两个三角形的高相同，所以三角形DCE的面积是三角形ADE的面积的3倍，即
三角形DCE面积=三角形ADE面积×3
=20×3=60（平方厘米）
同理，在三角形ABD和三角形ADC中，因为DC=2BD，且这两个三角形有相同的高，所以三角形ADB的面积是三角形ADC的面积的，即
三角形ADB面积=三角形ADC面积×
=（三角形ADE面积+三角形DCE面积）×
=（20+60）
=80
=40（平方厘米）
所以三角形ABC面积=40+80=120（平方厘米）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
二. 尝试练习：
1. 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到三种以上的方法吗？
2. 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？
3. 见图，在三角形ABC中，CD是AC的，E是BC的中点，你能在原图形的基础上将三角形ABC的面积5等份吗？
A
D
B E C
4. 见图ABCD平行四边形，E是BC的中点，平行四边形ABCD的面积比三角形ABE的面积多多少倍？
A D
B E C
5. 如图，把大三角形分成了甲、乙两部分，乙由A、B两部分组成，求甲与乙两部分面积的比值。
C
9
A B
3
A 4.5 D 4.5 B
请做完之后再看答案！
4三阶幻方
同学们：
在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答
例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
图1 图2
分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：
（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：
幻和
（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：
所以：
也就是：
又因为：
所以
也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。
我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为，所以也是奇数。因为奇＋奇＝偶。又因为，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况：
<1>当d、g都是奇数时，因为，，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。
<2>当d、g为偶数时，因为，，因为i为奇数，所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g都是偶数也不行。
所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由知i也是偶数。
用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。
（5）试验填数排出幻方。
因为是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试验。
当时，或6，若，则有
，若，则有
，这样可填出两个幻方。
当时，请同学们自己练习填写。
用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个：
图3
说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。
例2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为，那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。
因为：
按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24。
例3. 在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。
分析：从第一行和对角线可得：
这样幻和
从第一行中可求出：
从第二行中可求出：
从第三行中可求出：
例4. 在下面各图形的○里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。
21
分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右下角的数。
（1）
想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。
当8右边的数和10下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。
（2）填写左下角○内的数：，左下角为7。
（3）填写下面○内的数：，上面数应填5。
（4）左边线上三个数相加：，说明符合条件。
21
［答题时间：25分钟］
（二）认真思考，独立完成
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
图1
2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
图2
3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）认真思考，独立完成
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
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6分数、小数四则运算中的巧算（一）
同学们好！今天我们重点和同学们研究分数、小数四则运算中的速算与巧算。在整数运算中有不少巧算的方法。如，利用加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，以及和、差、积、商变化的规律进行巧算，使计算简便。这些简单规律和方法，同样适用于今天研究的内容，下面我们共同研究几例，请石老师指导。
例1.
解：原式
例2. 计算：
原式
例3. 计算
原式转化为
观察比较例2、例3在解题技巧上有什么不同？
例4. 解关于x的方程
例5. 已知，那么□＝________。（第12届初赛题）
解：设□为x，于是此题转化为解关于x的方程。
例6. 计算
原式
说说这个题的计算技巧。
例7. 计算：
原式
二. 尝试体验，合作交流
下面是杨迪和韩军合作完成的，你能做出正确计算吗？
计算：
这道题的特点是：分子、分母又含有分数，我们把这样的分数称之为繁分数，较长的分数线称之为主分数线。
这道繁分数计算题中只含有乘除法运算，并且分子和分母都含有分数，在计算中需要注意的是不必先分别算出分子和分母各是多少，而是采用整体思考，先约分再计算的方法。这样可以使计算简便。
原式
4
［答题时间：30分钟］
三. 认真观察，独立完成。
1. 计算：
2. 计算：
3. 计算：
4. 计算：
5. 计算：
6. 计算：
请做完之后再看答案！
【试题答案】
三. 认真观察，独立完成。
1. 计算：
2. 计算：
3. 计算：
4. 计算：
5. 计算：
6. 计算：
PAGE
5
