转化法
在解决一个数学问题时，常会出现一个题内有两个或两个以上的标准量，这就需要我们先统一标准（把所有各数量都用统一的标准来表示），从而使问题得到解决。这种转化的思想在今后学习中会经常遇到。
（一）例题解析：
例1. 学校食堂买来4把炒勺，5个高压锅共付832元，已知每个高压锅的价钱是炒勺的12倍，每个高压锅和每个炒勺各多少元？
分析与解答：
这个832元是4个炒勺和5个高压锅两种商品的总钱数。如果是一种商品很容易解答，根据“总价÷数量=单价”可直接求出。根据每个高压锅的钱数是炒勺的12倍，可以把“5个高压锅”转化成炒勺。5个高压锅相当于（个）炒勺，那么832元就和（个）炒勺相对应。
列式：（个）
（个）
（元）
（元）
答：每个高压锅156元，每个炒勺13元。
例2. 用大小两辆汽车运煤，大汽车运了9次，小汽车运了10次，一共运了132吨，大汽车3次运的煤等于小汽车4次运的，大、小汽车的载重量各是多少吨？
分析与解答：
题目中“132吨”是由两辆大小不同的汽车运的，通过大、小汽车之间的关系，把“两辆”转化成“一辆”，问题便容易解决。
大汽车3次运的等于小汽车运4次的，那么大汽车9次运的就等于小汽车12次运的。
即：大车3次=小车4次
大车9次+小车10次=132吨
小车12次+小车10次=132吨
这132吨相当于小汽车（12+10=）22次运的
小汽车：（吨）
大汽车：（吨）
答：大汽车每次运8吨，小汽车每次运6吨。
例3. 篮球、排球、足球共83个，其中篮球数目是排球的2倍，排球比足球多5个，则篮球有多少个？
分析与解答：三种球的数量关系是通过“倍数句”和“差比句”表现出来的，但倍数句是以排球个数为标准的，差比句是以足球个数为标准的，标准量不唯一，需要统一标准。
1倍
排球：
篮球： 83个
足球：
5个
把足球少的5个补上，总个数就是88个，正好是排球个数的4倍
（个）
（个）
（个）
答：篮球有44个。
例4. 甲、乙、丙、丁与小华这五位同学下围棋，每两人不能多于一盘，已知甲、乙、丙、丁分别下了4、3、2、1盘，则小华下了多少盘？
分析与解答：
我们把这5个人用5个点来表示，两人下了棋，两人之间就连上一条线段。
甲下了4盘，说明甲和其它4人都下过，连上4条线段，丁下一盘，那就是和甲下的，丁就不会再和其它人下，乙下3盘，不可能和丁下，所以乙只能和甲、丙、小华三人下。这时甲、乙、丙、丁都已下够规定的盘数。从图中可以看出小华下了2盘。
例5. 定义一种新运算“+”，对于任意两个整数a，b。都有 a + b=a+b-1，则4 + 6 + 5等
于多少？
分析与解答：
这是定义的一种新运算，不在加、减、乘、除四则混合运算之内，计算时要先转化成过去学过的运算，a + b = a+b-1，根据运算顺序先算4 + 6，4 + 6 = 4+6-1=9，再算9 + 5，
9 + 5 = 9 + 5-1=13，所以4 + 6 + 5 = 13。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 小红上学时步行，回家时坐车，路上共用了一个半小时，如果往返都坐车，全部行程又要半小时，如果往返都步行，需要多长时间？
2. 一根电线长180米，将它截成三段，第一段比第二段长20米，第三段长为第一段长的2倍，则第二段的长度为多少米？
3. 若，则的值为多少？
4. 一个长方形，长和宽各增加3厘米，面积60平方厘米，原长方形的周长是多少厘米？
5. 定义一种新运算“”，已知，那么
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 小红上学时步行，回家时坐车，路上共用了一个半小时，如果往返都坐车，全部行程又要半小时，如果往返都步行，需要多长时间？
半小时=30分，一个半小时=90分
（分）
（分）
（分）
答：如果往返都步行，需要150分。
2. 一根电线长180米，将它截成三段，第一段比第二段长20米，第三段长为第一段长的2倍，则第二段的长度为多少米？
（米）
答：第二段的长度为30米。
3. 若，则的值为多少？
从竖式中可以看出，所以
4. 一个长方形，长和宽各增加3厘米，面积60平方厘米，原长方形的周长是多少厘米？
（平方厘米）
（厘米）
（厘米）
答：长方形的周长是34厘米。
5. 定义一种新运算“”，已知，那么
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4图形中的部分与整体
我们这一期的活动内容是研究“图形中的部分与整体。”我们一起来研究通过观察整体之间的面积关系而得到局部面积之间的关系。
【典型例题】
一. 阅读思考：
例1. 计算下图中阴影部分的面积占长方形总面积的几分之几？
A G D
B C
分析与解答：图中ABCD是一个矩形（长方形），阴影部分的面积可以用三角形ABD减去三角形AEG求出来。
从图中可以看出，AD等于4个长度单位（长方形的长），AB等于3个长度单位（长方形的宽）。
所以，长方形面积=（面积单位）
阴影面积EBDG=三角形ABD面积－三角形AEG面积
=AD×AB÷2－AG×AE÷2
=4×3÷2－2×1÷2
=6-1
=5（面积单位）
答：阴影部分面积占长方形总面积的。
例2. 有4个正方形（如下图），边长分别是1米，2米，3米，4米，问白色部分面积是阴影部分面积的几分之几？
分析与解答：根据已知条件，可以看出要求阴影部分面积要7步计算，而先求白色部分面积则只要5步计算，所以先算白色部分的面积。
白色部分面积：
阴影部分面积：
所以白色部分面积是阴影部分面积的（也可以写成）。
这道题，还可以有另外一种解法：
D C
A B
分析与解答：先在正方形上画出对角线AC和DB，两条对角线相交于O，这样，两条对角线就把正方形平均分成了4份。
根据图形的对称性，不难看出，三角形AOB中白色部分相当于阴影部分的几分之几，那么整个图形中白色部分就相当于阴影部分的几分之几。
我们可以把三角形AOB，看成是由几个小梯形组成的。其中最靠中心的小空白三角形可以看作上底是O的梯形。因为这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之间的关系，就是这些梯形上、下底的和之间的关系。
白色部分上、下底的和是：（米）
阴影部分上、下底的和是：（米）
所以大正方形内白色部分相当于阴影部分的（或）。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
二. 尝试练习：
1. 下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？
A D
B C
2. 求下图中，阴影部分的面积占总面积的几分之几？
3. 下图中大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，求阴影部分的面积。
A D
F
B C E
4. 你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）。
（a） （b）
5. 下图中阴影部分占总面积的几分之几？
6. 把正三角形（等边三角形）每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到下图所示的图形，如果所作的最小三角形的面积为1，求整个图形的面积。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
二. 尝试练习：
1. 下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？
A D
B C
甲面积=乙面积
2. 求下图中，阴影部分的面积占总面积的几分之几？
3. 下图中大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，求阴影部分的面积。
A D
F
B C E
4.5平方厘米
4. 你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）。
（a） （b）
A与B相等
5. 下图中阴影部分占总面积的几分之几？
6. 把正三角形（等边三角形）每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到下图所示的图形，如果所作的最小三角形的面积为1，求整个图形的面积。
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5分数、百分数应用题（一）
分数应用题是小学数学的重要内容，较复杂的分数应用题也是小学数学竞赛中经常出现的一类问题，同时在我们的现实生活及生产实际中经常会遇到与分数有关的问题，因此学好这部分知识很重要。怎样提高解答这类题的能力呢？
1. 要正确理解掌握分数乘、除法的意义。
如不再表示求几个相同加数和的简便运算了，而表示求32的是多少，这是乘法意义的扩展，比较抽象。
2. 要学会一些特殊的思考问题的方法。
如“对应法”，“转化法”，“假设法”，“逆推法”，“图解法”等。
这些方法的掌握有利于提高解答分数应用题能力。
3. 要学会用线段图表示题中数量关系。
使隐蔽条件，抽象问题明朗化，从而找出解题途径。这部分内容安排两讲。第一讲重点研究如何运用“对应法”和“转化法”解决分数应用题。
一. 思路指导：
例1. 某区举行小学生春季运动会，其中某校参加的人数占运动员总人数的，若这个学校再去10名运动员，则该校人数占运动员总人数的，这次运动会共有运动员多少人？这个学校原来有多少人参加运动会？
分析与解：本题的解题思路是找出“不变量”，根据不变量写出等量关系，列方程解。或抓住不变量用转化法统一单位“1”使问题得以解决。
方法1：用方程解
解：设这次运动会有运动员x人，可得
30 1
1 1
方法2：用算术方法解
因为
所以
抓住不变量，根据除法意义统一单位“1”。
这样可以看出原来运动员人数为“1”，现在是原来的，于是找到10人对应率。
综合式：
答：原有运动员450人，学校有运动员30人。
例2. 甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件的相等，又等于丙生产零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，求这批零件共有多少个。
分析与解：
方法1：用图示法分析解题（以甲为“1”）
甲
乙
丙
从直观图可以明显看出乙相当甲的，丙相当甲的。
————甲
——————乙
——————丙
方法2：用转化法统一单位“1”。
根据已知条件和分数乘、除法的意义可得。
因为甲生产零件数的与乙生产零件数的相等
所以
又因为甲生产零件数的又等于丙生产零件数的
所以
根据“量率”对应关系列式为
甲
乙
丙
答：这批零件共有750个。
例3. 某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析与解：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系。
可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的是60元，求原价，用除法。
同理亏本20%就是说原价的是60元，求原价，用除法。
所以这个题综合列式为
答：这两件商品亏了5元。
例4. 有甲、乙二人，已知甲的体重的与乙的体重的相等，甲的体重的比乙的体重的少1.5千克，求甲乙二人体重。
分析与解：已知甲的体重的与乙的体重的相等，单位“1”不同，首先是统一单位“1”，然后根据题意找出对应关系，即可解决问题。
列式：
答：甲体重70千克，乙体重42千克。
［答题时间：40分钟］
二. 尝试体验，合作交流（答案在下次）
1. 果品店运来的苹果比香蕉多500千克，运来的苹果的与运来香蕉的同样多，这个水果店运来苹果和香蕉各多少千克？
2. 果品店运来两种水果，已知苹果重量的等于梨的重量的，苹果重量的比梨重量的多750千克，运来苹果和梨各多少千克？
3. 某工厂甲车间的人数是乙车间的，如果从乙车间调8人到甲车间，则甲车间人数是乙车间的，乙车间原有多少人？
三. 巩固发展，独立完成：
1. 三个车间共同生产一批零件，第一车间生产600个，第二车间生产的是余下的20%，第三车间正好是这批零件的一半，第二、三车间共生产多少个？
2. 五年级三个班的人数相等，一班男生人数和二班女生人数相等，三班男生人数是全部男生人数的，全部女生人数占全年级人数的几分之几？
4分数、百分数应用题（二）
同学们好！上周我们重点研究了如何运用“对应法”和“转化法”解答分数、百分数应用题，并且留了5个题让同学们完成，同学们完成的怎么样呢？第二部分合作交流是杨迪和韩军同学完成的，请你帮他们检查一下，是否全对？为什么？
1. 综合列式解：————苹果
——————香蕉
2. 综合列式解：————苹果
————————梨
3. 此题转化为部分量占总量的几分之几为好。
先求总人数
再求乙车间人数
第三部分巩固发展，独立完成：
1. 思路：先把余下的转化为相当总数的几分之几，再找对应关系。
列式：
2. 思路：把每班人数可等分三份，每份就是全年级总数的，如图，所以女生占全年级人数的（均转化为占总数几分之几）。
一班 二班 三班
男 女 女 男 男 女
这一讲重点研究如何运用“假设法”和“逆推法”思考解答分数应用题。
一. 思路指导
例1. 有一位农妇有鸡和鸭共92只，当卖掉鸡的和8只鸭后，剩下的鸡和鸭的只数正好相等，农妇原有鸡和鸭各多少只？
分析与解：根据题目特点，可用假设法思考，可以这样想，假设8只鸭不卖，只卖掉鸡的后，剩下的鸡和鸭的只数相等，于是可知鸭相当鸡的，鸡为“1”，找到这个关系后，再和实际条件相联系，问题得以解决。
列式：
答：农妇原来有鸡48只，有鸭44只。
例2. 某人从东站到西站，去时每小时行15千米，返回时每小时行10千米，求往返的平均速度。
分析与解：要求平均速度，必须知道路程和时间，根据题目特点可假设路程为任意一个具体数量，于是问题得以解决。
可以15和10的最小公倍数30为东城到西站的距离，这样设较简便。然后根据数量关系求出平均速度。
列式：
答：往返平均速度为12千米。
例3. 京新小学六年级有两个班共有学生90人，期末两个班共选出三好学生14人，其中从甲班选出，从乙班选出，两班各有学生多少人？
分析与解：此题可以从多角度思考解答。
方法1：假设从两个班都选出，，比实际14人多1人，这是因为把看作，多出，就是1人对应率，找到这个关系即可解决此问题。
列式：
——————乙班人数
（人）————甲班人数
方法2：假设甲班选出（全班人数）
乙班应为
三好生人数应同时扩大6倍即（人）
列式
（人） 甲班人数
方法3：此类题用方程解也比较好
解：设甲班有x人，则乙班有人
则
自己试一试还可以怎样做
例4. 1只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的，第二天吃了余下的桃子的，第三天吃了余下桃子的，第四天吃了余下的，第五天吃了余下的，第六天吃了余下的，这时还剩下12个桃子，那么第一天和第二天所吃桃子的总数是多少？
分析与解：根据这道题的特点，用逆推法分析解答较好。逆推法就是从问题的结果出发思考，可以这样想，第六天吃了余下的，这时还剩下12个桃子，可以推想12个对应的就是，于是可以求出第五天吃了余下的后，还剩的桃子，以此类推，如图，这样就可以找到问题的解答方法。
列式：
答：第一天和第二天共吃桃子24个。
此题可通过认真观察图找出非常简捷的解题方法。从图中可以清楚看出第一天吃的也是12个，第二天吃的还是12个，所以两天吃的是（个）。你观察出来了吗？
二. 尝试体验，合作交流
1. 甲厂与乙厂去年共上交税金112万元，已知甲厂上交税金的与乙厂上交税金的共42万元，两厂去年各上交税金多少万元？
下面是李玲和王菲同学用两种方法解答的这道题，你的方法是什么？和同学交流一下。
方法1：假设甲厂上交税金也是，于是可列式为
方法2：解：设甲厂上交税金x万元，则乙厂上交税金万元
则
答：甲厂上交税金63万元，乙厂上交49万元。
2. 一个木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，第四次截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为6厘米。木杆原来的长是多少厘米？
李玲和王菲同学的解答如下，请你判断她们做的是否正确。
答：木杆原来的长是30厘米。
［答题时间：15分钟］
三. 巩固发展，独立完成：
1. 一堆化肥，第一次运走全部重量的，第二次运走余下的少10吨，第三次运走剩下的74吨，三次全部运完，这堆化肥共有多少吨？
2. 甲、乙两个学校的图书馆共有故事书170本，后来甲校又买了它原有故事书的，乙校买了它原有故事书的，这时两校共有故事书208本，现在两校各有故事书多少本？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
三. 巩固发展，独立完成：
1. 一堆化肥，第一次运走全部重量的，第二次运走余下的少10吨，第三次运走剩下的74吨，三次全部运完，这堆化肥共有多少吨？
答案：240吨
2. 甲、乙两个学校的图书馆共有故事书170本，后来甲校又买了它原有故事书的，乙校买了它原有故事书的，这时两校共有故事书208本，现在两校各有故事书多少本？
答案：甲校100本，乙校108本
6逆推法
有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到问题的解决。
（一）思路指导：
例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？
思路分析：因为细菌每小时增长1倍。10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。
算式：（小时）
答：增长到100万个时需要8小时。
例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。他们原来各有课外书多少本？
思路分析：
四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。
算式：（本）
丁原有的本数：（本）
丙原有的本数：（本）
乙原有的本数：（本）
甲原有的本数：（本）
答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。
例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？
思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。根据第二天又卖出剩余米的一半后还剩32袋，可以求出第一天卖出后粮仓里存有2个32袋（即64袋），根据第一天卖出原存大米的一半少8袋可知，第一天卖后剩下的是原存大米的一半多8袋，原存大米的一半多8袋是64袋，可以求出原存大米是（袋）
列式：（袋）
答：粮仓里原有存米112袋。
例4. 有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲乙两港所停的小船只数都是48只，甲乙两港最初各有小船多少只？
思路分析：
第四次从乙港开出船只到甲港后，两港各有船48只，那么在乙港船只移动前，甲港所停的船只数应是只，乙港所停船的只数应是只。这是第四次移动船只前的情况。依照这个逆推的过程，可以逆推出每次移动前的情况，直到推出甲乙两港最初停有船的只数。
列式：（1）第四次移动前：
甲港：（只）
乙港：（只）
（2）第三次移动前：
乙港：（只）
甲港：（只）
（3）第二次移动前：
甲港：（只）
乙港：（只）
（4）第一次移动前：
乙港：（只）
甲港：（只）
答：最初甲港有船63只，乙港有船33只。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 某数扩大7倍后，再缩小2倍，加上8减去6，等于51，求某数？
2. 一根电线一半一半地剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。这根电线原来长多少米？
3. 小明、小军和小华共制作科技模型36件。如果小明给小军6件，小军给小华4件，他们三人制作的科技模型的件数正好相等。问他们原来各制作多少件？
4. 瓶内装有酒精，倒进500克以后又倒出一半，又倒进500克，这时瓶内有酒精1200克。问瓶内原有酒精多少克？
5. 幸福小学暑假毕业学生86人，开学招进新生148人，同时又转入学生7人，转出3人，这时全校共有学生654人，问暑假前幸福小学有多少学生？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 某数扩大7倍后，再缩小2倍，加上8减去6，等于51，求某数？
2. 一根电线一半一半地剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。这根电线原来长多少米？
（米）
3. 小明、小军和小华共制作科技模型36件。如果小明给小军6件，小军给小华4件，他们三人制作的科技模型的件数正好相等。问他们原来各制作多少件？
（件）
小华：（件）
小明：（件）
小军：（件）
4. 瓶内装有酒精，倒进500克以后又倒出一半，又倒进500克，这时瓶内有酒精1200克。问瓶内原有酒精多少克？
（克）
5. 幸福小学暑假毕业学生86人，开学招进新生148人，同时又转入学生7人，转出3人，这时全校共有学生654人，问暑假前幸福小学有多少学生？
（人）
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