分数、小数四则运算中的巧算（二）
同学们好！上一讲我们重点研究了运用定律和性质使计算简便，这一讲重点研究如何运用“拆分”的方法使计算简便，什么是“拆分”呢？下面观察几组算式，看你是否发现其中的规律！
第一组：
第三组：说说这组题的特点，如何用字母公式表示：
像上面这三组题，把一个分数写成几个分数的差或和的形式，叫做“拆分”。
同学们，你清楚了什么叫拆分了吗？掌握了“拆分”就能帮助我们灵活、巧妙地解决一些较复杂的异分母分数加减法的计算。例如：
例1. 计算：
例2. 计算：
比较例1与例2在计算技巧上有什么不同？
例3. 计算
例4. 计算：
例5. 计算：
分析与解：先观察下面一组等式，并找出其中的规律。
根据以上规律计算：
例6. 计算：
分析与解：我们已学习了等差数列求和公式，知道了：
因此：
根据以上规律计算：
例7. 计算
原式
请同学们认真观察思考7个例题的特点和解题方法，然后和同学交流一下，7个例题有几种不同情况？基本的解题思路和步骤是什么？
［答题时间：40分钟］
二. 认真观察，独立完成
请用半小时完成，做对6个可以得优，全对优秀。
1. 计算：
2. 计算：
3. 计算：
4. 计算
5. 计算
6. 计算
7. 计算：
三. 创新发展
1 在□中，填上适当的整数，使等式成立。
2. 两个分母都在11以内的异分母分数的和是，这样的分数有多少组？把它们都写出来。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
二. 认真观察，独立完成
请用半小时完成，做对6个可以得优，全对优秀。
1. 计算：
2. 计算：
3. 计算：
4. 计算
5. 计算
6. 计算
7. 计算：
三. 创新发展
1 在□中，填上适当的整数，使等式成立。
2. 两个分母都在11以内的异分母分数的和是，这样的分数有多少组？把它们都写出来。
3组，和，和，和
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6数字谜（二）
同学们，我们也初步掌握了巧填数字谜的方法，其实解这类题就是用四则运算的法则和运算中各数位上数字的特点，推算出汉字代表什么数字，从而推出算式。
（一）思路指导与解答
例1. 在下面算式中，每一个字母代表一个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表的数字，当它们各代表什么数字时算式成立？
分析：在这个加法算式中，个位与十位上都有相同的字母，所以我们选择个位和十位作为解题的突破口。
（1）个位与十位，因为在算式的个位上，这说明N为0或5，如果N=5，则个位上的和必向十位进1，这样十位上的和的个位就不可能为T，因为的和不可能为10，也就是的和不可能为9。因此N为0。十位上的和的个位为T，E为0或5，由于N已经为0，所以。此时算式为：
（2）万位，由算式可以看出，千位肯定向万位进了1，所以F与S是两个相邻的数，并且S比F大1。
（3）千位，因为百位肯定向千位进了位，而百位上是三个数字相加，所以百位向千位进1或2，而千位又要向万位进1，所以千位上的字母0可能为8或9。若字母O为8，为了保证千位向万位进1，则百位必须向千位进2，这样I＝0与N＝0重复了。所以。这时百位上也不能向千位进1，否则千位上，I取0与N＝0矛盾，所以百位向千位进2。，I取1。这时算式为：
（4）百位，因为百位必须向千位进2，并且百位上，其中R最大取8（因为）所以，也就是说T可能取6，7，8，下面进行试验。
<1>若，算式为：
还剩下2，3，4，7，8这五个数字，而百位上，不论R取上面五个数字中的哪一个，所得的x的值都不在另外四个数字中，所以。
<2>若，算式为：
这时还剩下2，3，4，6，8这五个数字，而百位上，满足此式，这时还剩下2，4，6这三个数字，这样S与F就无法可取（因为2、4、6没有两个相邻），所以。
<3>若，算式为：
这时还剩下2，3，4，6，7这五个数字，百位上
当时；当时。
若，这时还剩下2，4，7没有相邻数，所以求不出F与S的值，因此，则。这时还剩下2，3，6三个数字，由于F与S相邻，且S比F大1，所以，，因而。
此题为：
例2. 下面各式中字母都代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，当它们各代表什么数字时，算式成立？
分析：（1）此题是四位数加四位数和为五位数的加法算式，所以和的最高位，万位B应为1。而个位，则D＝0，由于十位上数字相加后要向百位进1，所以和的百位上，进而能求出，因为十位上，也就是，则，所以下式为：
例3. 下面各字母都代表一个数字，不用的字母代表不同的数字，求它们各代表什么数字时，算式成立？
分析：此题是四位数减三位数差为三位数，所以看被减数最高位A应得1。由于差的百位数，所以被减数的百位数字B应为0，减数的百位数字C为9。个位上的个位为9，所以个位向十位借1，。这样答案如下：
例4. 下面算式中的每个字母都代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。当它们各代表什么数时，算式成立？
分析：这是一个五位数减去四位数差为四位数的算式，所以被减数的万位数字是关键。
（1）填万位，因为被减数的万位是C，而减数与差都没有万位数字，所以，于是算式变成：
（2）填个位，由算式可以看出，个位上只有减数的个位D没有确定，其余都是1，而，所以，这样算式为：
（3）填千位，从算式中可以看出，百位肯定没有向千位借1，否则不可能得A。这样，也就是，所以，这样算式为：
（4）填十位，在算式十位上，所以，于是百位上，所以。
此题为：
同学们通过上面例题的分析不难看出，找到合适的解题突破口是解数字谜的关键。在确定各数位上的数字时，我们对汉字或字母所表示的数进行估算，如3中对T的估算为：T可能取6、7、8。通过估算可以缩小汉字或字母的取值范围。减少试验的次数，提高解题的速度。然后对汉字或字母可能取值的每种情况，逐一枚举试验，淘汰不是解答的值，最后得到所要的解答。下面：
［答题时间：20分钟］
（二）认真思考，独立完成
（1） （2）
（3） （4）
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）认真思考，独立完成
（1）
（2）
或或
（3）
（4）
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5数字谜（一）
同学们，我们今天学习数字谜，它与我们前面学习的填竖式一样，也是一种锻炼我们思维的方法，它对我们学习数字，提高分析问题的能力是非常有益的。数字谜的思考方法与填竖式的思考方法基本相同。即：审题，选择突破口，确定各汉字或字母所代表的数字这三个步骤。
（一）思路指导与解答
例1. 下面加法算式中的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立？
分析：观察加法个位数字相同，并且它们的个位为0，所以选择个位为突破口。（1）填个位，在算式的个位上是克＋克＋克＋克＝0，所以克的取值为0，或5。如果克＝0，那么算式十位上匹＋匹＋匹的个位也是0，这样匹也只能取0，而不同的汉字代表不同的数字，所以这不符合要求。所以克＝5，这时算式中和的个位向十位进2。
（2）填十位，在上面算式的十位上，匹＋匹＋匹的个位数字应是8，这样只有，所以匹＝6。并且十位数字之和向百位进2。
（3）填百位，在算式的百位上，林＋林的个位应为8，而，，所以林取4或9。如果林＝4，百位相加后向千位进1，这样奥＝1。如果林＝9，百位相加后向千位进2，这样奥＝0，但是一个数的首位数字不能为0，于是林≠9。
因此，
例2. 在下面算式中的每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同数字。当它们各代表什么数字时算式成立？
分析：这是一个三位数减三位数差为两位数的减法竖式。
十位数字不够减，需向百位借1，这样好比学大1，这样就成为解题的突破口。
（1）如果个位不向十位借1，那么由十位可求出生的值为9，而个位上，5与4相邻，而且5比4大1。得到一个解为：
（2）如果个位向十位借1，那么由十位可求出生＝8，而18不能拆成两个相邻自然数的和，因此，这种情况不可能。于是此题只有唯一解。
例3. 下面是一道有趣算式，每个相同的汉字代表一个相同的数，你知道这些汉字各代表什么数吗？
分析：这是一个三位数相加，和是四位数的加法竖式，虽然没有一个已知的数字，但是这些数字是密切联系的。
（1）根据三位数加三位数和为四位数，又因为百位上两个一位数相加进位数只能是1，则可确定“真”＝1。
（2）根据“真”＝1，第一个加数百位上的“巧”是几，有两种可能：
如果百位上有进位点，“巧”字可能是9，也可能是8。因为其它的一位数加上都不会进位。到底“巧”是8，还是9呢？就需要全面分析。
<1>如果“巧”＝8，个位上“巧＋巧＝啊，也就是，说明‘啊’＝6”，十位上是“啊＋是＝巧”也就是6＋是＋进位1＝8，由此可推出“是”＝1，但这个结果用于百位是不合适的。因为百位上是“巧＋真＝是”，把上面的结果代入后是“8+1=1”，显然这个算式是不成立的。
（2）如果“巧”＝9，就不难推出“啊”＝8，，十位上“啊”＋“是”＋进位1＝“巧”，即8＋是＋1＝9，可以确定“是”＝0，百位上“巧＋真＝是”即9＋1＝10，百位“是”为0向千位进1，这是符合题意的，由此可得出：
真＝1，是＝0，巧＝9，啊＝8
例4.
分析：这是三个加数相加的加法运算，而它们的和为1989。
（1）我们先看个位：“力＋力＋力＝9”，因为和是四位数，不需要进位。所以力＝3符合要求，因为。
（2）看十位“努＋努＋努”＝9，如果不向百位进1，得不到符合题意的数字，所以考虑向百位进1，则努＝6，因为。
（3）再看百位“要＋要＋1”＝9，这时百位不需向千位进“1”，因为“还”＝1，所以“要”＝4较合适，即。
所以算式为：
例5. 下面竖式中“车、马、炮”各代表0～9，这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同数字，请动脑筋，根据汉字式写出数字式来。
分析：观察这是一个四位数减三位数差为三位数的竖式减法。可见减法运算进行到百位时是退位减法。我们知道，两数相减最多退1，所以我们可得“炮”＝1。
再从竖式百位上的三个汉字分析，被减数和减数的文字相同，都是车，差是马，因此“马”＝9，并且在十位上也是退位减法，就是从百位退1。
又从个位的三个字看“炮”＝1，“马”＝9，个位上的运算也是退位减法，而且是，所以“车”＝2。
所以符合题意的算式为：
［答题时间：20分钟］
（二）认真思考，独立完成
（1） （2）
（3） （4）
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（二）认真思考，独立完成：
（1）
（2）
（3）
（4）
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5计数问题（二）
在上一讲中，我们一起研究“枚举法”、“乘法原理”、“加法原理”在计数问题中的应用。但是，在实际的问题中，这些方法并不是单独使用的。往往需要同时应用这几种方法，这就需要我们搞清题意，根据已知条件，分别使用正确的方法，得到准确的结果。
（一）阅读思考
例1. 求720这个数约数的个数。
分析与解：从1开始，用实验的方法一对一对地找720的约数，这种方法太麻烦。如果把720写成质因数乘积的形式是：。720的约数分解质因数后只能含有质因数2（不超过4个）、质因数3（不超过2个）、质因数5（不超过1个）。因此，720的约数可以看成是由选择约数2的个数，约数3的个数和约数5的个数三个步骤来完成的，然后再利用乘法原理求720的约数的个数。
约数2有5种取法：
约数3有3种取法：
约数5有2种取法：
共有（种）
答：720有30个不同约数。
例2. 平面上有16个点（如图），点与点之间横向与纵向的距离都是一个单位，问通过这些点能够连出多少个正方形？
分析与解：我们采用枚举法，把一切可能的情况都列举出来。图中一共有16个点，用4个点能连成的正方形有9个。即这9个正方形只含4个点，正方形内没有其他点。含有5个点的正方形有4个（正方形中间还有1点），如图1，含有8个点的正方形有2个，如图2，含有9个点的正方形有4个，含有16个点的正方形有1个，这样一共可以连出20个正方形。
例3. 某公园有两个园门，一个东门，一个西门。若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门。另外，从东门有一条道路通向游乐场，从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园。从水上世界有一条道路通向西门，另一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门。问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法？
分析与解：这个题已知条件的叙述比较复杂，我们可以根据题中的叙述画出示意图（图略），然后把条件加以整理再思考。
（1）从东门入园，从西门出园；
（2）从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭和游乐场；
（3）从龙凤亭经园中园可到达西门；
（4）从游乐场经水上世界可到达西门，或从游乐场经园中园可到达西门；
（5）从水上世界经小山亭可到达西门。
根据以上五条可知，行走的路线可以分为这样几类：
算出第一类方法后再相加，就是不同的走法
（种）
答：共有10种不同的走法。
例4. 有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同重量的物体？
分析与解：称重时分四类情况考虑，第一类是只用1个砝码，第二类是用两个砝码，第三类是用三个砝码，第四类是用四个砝码。
只用1个砝码可以称出1克、2克、4克、8克重的物体（共4种）；
用2个砝码可以称出：克、克、克、克、克、克重的物体（共6种）；
用3个砝码可以称出：克、克、克、克重的物体（共4种）；
用4个砝码可以称出：克重的物体（共1种）
（种）
答：在天平上能称出15种不同重量的物体。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 有三张分别写着1、2、3的数字卡片，可以用它们组成多少个不同的两位数。
2. 有4个同学一起郊游，照相时，必须有一名同学给其他3个人拍照，一共可能有多少种不同的拍照情况（照相时3人必须站成一排）？
3. 某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任何一个数字，而且不同数位上的数字可以重复（如：222222），那么这个城市最多可以容纳多少部电话？
4. 有1分、2分、5分、1角、1元，5种不同的硬币各1枚，共可组成多少种不同的币值？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 有三张分别写着1、2、3的数字卡片，可以用它们组成多少个不同的两位数。
3×2＝6（个）
答：可以组成6个不同的两位数。
2. 有4个同学一起郊游，照相时，必须有一名同学给其他3个人拍照，一共可能有多少种不同的拍照情况（照相时3人必须站成一排）？
4×3×2×1＝24
答：一共可能有24种不同的拍照情况。
3. 某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任何一个数字，而且不同数位上的数字可以重复（如：222222），那么这个城市最多可以容纳多少部电话？
9×10×10×10×10×10＝900000
答：这个城市最多可以容纳900000部电话。
4. 有1分、2分、5分、1角、1元，5种不同的硬币各1枚，共可组成多少种不同的币值？
取1枚 5种
取2枚 10种
取3枚 10种
取4枚 5种
取5枚 1种
5＋10＋10＋5＋1＝31（种）
答：共可组成31种不同的币值。
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4计数问题（一）
计数问题是我们在学习和生活中经常遇到的一类问题，如果能够学会和掌握计数问题的思考方法，就可以使我们快捷、准确无误的解决一些实际问题，使我们考虑问题更全面、更细致。
（一）阅读思考
在解决“计数问题”时，我们采用的方法通常有三种：枚举法、加法原理和乘法原理，下面向大家一一做个介绍。
1. 枚举法
枚举法就是要将计数的对象一一列举出来，做到不重复、不遗漏，最后数出或计算出所列举的总数目。为了在枚举时不重复不遗漏，我们的思考就要遵循某种规律，或者说采取某种规则，也就是说思路应该是“有序”的。应避免“东想一个，西想一个”，造成不必要的麻烦。
例1. 用3、5、7三种数字可以组成多少个不同的三位数。
分析：百位数字有三种情况，十位数字也有三种情况，个位数字还有三种情况，我们可以用枚举法把所有三位数都写出来。一共有27个不同的三位数。
……
应用枚举法，所得的结果完整、直观，一目了然。但是枚举法也有缺点，就是如果题目中数目较大，那么枚举的思考难度就比较大，思考的过程也比较费时。下面给大家介绍一种很简捷的方法。
2. 乘法原理
乘法原理：完成一件事需要几个步骤，如果第一步有种方法，第二步有种方法……，第n步有种方法，我们就说完成这件事一共有：种不同的方法。
例2. 在的方格棋盘上，如图所示，每个小方格中放一枚围棋子（棋子有黑白两种颜色），则可以得到多少种不同的放法？
分析：在这个棋盘上放围棋子，可以分为6个步骤，也就是一个格一个步骤。因为在每一个格中都可能有两种放棋子的方法，所以我们说这道题
，所以，这道题一共有种不同的摆法。
同学们，你能不能利用“乘法原理”解答例1呢？
在应用乘法原理时，要注意乘法原理的应用条件，“n个步骤”缺一不可。如果缺少了步骤，那么就不能完成这件事了。
3. 加法原理
在计数问题中，还有一类题目，它不满足乘法原理的条件。
例3. 图书室的书架上摆放着各种图书，其中故事书120册。科幻小说16册，英语故事10册，画报40册，连环画80册，一位学生要在这些图书中借一册，他有多少种不同的借阅方法？
分析与解：题目中告诉我们，一位学生到图书室借阅一册图书，他可以有五类选择方法，第一类可选故事书，他有120种选择方法；第二类可选科幻小说，他有16种选择方法；第三类可选英语故事，他有10种选法，第四类可选画报，他有40种选法，第五类可选连环画，他有80种选择方法。
这位同学要在这些图书中借一册，共有种不同的借阅方法。
加法原理，完成一件事，若完成它可以有n类办法，而第一类办法中有种方法，第二类办法中有种方法，……，第n类办法中有种方法，则完成这件事共有：种不同的方法。
同学们乘法原理与加法原理有什么本质的不同呢？在解决实际问题时还需要我们认真分析，正确判断。
4. 应用
例4. 刘老师要从北京到天津，可以坐火车去，也可以乘汽车去。如果决定了某天出发，而这一天有4班火车，2班汽车可以到天津。问这一天从北京到天津可以有多少种不同的走法？
分析：完成从北京到天津这一任务有2类方法，一类是坐火车，一类是乘汽车。坐火车有4种方法，乘汽车有2种方法。（每一种方法都可以独立完成这个任务）。根据加法原理，有4＋2＝6种不同的走法。
例5. 有两个盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3……10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，……20的十张卡片，若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？
分析与解：完成列出加法式子的任务需要2个步骤，第一步要先确定第一个加数，第二步要确定第二个加数。确定第一个加数有20种方法，确定第二个加数有10种方法，根据乘法原理，一共可以有种不同的方法。（两个加数互换位置算做2个算式）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 有三张分别写着1，5，7的数字卡片，可以组成多少种不同的三位数？
2. 小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问他们可以扎成多少种不同式样的花束？
3. 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，一共可以表示多少种不同的信号？
4. 某校六年级一班有35人，二班有40人，三班有36人，从中选1人去人民大会堂开会，有多少种不同选法？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 有三张分别写着1，5，7的数字卡片，可以组成多少种不同的三位数？
157 517 715 175 571 751共六种
或3×2×1＝6（种）
答：可以组成6种不同的三位数。
2. 小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问他们可以扎成多少种不同式样的花束？
3×3×3＝27（种）
3. 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，一共可以表示多少种不同的信号？
5×4×3＝60（种）
4. 某校六年级一班有35人，二班有40人，三班有36人，从中选1人去人民大会堂开会，有多少种不同选法？
35＋40＋36＝111（种）
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