2007年高考线性规划问题
1、（2007湖北）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．
2、（2007福建）已知实数满足则的取值范围是________．
3、（2007年天津文）设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为（ ）
（Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）13 （Ｄ）14
C
4、（2007全国I）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
C
5、（2007陕西）已知实数、满足条件则的最大值为 .
8
6、（2007重庆）已知则的最小值为 ．
9
7、（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
B
8、（2007浙江）中的满足约束条件则的最小值是 ．
9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
10、（2007北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
C
11、（2007安徽）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
12、（2007江苏）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为
A． B． C． D．
B
y＝2
x－y＝－1
x＋y＝4
图1
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
第 1 页 共 3 页河北定兴第三中学 王立民
2007全国普通高等学校招生考试数学
分类汇编（三角向量）
一、选择题
1、（2007年北京卷理1）．已知，那么角是（ C ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
2、（2007年北京卷理4）．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、（2007年重庆卷理5）在中，则BC =（ A ）
A. B. C.2 D.
4、（2007年重庆卷文6）下列各式中，值为的是B
A B C D
5、（2007年浙江卷理2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ D ）
A． B． C． D．
6、（2007年浙江卷理7）若非零向量满足，则（C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、（2007年浙江卷文2）已知，且，则tan＝C
(A)－ (B) (C) － (D)
8、（2007年浙江卷文9）若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则A
(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜
(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜
9、（2007年陕西卷理4）已知sinα=，则sin4α-cos4α的值为A
（A）- (B)- (C) (D)
10、（2007年辽宁卷4）．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（D ）
A．0 B． C． D．
11、（2007年辽宁卷7）．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（C ）
A． B． C． D．
12、（2007年江西卷理3）．若，则等于（A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
13、（2007年江西卷理5）．若，则下列命题中正确的是（ D ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
14、（2007年江西卷文2）．函数的最小正周期为（B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15、（2007年江西卷文4）．若，，则等于（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
16、（2007年江西卷文8）．若，则下列命题正确的是（ B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17、（2007年湖南卷理4）．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ A ）
A． B． C． D．
18、（2007年湖南卷文2）．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）
A． B．
C． D．
19、（2007年湖北卷理2）．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（A ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
20、（2007年湖北卷文1）．的值为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
21、（2007年湖北卷文9）．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ B ）
A． B． C． D．
22、（2007年海南宁夏卷理2）．已知平面向量，则向量（D）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
23、（2007年海南宁夏卷理9）．若，则的值为（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
24、（2007年福建卷理4）．对于向量和实数，下列命题中真命题是（ B ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
25、（2007年海南宁夏卷理3）．函数在区间的简图是（A ）
26、（2007年广东卷理3）．若函数，则f(x)是D
（A）最小正周期为的奇函数； （B）最小正周期为的奇函数；
（C）最小正周期为2的偶函数； （D）最小正周期为的偶函数；
27、（2007年福建卷理5）．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（A ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
28、（2007年福建卷文3）．等于（D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
29、（2007年福建卷文5）．函数的图象（ A ）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
30、（2007年福建卷文8）．对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（ B ）
Ａ．若，则或 Ｂ．若，则或
Ｃ．若，则或 Ｄ．若，则
31、（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为的是（D）
A． B． C． D．
32、（2007年江苏卷5）．函数的单调递增区间是（D）
A． B． C． D．
33、（2007年天津卷理3）．“”是“”的（ A ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
34、（2007年天津卷文9）设函数，则（ A ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
35、（2007年四川卷文8）设A（a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为A
A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12
36、（2007年上海卷理14）、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有B
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
37、（2007年山东卷理5）函数的最小正周期和最大值分别为（ A ）
A．， B．， C．， D．，
38、（2007年山东卷理11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ C ）
A． B．
C． D．
39、（2007年山东卷文4）．要得到函数的图象，只需将函数的图象（A ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
40、（2007年山东卷文）5．已知向量，若与垂直，则（ C ）
A． B． C． D．4
41、（2007年全国卷二理1）．（ D ）
A． B． C． D．
42、（2007年全国卷二理2）．函数的一个单调增区间是（ C ）
A． B． C． D．
43、（2007年全国卷二理5）．在中，已知是边上一点，若，则（ A ）
A． B． C． D．
44、（2007年全国卷二理9）．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ C ）
A． B． C． D．
45、（2007年全国卷一理1）是第四象限角，，则（D ）
A． B． C． D．
46、（2007年全国卷一理3）已知向量，，则与（A ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
47、（2007年全国卷一理12）函数的一个单调增区间是（ A ）
A． B． C． D．
48、（2007年安徽卷理6）函数的图象为C
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
其中正确的个数有（ C ）个
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
49、（2007年北京卷文3）．函数的最小正周期是（B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题
1、（2007年安徽卷理13）在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.
2、（2007年北京卷理11）．在中，若，，，则
3、（2007年北京卷文11）．已知向量．若向量，则实数的值是
4、（2007年重庆卷文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。
5、（2007年浙江卷理12）已知，且，则的值是
6、（2007年陕西卷理15）.如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 6 .
7、（2007年江西卷理15）．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 2 ．
8、（2007年江西卷文13）．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 1 ．
9、（2007年湖南卷理12）．在中，角所对的边分别为，若，b=，，，则 ．
10、（2007年湖南卷文12）．在中，角所对的边分别为，若，，，则 ．
11、（2007年广东卷理10）．若向量满足，的夹角为60°，则=______；
12、（2007年江苏卷11）．若，.则 1/2 .
13、（2007年天津卷理15）．如图，在中，，是边上一点，，则 ．
14、（2007年天津卷文15）在中，，，是边的中点，则
15、（2007年四川卷理16）下面有五个命题：
①函数的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④ （写出所有真命题的编号）
三、解答题
1、（2007年重庆卷理）（17）(本小题满分13分)设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求tan的值。
解：（Ⅰ）
． 故的最大值为；最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而
2、（2007年重庆卷文）（18）已知函数。
（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a在第一象限且
解：（Ⅰ）由
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条件得
从而 ＝
＝ ＝
3、（2007年浙江卷理18）（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，
，两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
，所以．
4、（2007年陕西卷理17.）（本小题满分12分）
设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为
5、（2007年陕西卷文17）.（本小题满分12分）
设函数.其中向量.
（Ⅰ）求实数的值; （Ⅱ）求函数的最小值.
解：（Ⅰ），，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为．
6、(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
（I）解：
． 5分
由，得，
可知函数的值域为． 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得． 9分
于是有，再由，解得
．
所以的单调增区间为 12分
7、（2007年福建卷文17）．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若边的长为，求边的长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ）由且，
得．，．
8、（2007年山东卷理20）（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解如图，连结，，，
是等边三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里.
9、（2007年江西卷理18）．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．又因为，
，，所以，因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．即或．
10、（2007年江西卷文18）．（本小题满分12分）
如图，函数
的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
11、（2007年湖南卷理16）．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）
12、（2007年湖南卷文16）（本小题满分12分）
已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
13、(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
（I）解：
． 5分
由，得，
可知函数的值域为． 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得． 9分
于是有，再由，解得
．
所以的单调增区间为 12分
14、（2007年湖北卷理16）．（本小题满分12分）
已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大
解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即当时，；当时，．
15、（2007年湖北卷文16）．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，，即的取值范围是．
16、（2007年海南宁夏卷理17）．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．由正弦定理得．
所以．
在中，
17、（2007年广东卷理16）．（本小题满分１2分）
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
若c=5，求sin∠A的值；若∠A为钝角，求c的取值范围；
解：（1），，若c=5， 则，∴，∴sin∠A＝；
∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
18、（2007年福建卷理17）．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又， 角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
19、（2007年天津卷理17）．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ） ．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
20、（2007年天津卷文17）（本小题满分12分）
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，，
．
．
21、（2007年四川卷理17）（本小题满分12分）
已知<<<,
(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
22、（2007年上海卷理17）、在三角形中，，求三角形的面积。
解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．
23、（2007年山东卷文17）．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；（2）若，且，求．
解：（1） 又
解得． ，是锐角． ．
（2）， ， ．
又 ． ．
．
．
24、（2007年全国卷二理17）．（本小题满分10分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
25、（2007年全国卷一理17）（本小题满分10分）
设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，．
，所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
26、（2007届全国卷一文17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求b．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
北
乙
甲
y
x
O
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12007年高考数学试题分类汇编
（排列、组合、二项式）
1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ） www.
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）
A．36种 B．48种 C．96种 D．192种
3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
7．（重庆理科第4题）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（重庆文科第4题）展开式中的系数为（ B ）
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
9．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）
A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
11．（湖北理科第1题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ B ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
12．（湖北文科第3题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ C ）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
13．(浙江文科第6题)展开式中的常数项是（ C ）
(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
14．（江西理科第4题）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．（江西文科第5题）设，
则的值为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
16．（福建文科第12题）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17．（广东理科第7题、文科第10题）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、
C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只
能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件
配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为（ C ）
A．18 B．17 C．16 D．15
18．（辽宁文科地第12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ B ）
A．18 B．30 C．36 D．48
二、填空题
1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）
2．（全国Ⅱ卷理科第13题）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
3．（全国Ⅱ卷文科第16题）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
4．（天津理科第11题）若的二项展开式中的系数为，则 （用数字作答）．
5．（天津文科第12题）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．
6．（重庆理科第15题）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）
7．（重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 288 。（以数字作答）
8．（陕西理科第16题）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
9．（陕西文科第13题）的展开式中项的系数是 .（用数字作答）
10．（陕西文科第15题）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
11．(浙江文科第16题)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．
12．(安徽理科第12题)若的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于
13．(安徽文科第12题)已知,
则( 的值等于 .
14．（福建文科第13题）的展开式中常数项是_____．（用数字作答）
15．（江苏第12题）某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
16．（辽宁理科第16题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
17．（辽宁文科第14题）展开式中含的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）．
18．（宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）2007年高考数学试题分类汇编－平面向量
一、填空题
1．（北京）11．已知向量．若向量，则实数的值是
2．（北京）12．在中，若，，，则
3．（广东）10.若向量、满足的夹角为120°，则＝ .
4．（湖南）12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 ．
5．（湖南文）12．在中，角所对的边分别为，若，，，则 ．
6．（江西）15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 2 ．
7．（江西文）13．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．
8．（陕西）15.如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
9．（天津）15．如图，在中，，是边上一点，，则 ．
10．（天津文）（15）在中，，，是边的中点，则．
11．（重庆文）（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。
12．（上海文）6．若向量的夹角为，，则 ．
13．（上海春）8．若向量，满足，，，则向量，的夹角的大小为 .
二、选择题
14．（北京）4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ Ａ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
15（辽宁）3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ D ）
A．0 B． C． D．
16．（辽宁）6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ A ）
A． B． C． D．
17．（宁夏，海南）4．已知平面向量，则向量（ Ｄ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
18．（福建）4．对于向量和实数，下列命题中真命题是（ B ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
19．（湖北）2．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
20．（湖北文）9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ Ｂ ）
A． B． C． D．
21．（湖南）4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ A ）
A． B． C． D．
22．（湖南文）2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）
A． B．
C． D．
23．（四川）（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若
上的投影相同，则a与b满足的关系式为 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．
24．（天津）10．设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（ Ａ ）
Ａ．[-6，1] Ｂ． Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
25．（浙江）（7）若非零向量满足，则（ Ｃ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
26．（浙江文）(9)若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则（Ａ）
(A) ｜2｜＞｜一2｜ (B) ｜2｜＜｜一2｜
(C) ｜2｜＞｜2一｜ (D) ｜2｜＜｜2一｜
27．（山东）11 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
28．（山东文）5．已知向量，若与垂直，则（ Ｃ ）
A． B． C． D．4
29．（重庆）5．在中，，，，则（ Ａ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
30．（重庆）10．如题（10）图，在四边形中，，
，，
则的值为（ Ｃ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
31．（上海）14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（ B ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
32．（上海春）13．如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足
(A) . (B) .
(C) . (D) .
[答] ( B )
33．（全国Ⅰ）（3）已知向量，，则与（ A ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
34．（全国Ⅱ）5．在中，已知是边上一点，若，则（ A ）
A． B． C． D．
三、解答题：
35．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
36．（福建）17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．
解：（Ⅰ），
．又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
37．（广东）16.（本小题满分12分）
已知△顶点的直角坐标分别为.
（1）若，求sin∠的值;
（2）若∠是钝角，求的取值范围.
16. 解：(1) , 当c=5时，
进而
(2)若A为钝角，则
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)
38．（广东文）16．(本小题满分14分)
已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．
(1)若，求的值；
(2)若，求sin∠A的值
16.解: (1)
由 得
(2)
39．（浙江）（18）（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
，
所以．
40．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每
小时海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当
甲船位于处时,乙船位于甲船的
北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航
行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方
向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里
20【答案】解如图，连结，，，
是等边三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里.
41．（山东文）17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
17．解：（1）
又 解得．
，是锐角． ．
（2）， ， ．
又 ． ．
． ．
42．（上海）17．（本题满分14分）
在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．
17．解： 由题意，得为锐角，，
，
由正弦定理得 ， ．
43．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b．
17．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
44．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
17．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
45．（上海春）20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分4分，第3小题满分8分.
通常用分别表示△的三个内角所对边的边长，表示△的外接圆半径.
(1) 如图，在以为圆心、半径为2的⊙中，和
是⊙的弦，其中，，求弦的长；
(2) 在△中，若是钝角，求证：；
(3) 给定三个正实数，其中. 问：
满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的△不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在△存在的情况下，用表示.
20. [解] (1) △的外接圆半径为2，在△中，，
， …… 3分
. …… 6分
[证明] (2) ，由于是钝角，都是锐角，得
，
，
，
，即. …… 10分
[解] (3) ⅰ）当或时，所求的△不存在.
ⅱ）当且时，，所求的△只存在一个，且.
ⅲ）当且时，，且都是锐角，由，唯一确定.
因此，所求的△只存在一个，且. …… 14分
ⅳ）当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的△存在两个. 由，，得
当时，，
.
当时，，
. …… 18分
D
C
A
B
题（10）图
O
C
B
A
PAGE
102007年高考集合与简易逻辑、函数
(07广东)已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A. B. C. D. C.
（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D. B.
(07广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
（07全国Ⅰ）设，集合，则（ ）
A．1 B． C．2 D． C.
（07全国Ⅰ）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A． B．2 C． D．4 A
（07全国Ⅰ）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
B
（07全国Ⅰ）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________。
（07江西）若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2 C.
（07江西）设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5 B.
（07江西）设p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B.
（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
A.
（07湖北）设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，那么等于
A．{x|0B.
（07湖北）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ B
（07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
（07安徽）若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
A. a＜-1 B. ≤1 C.＜1 D.a≥1
B.
（07安徽）若，
则的元素个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
C.
（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
A.0 B.1 C.3 D.5
D.
（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
B.
（07安徽）设a＞1,且,则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
B.
（07北京）对于函数①，②，
③.判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A.①③ B.①② C. ③ D. ② D
（07北京）已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
（07北京）已知函数分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则的值 ；满足的的值 . 1，2
（07北京）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；
（Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论.
（Ⅰ）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是
；
（Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,
又因为当，
所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.
（Ⅲ）解：，证明如下：
①对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即；
②对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即.
由①②可知.
（07宁夏）设函数为奇函数，则实数 。 －1
（07宁夏）已知命题：，则（ ）
A. B.
C. D.
C.
(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
C.
（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
B.
(07天津)设均为正数，且，，.则（ ）
A. B. C. D. A.
(07湖南)函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1 B.
(07湖南)设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有， （表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13 B.
(07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
C.
(07重庆)命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
D.
(07重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
D
(07重庆)若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。
（07山东）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. B.
(07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A.
(07山东)命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
C.
(07山东)下列各小题中，是的充分必要条件的是
①有两个不同的零点
②是偶函数
③
④
A.①② B.②③ C.③④ D. ①④ D.
(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 . 8
(07上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
PAGE2007年高考数学试题分类汇编----三角函数
1．（安徽文）15．函数的图象为，如下结论中正确的是 ①②③（写出所有正确结论的编号）．
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
2．（江苏卷）11．若，.则 .
3．（江苏卷）16．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则 ，其中。
4．（北京）13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．
5．（四川）(16)下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））
解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
6．（浙江）（12）已知，且，则的值是 ．
7．（浙江文）(12)若sinθ＋cosθ＝，则sin 2θ的值是__一_____．
8．（上海）6．函数的最小正周期 ．
9．（上海文）4．函数的最小正周期 ．
10．（上海春）4．函数的最小正周期为 .
11．（安徽）6．函数的图象为，
①图象关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是（ Ｃ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（江苏）1．下列函数中，周期为的是 D
A． B． C． D．
13．（江苏）5．函数的单调递增区间是 D
A． B． C． D．
14．（宁夏，海南）2．已知命题，，则（ Ｃ ）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
15．（宁夏，海南）3．函数在区间的简图是（ Ａ ）
16．（宁夏，海南）9．若，则的值为（ Ｃ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17．（北京）1．已知，那么角是（ Ｃ ）
Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角
Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角
18．（北京）3．函数的最小正周期是（ Ｂ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19．（福建）5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ A ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
20．（福建文）3．等于（ Ｄ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
21．（福建文）5．函数的图象（ Ａ ）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
22．（广东）3.若函数（ A ）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
23．（广东文）9．已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ D ）
A． B． C． D．
24．（湖北文）1．的值为（ Ａ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
25．（江西）3．若，则等于（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
26．（江西）5．若，则下列命题中正确的是（ D ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
27．（江西文）2．函数的最小正周期为（ Ａ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
28．（江西文）8．若，则下列命题正确的是（ Ｂ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
29．（陕西）4.已知sinα=，则sin4α-cos4α的值为（ Ａ ）
（A）- (B)- (C) (D)
30．（天津）3．“”是“”的（ Ａ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
31．（天津文）（9）设函数，则（ Ａ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
32．（浙江）（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ Ｄ ）
A． B．
C． D．
33．（浙江文）(2)已知，且，则tan＝(Ｃ)
(A)－ (B) (C) － (D)
34．（山东）5 函数的最小正周期和最大值分别为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
35．（山东文）4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ A ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
36．（重庆文）（6）下列各式中，值为的是（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
37．（全国Ⅰ）（1）是第四象限角，，则（ D ）
A． B． C． D．
38．（全国Ⅰ）（12）函数的一个单调增区间是（ A ）
A． B． C． D．
39．（全国Ⅰ文）（2）是第四象限角，，（ Ｂ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
40．（全国Ⅱ）1．（ D ）
A． B． C． D．
41．（全国Ⅱ文）1．（ C ）
A． B． C． D．
42．（全国Ⅱ）2．函数的一个单调增区间是（ C ）
A． B． C． D．
43．（安徽文）16．（本小题满分10分）
解不等式．
16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．
解：因为对任意，，所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
44．（安徽文）20．（本小题满分14分）
设函数，，
其中，将的最小值记为．
（I）求的表达式；
（II）讨论在区间内的单调性并求极值．
20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．
解：（I）我们有
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
45．（安徽理）16．（本小题满分12分）
已知为的最小正周期，，且．求的值．
16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．
解：因为为的最小正周期，故．
因，又．故．
由于，所以
．
46．（辽宁）17．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．
47．（辽宁文）19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
48．（辽宁）
49。（辽宁文）19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
19．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．
（I）解：
． 5分
由，得，
可知函数的值域为． 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得． 9分
于是有，再由，
解得 ．
所以的单调增区间为 12分
50．（湖北）16．（本小题满分12分）
已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大值与最小值．
16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即当时，；当时，．
51．（湖北文）16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
52．（湖南）16．（本小题满分12分）
已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
16．解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
53．．（湖南文）16．（本小题满分12分）
已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
16．解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
54。（江西）18．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
18．解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
55．（江西文）18．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
18．解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．
由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
56．（陕西）17.（本小题满分12分）
设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为
57．（四川）（17）（本小题满分12分）已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
（Ⅱ）求.
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
59．（天津）17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为
60．（天津文）（17）（本小题满分12分）
在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
． 所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
61．（重庆）17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）
设．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为；最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而．
62．（重庆文）（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
已知函数。 （Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若角a在第一象限且
(18)解：（Ⅰ）由
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条件得
从而
＝
＝＝
63．（全国Ⅰ）（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
（17）解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，
，． ，
所以．由此有，
所以，的取值范围为．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
y
x
O
PAGE
162007年高考数学立体几何部分
一．选择题
1．(2007安徽·文)设均为直线,其中在平面
的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
2．(2007安徽·文)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3．(2007北京·文) 平面平面的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线
Ｄ．存在两条异面直线
4．(2007福建·文) 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．(2007广东·文) 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
6．(2007湖北·文) 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．(2007天津·文)设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．(2007湖南·文) 如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
9．(2007江西·文) 四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．(2007陕西·文)Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
(2007四川·文)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
(A）BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥BD
(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60°
二．填空题
13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．
14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
15．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
16．(2007江西·文) 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．二面角的正切值为
Ｄ．点到平面的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三．解答题
17．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
18．(2007北京·文) 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
19．(2007福建·文) 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，
作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
20．(2007安徽·文) 如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
依题意，所以
在中，；
在中，，
．
，．
故当时，直线与平面所成的角为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交时，直线与平面所成的角为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由，得
可取，又，
于是，
即．
故交时，
即直线与平面所成角为．
21．(2007湖南·文) 如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．
解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
22．(2007江苏)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；（4分）
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）
23．(2007江西·文) 右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
（1）证明：作交于，连．
则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以．
．
．
所求几何体的体积为．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．
又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
24．(2007全国Ⅰ·文)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
解法一：
（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，
，
．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．
所以，直线与平面所成的角为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
因为，
，
又，所以，
，．
，，
，，所以．
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
25．(2007全国Ⅱ·文) 如图，在四棱锥中，
底面为正方形，侧棱底面
分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．
解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
26．(2007安徽·文) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥v
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
又，．
，，
，即．
又．平面．
（Ⅱ）连接．
平面．，．
为二面角的平面角．
在中，，
，，
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，．，，
又，面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
解得．
，．二面角的大小为．
27．(2007四川·文) 如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.
解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．
（Ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面
∴
（Ⅱ）取的中点，则．连接、．
∵平面平面，平面平面，．
∴平面．
∵，∴，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，
∴ ．
在中，由勾股定理得．
在中，．
在中，．
在中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
设，有，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得
即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
（Ⅲ）多面体就是四棱锥
28。(2007天津·文) 如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
所以二面角的大小．
A
B
C
F
A
B
D
C
A
B
C
D
O
F
G
A
B
C
D
O
z
x
y
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
A
D
B
C
V
x
y
z
A
D
B
C
V
x
y
A
B
C
Q
P
A
B
C
Q
P
O
x
y
z
S
C
D
A
B
D
B
C
A
S
E
D
B
C
A
S
A
E
B
C
F
S
D
A
E
B
C
F
S
D
H
G
M
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
A
E
D
P
C
B
A
E
D
P
C
B
y
z
x导数
(18) (安徽理 本小题满分14分)
设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
(20)(安徽文 本小题满分14分)
设函数
f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
19．（北京理 本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
19．（共13分）
解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标满足方程，
解得
，
其定义域为．
（II）记，
则．
令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
9．(北京文)是的导函数，则的值是 3 ．
11．（福建理、文）已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ）
A． B．
C． D．
22．（福建理 本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
20．（福建文 本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增 极大值 递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
20．(广东理、文 本小题满分14分)
已知是实数，函数．如果函数在区间上有
零点，求的取值范围．
20解: 若 , ,显然在上没有零点, 所以
令 得
当 时, 恰有一个零点在上;
当 即 时, 也恰有一个零点在上;
当 在上有两个零点时, 则
或
解得或
因此的取值范围是 或 ;
12．（广东文）函数的单调递增区间是 ．
12.
10．（海南理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
21．（海南理 本小题满分12分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
10．（海南文）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
19．（海南文 本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
19．解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20．（湖北理 本小题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
13．（湖北文）已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．
19．（湖北文 本小题满分12分）
设二次函数，方程的两根和满足．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较与的大小．并说明理由．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
（II），令．
当时，单调增加，当时，
，即．
解法2：（I）同解法1．
（II），由（I）知，
．又于是
，
即，故．
解法3：（I）方程，由韦达定理得
，，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设，则由，得
，故．
13．（湖南理）函数在区间上的最小值是 ．
19．（湖南理 本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
19．解：（I）如图，，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
．
设，．则
．
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小．
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
．
则，由，得．
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数．
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．
（III）解法一：不存在这样的点，．
事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．
21．（湖南文 本小题满分13分）
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
9．（江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为
A． B． C． D．
13．（江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 ▲ .
9．（江西理）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为
A． B． C． D．
13．（江西理）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 ▲ .
8．（江西文）若，则下列命题正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．（辽宁理）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
22．（辽宁理 本小题满分12分）
已知函数，．
（I）证明：当时，在上是增函数；
（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：．
22．（辽宁文 本小题满分12分）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
（20）（全国一 理 本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
（20）解：
（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则
，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
（11）（全国一文）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（20）（全国一文 本小题满分12分）
设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
20．解：
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
22．（全国二理 本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
22．解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：
0
0 0
极大值 极小值
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
8．（全国二文）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（全国二文 本小题满分12分）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
22．解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
（22）（山东理 本小题满分14分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
21．（山东文 本小题满分12分）
设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
20.(陕西理 本小题满分12分)
设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，
，即当时的定义域为．
（Ⅱ），令，得．
由，得或，又，
时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
21. (陕西文 本小题满分12分)
已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，．
19、已知函数
（1）判断的奇偶性
（2）若在是增函数，求实数的范围
1. a=0时候是偶函数 a不为0时候为非奇非偶函数
2. a 《 16
(22)(四川理 本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立 若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对和进行比较。
令，有
由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值
故当时，，
从而有，亦即
故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
20、（四川文 本小题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
极大 极小
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
20．（天津理 本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极小值 极大值
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
（21）（天津文 本小题满分14分）
设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．
（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
（8）（浙江理）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
（22）（浙江理 本题15分）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：．
由，得
．
因为当时，，
当时，，
当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则
，
当时，由，得，
当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则
，
由，得．
当时，．
当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，
，，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
15．（浙江文）曲线在点处的切线方程是 ．
（20）(重庆理 本小题满分13分)已知函数(x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
20.（重庆文 本小题满分12分）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
Ｏ
A
E
D
B
H
P
b
a
2
1
2
4
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
