比和比例（二）
（一）典型例题：
例1. 六年级一班小图书箱里共有文艺书和科技书91本，文艺书本数的25%与科技书本数的正好相等，两种书各有多少本？
分析与解：根据第二个已知条件可得：
文艺书本数科技书本数
再利用比例的基本性质把上式转化为：
文艺书本数：科技书本数
利用按比例分配的方法分别求出每种书各有多少本。
（本）
（本）
答：文艺书有56本，科技书有35本。
例2. 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的重量比变为3：4，原来甲队有水泥多少吨？
分析与解：解答此题的关键是要抓住甲、乙两队水泥的总数没有变，原来甲队占两队水泥总量的，甲队少了54吨后，甲队占两队水泥总量的。
“1”
54吨
？吨
通过上图可知：总吨数的是54吨，可以求出两队水泥的总吨数，要求甲队原有水泥吨数，就是求总吨数的是多少？
（吨）
（吨）
答：甲队原有水泥216吨。
例3. 如下图，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步。该操场长160米，宽120米，甲从A，乙从B相向而跑，结果第一次在E处相遇，E处距A处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。
问：甲、乙二人能否在E处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？
D C
A E B
分析与解：由图知，米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比是3：5，假设能够再次在E处相遇，则此时，甲、乙又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为3：5，只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E处再次相遇。
因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了圈，所以从E处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E点相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E点相遇）
例4. 把在比例尺为1：250的平面图上，面积是64平方厘米的正方形移到比例尺为多少的平面图上，它的面积将是100平方厘米？
分析与解：
即第一幅图的正方形边长为8厘米，第二幅图的正方形边长为10厘米，通过比例尺和图上距离可以求出实际距离。
（厘米）
知道正方形实际的边长2000厘米和图上的边长10厘米，可以求出第二幅图的比例尺。
答：移到比例尺是1：200的平面图上，正方形的面积将是100平方厘米。
例5. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，速度比是7：11。相遇后两车继续行驶，分别到达B、A两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距B地80千米，A、B两地相距多少千米？
分析与解：时间一定，速度和所行路程成正比例。
甲 乙
第1次相遇时，甲行7份，乙行11份，全程是（份），到第二次相遇，甲、乙共同行驶了3个全程，即甲行了3个7份，如下图：
甲
这21份比全程18份多了3份，这3份正好是80千米，全程是18份，有6个3份，也就是有6个80千米，即480千米。
（千米）
答：A、B两地相距480千米。
［答题时间：40分钟］
（二）尝试体验：
1. 张明比王红的存款少40元。已知张明存款的和王红存款数的35%相等，问两人各有存款多少元？
2. 王欣读一本书，已读和未读的页数之比是1：5，如果再读30页，则已读与未读的页数比是3：5，这本书共有多少页？
3. 有一座闹钟，每小时慢3分钟，早上8点整对准了标准时间，当闹钟是中午12点时，标准时间是多少？
4. 甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？
5. 一个容器内已注满水，有大、中、小三个球，第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。
现在知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 张明比王红的存款少40元。已知张明存款的和王红存款数的35%相等，问两人各有存款多少元？
张明王红
张明：王红=
（元）……王红
（元）……张明
2. 王欣读一本书，已读和未读的页数之比是1：5，如果再读30页，则已读与未读的页数比是3：5，这本书共有多少页？
（页）
3. 有一座闹钟，每小时慢3分钟，早上8点整对准了标准时间，当闹钟是中午12点时，标准时间是多少？
早上8：00至中午12：00一共是4小时
闹钟每小时慢3分钟，说明标准时间走1小时（60分），而闹钟只走57分。
闹钟与标准时间的速度比是
解：设标准时间走小时。
时4小时12分38秒
8+4小时12分38秒=12时12分38秒
答：标准时间约是12时12分38秒。
4. 甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？
乙工地水泥袋数没有改变。
原来甲、乙两工地水泥袋数的比是，后来甲、乙两工地水泥袋数的比是3：4。两个比相比较，乙工地水泥袋数都是4份，说明这两个比的标准是一致的（每份表示的袋数一样），甲工地水泥由原来的8份减少到3份，减少的5份正好和125袋相对应。可以求出每份是多少袋。
甲工地原有这样的8份，乙工地原有这样的4份。
（袋）
（袋）
（袋）
答：甲工地原有水泥200袋，乙工地原有水泥100袋。
5. 一个容器内已注满水，有大、中、小三个球，第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。
现在知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。
设小球的体积是1。也就是把一个小球的体积作为计算体积单位。
第一次溢出水量和小球体积相等，是1；第二次溢出水量则是，说明中球的体积是（因为取出小球后，容器中已空出的体积是1，要再溢出体积3，需先填满空出的1，再多出体积3）。同理，第三次溢出水量是2.5，说明小球和大球的体积和是，而大球体积是。三个球的体积之比是。
PAGE巧解周长（二）
同学们好，我们已经学过长方形与正方形的知识，长方形对边相等，四角都是直角，正方形四条边相等，四个角都是直角。正方形是特殊的长方形。今天我们一起学习运用求周长的知识解决生活中的实际问题。
（一）典型例题
例1. 有一块地，形状如图，已知米，米，求这块地的周长。
思路分析：
这块地是一个多边形，可利用平移，将这块地看成是一个正方形，还多2个c边。
答：这块地周长是188米。
例2. 下图周长是（ ）厘米。
思路分析：
运用线段平移的方法，将这个不规则的图形转化成一个长方形，再根据长方形周长计算公式即可求出图形的周长。
答：图形周长是42厘米。
例3. 下面是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度（单位：厘米）。你能知道它的周长是（ ）厘米。
思路分析：
此图可添加辅助线将图形分成三个长方形。横着的线段可以看成2个50厘米，竖着的线段可以看成2个28厘米与2个16厘米的和。
答：周长是188厘米。
例4. 用1厘米宽的木条钉成一个长方框（如下图），从外边量长10厘米，宽比长少2厘米，从里面量小长方形的周长是多少厘米？
思路分析：
长方形框架，外缘长方形长10厘米，里面小长方形的长为：（厘米），外缘长方形宽比长少2厘米，即宽（厘米），里面小长方形的宽为（厘米）。所以小长方形的周长即可以求出。
（1）小长方形的长是多少？
（厘米）
（2）大长方形的宽是多少？
（厘米）
（3）小长方形的宽是多少？
（厘米）
（4）小长方形的周长是多少？
答：小长方形周长是28厘米。
［答题时间：30分钟］
（二）试一试，独立完成
1. 用9个边长2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长是多少厘米？
2. 若用上题方法一层一层地摆下去，摆到第6层时，周长是多少厘米？
3. 把长2厘米，宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，如图，摆完第10层，这个图形的周长是__________厘米。
4. 用6个边长2厘米的正方形拼成一个长方形，周长最长是（ ）厘米。
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）试一试，独立完成
1. 用9个边长2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长是多少厘米？
2. 若用上题方法一层一层地摆下去，摆到第6层时，周长是多少厘米？
第一层摆一个正方形，第二层摆3个正方形，……第六层摆11个正方形。
3. 把长2厘米，宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，如图，摆完第10层，这个图形的周长是__________厘米。
4. 用6个边长2厘米的正方形拼成一个长方形，周长最长是（ ）厘米。
PAGE比和比例（一）
（一）典型例题
例1. 某单位买甲乙两种钢笔共100支，已知甲种钢笔每支3元，乙种钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多，求甲、乙两种钢笔各买了多少支？
分析与解：根据已知条件“甲、乙两种钢笔所用钱数一样多”，即总价一定，可以写出如下关系式：单价×数量=总价（一定），所以单价和数量成反比例关系，又因为甲、乙两种钢笔单价之比是3：2，所以两种钢笔所购数量之比为2：3，找到这些关系即可以用按比例分配的方法来解答。
（支）
（支）
答：甲种钢笔购买40支，乙种钢笔购买60支。
想一想：如果用方程解，该如何解答呢？
例2. 甲、乙两车同时从两地相向开出，甲行了全程的与乙相遇，已知乙行完全程用6小时，甲行完全程用几小时？
分析与解：相遇时，甲行了全程的，乙行了全程的，甲、乙所行路程的比是，当时间一定时，速度和路程成正比例关系，这说明甲、乙两车速度的比也是3：2。已知乙车速度是，可以列出这样的比例式：
解：设甲的速度为。
（小时）
也可以这样想：路程一定，速度和时间成反比，速度比是3：2，那么时间的比是2：3。
解：设甲行完全程用小时。
答：甲车行完全程用4小时。
例3. 甲、乙两车同时从两地相对开出，在离中点15千米处与乙相遇，已知甲车和乙车的速度比是7：6，求两地相距多少千米？
分析与解：时间一定，速度和路程成正比例关系，速度的比是7：6，那么两车相遇时所行路程的比也是7：6。甲车行了全程的，乙车行了全程的。
“1”
15千米
？千米
（千米）
答：两地相距390千米。
例4. 如图，梯形ABCD，E是BC的中点，图中甲、乙两部分面积之比是10：7，那么上底AB与下底CD长度之比是几比几？
A B
甲 E
乙
D C
分析与解：连接DB，由于E是中点，所以三角形DBE和三角形DEC等底等高，面积相等，乙的面积是7份，所以三角形DBE的面积也是7份，那么三角形ADB的面积是（份）。
在三角形ABD和三角形BCD中，它们的高相等，所以这两个三角形的面积和底成正比例，面积之比是，那么底的比也是3：14，即梯形上底AB与下底CD长度之比是3：14。
例5. 两支粗细长短不同的蜡烛，长的一支可以点3.5小时，短的一支可以点5小时。同时点燃后经过2小时，两支蜡烛剩下的长短恰好相等。短的蜡烛的长度与长蜡烛的长度的比是多少？
分析与解：长的一支可以点3.5小时，每小时点全长的，短的一支可以点5小时，每小时点全长的。
经过2小时后，两支蜡烛剩下的长度相等。所以，
长蜡烛长度短蜡烛长度
长蜡烛长度短蜡烛长度
短蜡烛长度：长蜡烛长度
答：短的蜡烛的长度与长蜡烛的长度的比是5：7。
［答题时间：30分钟］
（二）尝试体验：
1. 甲、乙两车由相距210千米的A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两车速度的比是2：3，相遇时，甲、乙两车各行多少千米？
2. 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用4小时，去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米，甲、乙两站相距多少千米？
2. 师徒二人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件要用9分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
4. 一列客车和一列货车同时从甲、乙两站相向开出，客车与货车速度之比是3：2。客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
5. A、B两种商品的价格之比为7：3，如果它们的价格分别上涨70元，价格之比为7：4，问两种商品原来的价格是多少元？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（二）尝试体验：
1. 甲、乙两车由相距210千米的A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两车速度的比是2：3，相遇时，甲、乙两车各行多少千米？
时间一定，所行的路程和速度成正比例关系。
甲、乙两车速度比是2：3，甲、乙两车所行路程的比也是2：3
（千米）
（千米）
答：甲车行驶84千米，乙车行驶126千米。
2. 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用4小时，去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米，甲、乙两站相距多少千米？
路程一定，速度和时间成反比例关系。
去时与返回去速度的比是，那么去时与返回所用时间的比是2：3。
（小时）
（小时）
（千米）
答：甲、乙两站相距72千米。
2. 师徒二人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件要用9分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
同样加工一个零件，师徒所需的时间和工作效率成反比例关系。
师徒完成一个零件所用时间的比是5：9，那么师徒工作效率的比是9：5，师徒共同加工一批零件，从开始加工到完成，师徒的工作时间一定，那么师徒工作效率与师徒的工作量成正比例。
（个）
（个）
（个）
答：师傅比徒弟多加工48个零件。
4. 一列客车和一列货车同时从甲、乙两站相向开出，客车与货车速度之比是3：2。客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
解：设货车行驶小时到达甲站。
答：货车行驶9小时到达甲站。
5. A、B两种商品的价格之比为7：3，如果它们的价格分别上涨70元，价格之比为7：4，问两种商品原来的价格是多少元？
解：设A种商品原来价格是7份，B种商品原来的价格是3份。
（元） （元）
答：A种商品原价210元，B种原价90元。
话外音：与人方便，与己方便。品德与知识同等重要。
PAGE平均数应用题（二）
二. 重点、难点：
（一）典型例题
例1. 下表是小光的各科考试分数，其中数学分数空着，已知数学的分数比五科的平均分数多4分，小光的数学得多少分？
语文 数学 思想品德 自然 历史
83 74 71 64
分析与解：设小光的数学成绩为x分，根据题意则有：
依据被减数，减数与差之间的关系上式变为：
依据乘、除法的逆运算关系，有：
化简可得
答：小光的数学得78分。
例2. 某哨所8名战士守卫，轮流派出2名战士站岗，一昼夜24小时，平均每人站岗几小时？
分析与解：
方法一：因为轮流派出2名战士站岗，对于承担岗务的时间来说，两人同时站岗1小时，就相当于1人有2小时的站岗任务。一昼夜两人站24小时，就相当于1个人有48小时的站岗任务，平均每人站岗的时间是：
（小时）
答：平均每人站岗6小时。
方法2：假如把2名站岗的岗位分为第一号与第二号，把8名战士分为两组，一组承担第一号岗位的执勤任务；另一组承担第二号岗位的执勤任务，每一组只有（人），昼夜24小时，平均每人站岗的时间是：（小时）
例3. 新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？
分析与解：方法1：要求平均每天装配多少台，是用四天装配的总台数除以4就可以了，四天装配的总台数是：（台）
平均每天装配（台）
综合算式：（台）
答：平均每天装配52台。
方法2：可采用“移多补少”拉平的方法求平均数。假如每天都装配50台，则四天一共多装配（台），把8台平均分成4份（台），因此可知平均每天装配（台）
综合算式：（台）
答：平均每天装配52台。
例4. 二年级举行口算比赛，第二名到第六名平均每人做对120题，比前六名做对题目的平均数少2题，求第一名做对了多少题？
方法与解：
方法1：因为前六名的平均数是（题），可知前六名做对的总题数是（题）；第二名到第六名平均每人做对120题，这5人做对的题数是（题），所以第一名做对（题）
综合算式：（题）
方法2：采用移多补少的方法：从题意中可知，前六名每人平均做对的题数比第二名到第六名的平均数多2题，6人共多做对（题），因此第一名做对（题）
例5. 20个同学合影留念，最初2张照片要5.20元，以后每加洗一张需0.6元。如果每人要一张照片，平均每人付多少钱？
分析与解：
方法一：20人合影留念，平均每人付多少钱，应该是用总钱数除以总人数即可。总钱数是最初2张照片用去的5.20元加上后面加洗的18张照片用去的（元），平均每人要付：
（元）
方法二：采用移多补少的方法：假设最初2张也按0.60元一张计算，2张共用（元），则有差额（元）
20人平均分差额每人再付（元）。因此每人应付：
（元）
例6. 已知A、B、C、D、E、F这六个数的平均数是1335，A、B、C、D这四个数的平均数是1964.25，C、D、E、F这四个数的平均数是1031.25，则A、B、E、F的平均数是多少？
分析与解：要想求A、B、E、F的平均数，只要求出A、B、E、F的总数再除以4就可以了。通过A、B、C、D、E、F的平均数是1335可以求出这六个数的总数。通过A、B、C、D四个数的平均数和C、D、E、F的平均数可以求出它们的总数。从A、B、C、D、E、F的总数中减去A、B、C、D的总数就是E、F的总数，从ABCDEF的总数中减去C、D、E、F的总数可以求出A、B的总数。
把E、F的总数和A、B的总数相加，再除以4就是所求。
……A、B、C、D、E、F的总数
……A、B、C、D的总数。
……C、D、E、F的总数。
答：A、B、E、F的平均数是1009.5。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 小清期中考试语文、数学、英语、常识、地理五门功课，数学成绩不算在内，平均成绩是90分，把数学成绩加过去，平均成绩是92分，小清的数学考了多少分？
2. 甲、乙两人合买了若干千克鱼，平分后甲又向乙要了3千克，所以甲多付人民币18元。这种鱼每千克价格是多少元？
3. 有四个数，最小的是10，从第二个数起，每个数都比它前一个大5。这四个数的平均数是多少？
4. 学校航模小组15人合影留念，照6寸相片3张价格是7.5元，另外每加洗一张0.45元，如果每人各得一张，平均每人需交多少钱？
5. 商店用相同的费用，进货时买进甲、乙两袋不同的糖果。已知甲袋糖果每千克需6元，乙袋糖果每千克需4元。如果把两袋糖果混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 小清期中考试语文、数学、英语、常识、地理五门功课，数学成绩不算在内，平均成绩是90分，把数学成绩加过去，平均成绩是92分，小清的数学考了多少分？
（分）
答：小清的数学考了100分。
2. 甲、乙两人合买了若干千克鱼，平分后甲又向乙要了3千克，所以甲多付人民币18元。这种鱼每千克价格是多少元？
甲、乙均分后甲又向乙要了3千克，说明甲比乙多2个3千克，即6千克。
（元）
答：这种鱼每千克的价格是3元。
3. 有四个数，最小的是10，从第二个数起，每个数都比它前一个大5。这四个数的平均数是多少？
方法一：
方法二：
答：这四个数的平均数是17.5。
4. 学校航模小组15人合影留念，照6寸相片3张价格是7.5元，另外每加洗一张0.45元，如果每人各得一张，平均每人需交多少钱？
（张）
（元）
（元）
答：平均每人需分摊（元）
5. 商店用相同的费用，进货时买进甲、乙两袋不同的糖果。已知甲袋糖果每千克需6元，乙袋糖果每千克需4元。如果把两袋糖果混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？
设买两种糖果各花去x元。根据“总钱数÷总重量=平均每千克钱数”得
把x看成48元。（当然看成其它数也可以。）
（元）
答：这种什锦糖每千克的成本是4.8元。
PAGE等差数列（二）
同学们，在上一讲中，我们一起研究了等差数列的一些知识。这一次我们一起研究等差数列的求和、应用的知识。
阅读思考
1. 等差数列求和公式。
从上一讲中我们提到的“高斯求和”的故事还可以看出等差数列求和的方法，是通过适当搭配，转化成若干个相等的数求和，即转化为乘法。
搭配的方法不是唯一的。例如：“一个数列中所有的数都相等”这种数列也是等差数列，公差是0。这时我们就可以直接用乘法来计算。
等差数列前n项和的公式是：
如果项数是奇数，还可以用“中间项”乘以项数，来求和。
例1. 计算。
1+2+3+4+……+1000
分析与解答：可以看出，这一个从1开始到1000的自然数的求和问题，首项，末项，因为是从1到1000的自然数，所以项数是1000。因为
所以原式=
例2. 计算1+3+5+……+105
分析与解答：这道题是求首项，末项的等差数列的和。但现在我们不知道这个数列的项数，所以要先利用研究过的知识求出项数。
因为
所以
再求这个等差数列的和：
原式=
2. 知识的灵活应用
在我们解决一些问题时，常常要综合应用几个方面的知识。
例3. 求100以内所有被5除余1的自然数之和。
分析与解答：要想求这些数的和，我们就要知道这是哪些数。根据以往的知识可知，符合要求的最小数，即首项是1；最大数，即末项是96，公差是5。同学们知道，等差数列求和还要知道项数。
因为
所以：
又因为
所以
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算。
（1）47+48+49+……+500
（2）1+8+15+22+……+246
2. 求自然数中所有两位数的和。
3. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数来，得到数列：1，4，7，10，……，求前100个数的和。
4. 求自1开始连续100个奇数之和。
5. 某小孩玩投放石子游戏，从A出发走1米放1枚石子，第二次走4米放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，第四项再走10米放7枚石子，……，照此规律最后走到B处放下35枚石子，问从A到B路程有多远？
6. 从以下计算中能发现什么规律吗？
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
……
请做完之后，再看答案
【试题答案】
1. 计算。
（1）47+48+49+……+500=124169
（2）1+8+15+22+……+246=4446
2. 求自然数中所有两位数的和。
4905
3. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数来，得到数列：1，4，7，10，……，求前100个数的和。
14950
4. 求自1开始连续100个奇数之和。
10000
5. 某小孩玩投放石子游戏，从A出发走1米放1枚石子，第二次走4米放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，第四项再走10米放7枚石子，……，照此规律最后走到B处放下35枚石子，问从A到B路程有多远？
477米
6. 从以下计算中能发现什么规律吗？
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
……
答：略
PAGE
