比较分数的大小（二）
【典型例题】
例1. 比较的大小。
分析与解答：
这两个分数的分子和分母都比较大，且又不相同，因此，把它们转化为同分母分数或同分子的分数都比较困难，可采用下面的方法进行比较：
（1）这两个分数先分别与1相比较：
（2）再根据分数基本性质将所得的两个分数化为同分子的分数，再进行比较。
因为，所以。
例2. 比较下面各组中两个分数的大小
（1） （2）
分析与解答：
（1）
<1>先化简：
<2>比较的大小
因为，所以
（2）
可以分三步进行比较：
<1>先化简：
<2>把与1相较：
<3>比较的大小
通过上面题的比较发现：一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。
例3. 比较下面每组中两个分数的大小
（1）
（2）
分析与解答：
（1）
根据一个真分数的分子和分母同时减去一个相同的自然数（这个自然数小于真分数的分子）所得的新分数比原分数小。
因此
（2）
根据一个假分数的分子和分母同时加一个自然数，所得的新分数比原分数小。
因此
例4. 试比较的哪个分数大？
分析与解答：
我们分别采用以下两种方法。
方法一：先求出这两个分数的倒数，哪个分数的倒数越大，原来的分数就越小。
的倒数是
的倒数是
因为，所以。
方法二：根据一个真分数的分子、分母加上同一个自然数，所得的新分数比原来的自然数大。进行比较
因为
所以
总之，比较两个分数的大小的方法很多，应用这些方法时要注意根据题目的特点进行具体分析，采用哪种方法比较简便，同时注意灵活运用这些方法，不断地总结出新的方法。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 比较下面每组中两个分数的大小。
（1） （2）
（3） （4）
2. 比较下面每组中两个分数的大小。
3. ，那么A和B中较大的数是____________。
4. 对于下面各组的两个分数，找出一个大小介于它们之间且分母小于10的分数：
（1） （2） （3）
请做完之后再看答案!
【试题答案】
1. 比较下面每组中两个分数的大小。
（1） （2）
（3） （4）
2. 比较下面每组中两个分数的大小。
3. ，那么A和B中较大的数是 B 。
4. 对于下面各组的两个分数，找出一个大小介于它们之间且分母小于10的分数：
（1） （2） （3）
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4追及问题（二）
【典型例题】
例1 甲、乙两城之间的铁路长240千米，快车从甲城，慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇。如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前，快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车和慢车每小时各行多少千米？
分析与解：
快车 240千米 慢车
甲 乙
3小时相遇
240÷3 = 80（千米）……快车和慢车的速度和
快车 慢车
甲 乙
240千米
240÷15 = 16（千米）……快车和慢车的速度差
根据“和、差问题”的计算规律可得：
（80 + 16）÷2 = 48（千米）……快车速度
（80—16）÷2 = 32（千米）……慢车速度
答：快车每小时行48千米，慢车每小时行32千米。
例2 甲军舰每小时行32千米，乙军舰每小时行24千米，两舰同时同地背向出发巡逻，3小时后，甲舰返回追乙舰，问几小时后可以追上乙舰？
分析与解：
3小时
甲 乙
？千米
根据“速度和×时间 = 路程”可得
（32 + 24）×3 = 168（千米）
甲32千米/小时 乙24千米/小时
168千米
根据“追及路程÷速度差 = 追及时间”可得：
168÷（32—24）= 21（小时）
答：甲舰21小时追上乙舰。
例3 有甲、乙二人，甲坐在汽车上发现乙步行向相反方向走去，10秒钟后汽车停住，甲下车跑步去追，已知甲跑步的速度是乙的3倍，汽车的速度比甲快10倍，问甲追上乙需要多少秒钟？
分析与解：甲跑步的速度是乙的3倍，说明乙的速度是1倍数，甲的速度是3倍。汽车的速度比甲快10倍，说明汽车的速度是甲的速度的（10 + 1 = ）11倍，那么汽车的速度就是乙的3×11 = 33倍。甲在车上这10秒钟，甲、乙做相背运动，甲乙之间的距离是：（33 + 1）×10 = 340（倍），这也就是甲、乙的追及路程。根据“追及路程÷速度差 = 追及时间”得：
340÷（3—1）= 170（秒）
答：甲追上乙需要170秒钟。
例4 解放军某部追击敌舰，追到A岛，敌人已逃离12分，敌舰每分行1000米，我舰每分行1360米，如果距敌舰840米可以开炮，解放军从A岛出发经过多少分可以开炮？
分析与解：我军到A岛时，敌舰已逃离12分，这12分一共行进了1000×12 = 12000（米）。看来这12000米已经超过了炮弹的有效射程。用12000—840 = 11160（米），也就是说要想开炮，必须把差距缩小为840米以内，这11160米就是追及路程。
根据“追及路程÷速度差 = 追及时间”可得
11160÷（1360—1000）= 31（分）
答：我军舰从A岛出发经过31分可以开炮。
例5 有两桶食用油，第一桶有油126千克，第二桶有油82千克，每天从第一桶中取出9千克，从第二桶中取出5千克，问多少天后两桶剩下的油相等？
分析与解：
126千克
第一桶
82千克
第二桶
第一桶比第二桶多126—82 = 44（千克）
每取一次两桶油剩余重量之差就减少9—5 = 4（千克）
44÷4 = 11（天）
答：11天后两桶剩下的油重量相等。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 一列慢车在早晨6：30以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨7：30以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定：向相同方向前进的两列火车之间的距离不能小于8千米。那么，这列慢车最迟应该在几点钟停车让快车超过？
2. 兄弟二人去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才出发，哥哥每分行75米，弟弟每分行65米，两人都朝学校前进，哥哥在离学校200米的地方追上弟弟，家离学校多少米？
3. 两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？
4. 小明由家去上学，每分钟走150米，他出发10分钟后，爸爸发现他把书落在家里，急忙骑自行车去追小明，自行车每分钟行275米，在离学校300米处，爸爸追上小明，他们谈话用了1分钟，求小明从家到学校共用多少分钟？
5. 某养鱼场有一个圆形养鱼池，周长500米，甲、乙两个管理员同时相背而行，5分钟相遇一次，如果同向而行，50分钟遇一次，甲比乙走得快，问甲、乙两个管理员，每分钟各走多少米？
请做完之后再看答案!
【试题答案】
1. 一列慢车在早晨6：30以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨7：30以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定：向相同方向前进的两列火车之间的距离不能小于8千米。那么，这列慢车最迟应该在几点钟停车让快车超过？
6：30至7：30是1小时
40×1 = 40（千米）
（40—8）÷（56—40）= 2（小时）
答：快车出发2小时后，慢车应停车避让，所以最迟是9：30
2. 兄弟二人去上学，弟弟走出家门100米后，哥哥才出发，哥哥每分行75米，弟弟每分行65米，两人都朝学校前进，哥哥在离学校200米的地方追上弟弟，家离学校多少米？
100÷（75—65）= 10（分）
75×10 + 200 = 950（米）
答：家离学校950米。
3. 两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？
900÷15 = 60（千米）
900÷12 = 75（千米）
60×2÷（75—60）= 8（小时）
75×8 = 600（千米）
答：乙车要走600千米才能追上甲车。
4. 小明由家去上学，每分钟走150米，他出发10分钟后，爸爸发现他把书落在家里，急忙骑自行车去追小明，自行车每分钟行275米，在离学校300米处，爸爸追上小明，他们谈话用了1分钟，求小明从家到学校共用多少分钟？
150×10 = 1500（米）
1500÷（275—150）= 12（分）
300÷150 = 2（分）
10 + 12 + 1 + 2 = 25（分）
答：小明从家到学校共用25分钟。
5. 某养鱼场有一个圆形养鱼池，周长500米，甲、乙两个管理员同时相背而行，5分钟相遇一次，如果同向而行，50分钟遇一次，甲比乙走得快，问甲、乙两个管理员，每分钟各走多少米？
500÷5 = 100（米）
500÷50 = 10（米）
（100 + 10）÷2 = 55（米）
55—10 = 45（米）
答：甲管理员每分钟走55米，乙管理员每分钟走45米。
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4行船问题（一）
船在水里顺水或逆水航行也是行程问题。船在水里前进的速度，不但与船本身在静水中航行的速度（简称船速）有关，而且还与水流动的速度（简称水速）有关。在这种情况下，研究船顺水或逆水运动的应用题叫做流水行船问题，也简称流水问题。
船顺流而下的速度与逆流而上的速度与船速、水速有关系，关系式如下：
顺水速度 = 船速 + 水速
逆水速度 = 船速 — 水速
根据上面两个关系，我们可以推出如下两个关系：
船速 = （顺水速度 + 逆水速度）÷2
水速 = （顺水速度 — 逆水速度）÷2
【典型例题】
例1：一只船在静水中每小时行8千米，逆水行4小时航行24千米，求水流速度是多少？
分析与解：
逆水速度：24÷4 = 6（千米）
根据“逆水速度 = 船速 — 水速”得：
水速：8—6 = 2（千米）
答：水流速度是每小时2千米。
例2：两个码头相距360千米，一艘汽艇顺水行完全程需9小时，这条河水流速度是每小时5千米，求这艘汽艇逆水行完全程需几小时？
分析与解：
要想求逆水行完全程的时间，除了知道路程外还要知道逆水航行的速度。逆水速度 = 船速—水速。
（1）汽艇顺水航行的速度
360÷9 = 40（千米）
（2）汽艇逆水航行的速度
40—5×2 = 30（千米）
（3）逆水航行的时间
360÷30 = 12（小时）
答：这艘汽艇逆水行完全程需要12小时。
例3：一条船顺水而行5小时行60千米，如果逆水航行这段水路，10小时才能到达，求船速和水流速度？
分析与解：
根据“船速 = （顺水速 + 逆水速）÷2”
水速 = （顺水速—逆水速）÷2，可知：
要求船速和水速，先求出顺水速度和逆水速度。
（1）顺水速度
60÷5 = 12（千米）
（2）逆水速度
60÷10 = 6（千米）
（3）船速
（12 + 6）÷2 = 9（千米）
（4）水速
（12—6）÷2 = 3（千米）
答：船在静水中每小时行9千米，水流速度每小时3千米。
例4：甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米，一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时？
分析与解：
要求这艘船一共航行多少小时，要先求出在甲河中顺行133千米所需的时间。
（1）这艘船在乙河中的逆水速度
84÷6 = 14（千米）
（2）船在静水中速度
14 + 2 = 16（千米）
（3）船在甲河中的顺水速度
16 + 3 = 19（千米）
（4）在甲河中顺水航行133千米需要几小时？
133÷19 = 7（小时）
（5）一共航行的时间
6 + 7 = 13（小时）
答：这艘船一共航行13小时。
例5：一条小河流过A、B、C三镇。A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为11千米/小时。B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为3千米/小时。已知A、C两镇水路相距51千米，水流速度为2千米/小时。某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船顺流而下到C镇共用8小时，那么A、B两镇的距离是多少千米？
分析与解：
汽船的顺水速度是11 + 2 = 13（千米）
木船的顺水速度是3 + 2 = 5（千米）
此人在船上行驶的时间是8—1 = 7（小时），假设这7小时都按每小时13千米的速度前进，共行13×7 = 91（千米），比实际多行91—51 = 40（千米），多行的这40千米是因为把乘木船航行按乘汽船航行计算了，40千米里有几个（13—5 = ）8千米，就乘木船航行了几小时。
（1）11 + 2 = 13（千米）
（2）3 + 2 = 5（千米）
（3）8—1 = 7（小时）
（4）13×7 = 91（千米）
（5）（91—51）÷（13—5）= 5（小时）
（6）7—5 = 2（小时）
（7）13×2 = 26（千米）
答：A、B两镇的距离是26千米。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 一只船每小时行14千米，水流速度为每小时6千米，问这只船逆水航行112千米，需要几小时？
2. 一只船顺水每小时航行12千米，逆水每小时航行8千米，问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？
3. 甲、乙两港相距192千米，一艘轮船从甲港顺流而下行16小时到达乙港，已知船在静水中的速度是水流速度的5倍，求水流速度和船速。
4. 甲、乙两码头相距72千米，一艘轮船顺水行需要6小时，逆水行需要9小时，求船在静水中的速度和水流速度。
5. 静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水航行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？
请做完之后在看答案！
【试题答案】
1. 一只船每小时行14千米，水流速度为每小时6千米，问这只船逆水航行112千米，需要几小时？
14—6 = 8（千米）
112÷8 = 14（小时）
答：船逆水航行112千米，需要14小时。
2. 一只船顺水每小时航行12千米，逆水每小时航行8千米，问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？
（12 + 8）÷2 = 10（千米）
（12—8）÷2 = 2（千米）
答：这只船在静水中的速度是每小时行10千米，水流速度是每小时行2千米。
3. 甲、乙两港相距192千米，一艘轮船从甲港顺流而下行16小时到达乙港，已知船在静水中的速度是水流速度的5倍，求水流速度和船速。
192÷16 = 12（千米）
12÷（1 + 5）= 2（千米）
2×5 = 10（千米）
答：这只船在静水中每小时行10千米，水流速度是每小时行2千米。
4. 甲、乙两码头相距72千米，一艘轮船顺水行需要6小时，逆水行需要9小时，求船在静水中的速度和水流速度。
72÷6 = 12（千米）
72÷9 = 8（千米）
（12 + 8）÷2 = 10（千米）
12—10 = 2（千米）
答：船在静水中每小时行10千米，水流每小时行2千米。
5. 静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水航行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？
（18 + 4）×2 = 44（千米）
44÷（22—18）= 11（小时）
答：甲船11小时可以追上乙船。
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4奇妙的分数
同学们，我们已经学习了分数的知识。知道分数既可以表示实际的数量，又可以表示部分与整体的关系。带有单位名称的分数，表示实际数量，例如米。不带有单位名称的数，它表示部分与整体的关系，整体的数量可大可小，不是具体唯一的量。
今天，我们就来研究一些分数的其它知识。
（一）阅读思考
1. 判别下面各分数，哪些能化成有限小数，哪些不能化成有限小数。
分析与解答：
是最简分数，可以化成有限小数。
是最简分数，不可以化成有限小数。
不是最简分数，化简后是，不能化成有限小数。
是最简分数，可以化成有限小数。
不是最简分数，化简后是，可以化成有限小数。
2. 能化成有限小数的分数，同学们已经很熟悉了，我们接着就来研究一下那些不能化成有限小数的分数吧，好吗？
（1）把分数化成小数。
总结：一个最简分数的分母里，如果只含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、……各数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。
（2）把分数化成小数。
总结：一个最简分数的分母里，如果既含有2、5这样的质因数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。它的不循环部分数字的个数，等于分母中2、5中较多的一个数的个数；循环节的最少位数等于9、99、999、……各数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数乘积）整除的最小那个数里9的个数。
3. 将和化成分数。
解答：（1）因为①
所以②
把①和②的两边分别相减：
化简得
所以
总结：一个纯循环小数的小数部分可以化成一个分数（这个分数的分子是这个纯循环小数一个循环节的数字所组成的数，分母是由与一个循环节数字个数相同的若干个9组成的数）。
（2）因为
①
②
把①和②两边分别相减，得
所以
总结：从这个例子可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成一个分数（这个分数的分子是不循环部分和第一个循环节所有数字组成的数减去不循环部分所有数字组成的数的差；分母的头几位数字都是9，9后面的数字都是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相同，0的个数等于不循环部分数字的个数。）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
（二）尝试体验
1. 指出下面的分数：
能化成有限小数的：（ ）
能化成纯循环小数的：（ ）
能化成混循环小数的：（ ）
并说一说不循环部分数字的个数、循环节最少位数是几？
2. 把下面各循环小数化成分数：
3. 把“<”把下列各分数连接起来：
4. 比较与的大小。
请做完之后在看答案！
【试题答案】
1. 指出下面的分数：
能化成有限小数的：（）
能化成纯循环小数的：（）
循环节最少位数是6位
循环节最少位数是3位
能化成混循环小数的是：（）
并说一说不循环部分数字的个数、循环节最少位数是几？
不循环部分是2位，循环节最少位数是1位
不循环部分是1位，循环节最少6位
不循环部分是1位，循环节最少4位
2. 把下面各循环小数化成分数：
3. 把“<”把下列各分数连接起来：
4. 比较与的大小。
<
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4分数加减法中的巧算（1）
我们在进行异分母分数加减法时，一般要先通分，再计算。但是对于有一定特点的或比较复杂的异分母分数加减运算，用上面的方法就比较麻烦了。今天，我们就来研究一些巧算的方法。
（一）阅读思考
1. 分子是1的异分母分数加减法
计算下面各题，观察计算结果与原分数有什么关系？
规律：
2. 分母是互质数的分数加减法
观察下面各题，找出计算方法
规律：
3. 将六个分数分成三组，使每组中两个分数的和相等。
（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（二）尝试体验
1.计算：
2. 计算：
3. 简算：
（1） （2）
（3） （4）
4. 一个分数约分后等于，如果原分数的分子比分母小36，求原来的分数。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1.计算：
2. 计算：
3. 简算：
（1） （2）
（3） （4）
4. 一个分数约分后等于，如果原分数的分子比分母小36，求原来的分数。
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