金华十校高中新课程资源库（内部交流） 数学必修（5）同步练习
第一章 解三角形
§1.2.2解三角形应用举例
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ）
A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°
2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ）
?A. B. 米 C. 200米? D. 200米
3.在ABC中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则ABC一定是…………………………………….( )
A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形.
4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为……………….( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
5.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为…………………………………..( )
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
6.在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ）
A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数不能确定
填空题
7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是
8. 我舰在敌岛A南50°西相距12nmile?的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为
9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.
10．.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.
解答题
11．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度
12.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短 并求其最短距离.（不要求作近似计算）
13.海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°，
（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？
（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？
1．2．2解三角形应用举例参考答案
一、选择题
1．B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C
二、填空题
7. 20米，米 8. 14nmile/h 9. 与水速成135°角的方向 10. 20（1+）m
三、解答题
13.解：在△ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30
由正弦定理： ∴BC = 200sin15
在△DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +
由正弦定理：cos = ,∴ = 4294
14.解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.
则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=，b=，ab=·==
==≥，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥=400（+1）2，
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.
所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.
15. 解:（1）如图，，
∴船的速度
（2）设船到达的正西位置为D（x，0），
∵B的坐标为
而C的坐标为
∵B、C、D三点共线，
，
该船在上午11时15分到达正西方向；
（3）作OE⊥BC于E，则E点到A的距离最近，
船在上午11时分时到A的距离最近.金华十校高中新课程资源库（内部交流） 数学必修（5）同步练习
第一章 解三角形
§1.1.2正弦定理和余弦定理
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1．在△ABC中，已知b＝4，c＝2，∠A＝120°，则a等于……………….( )
A．2 B．6 C．2或6 D．2
2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…( )
A．135° B．90° C．120° D．150°
4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….( )
A．90° B．120° C．60° D．120°或60°
5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...( )
A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)
B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)
C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC
D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sinBsinCcos(A＋B)
6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为……………………( )
A．79 B．69 C．5 D．-5
二、填空题
7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是________．
9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＝________．
10*．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
三、解答题
11．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
12．在△ABC中，cos2，c＝5，求△ABC的内切圆半径．
13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．
14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．
§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案
一、选择题
A D C D D D
二、填空题
7． 8．- 9．1 10．4或5
三、解答题
11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49．
∴ b＝7，
S△＝acsinB＝×3×2×＝．
12．解：∵ c＝5，，∴ b＝4
又cos2 ∴ cosA＝ 又cosA＝
∴ ∴ b2＋c2-a2＝2b2∴ a2＋b2＝c2
∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝＝3
∴ △ABC的内切圆半径r＝(b＋a-c)＝1．
13．解：∵ S＝a2-(b-c)2 又S＝bcsinA∴ bcsinA＝a2-(b-c)2
∴ (4-sinA)∴ cosA＝(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)
∴ 2sin∴ tan∴ sinA＝
∴ c＝b＝4时，S最大为
14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0
由上述两式相加，相减可得
c＝(a2＋3)，b＝(a-3)(a＋1)
∴ c-b＝(a＋3)
∵ a＋3＞0，∴ c＞b
c-a＝(a2＋3)-a＝(a2-4a＋3)＝(a-3)(a-1)
∵ b＝(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3
∴ (a-3)(a-1)＞0
∴ c＞a
∴ c边最大，C为最大角
∴ cosC＝
∴ △ABC的最大角C为120°金华十校高中新课程资源库（内部交流） 数学必修（5）同步练习
第一章 解三角形
§1.2.1解三角形应用举例
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为………………………………………………( )
A.直角三角形? B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
2.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是……………………………………………………….( )
A.10海里 B.海里 C. 5海里? D.5海里
3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( )
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
4. .已知平行四边形满足条件，则该四边形是………( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形
5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( )
A.5海里? B.5海里 C.10海里? D.10海里
6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( )
A. B. C. D. 不能确定大小
填空题
7.一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为
8.为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为.试计算东方明珠塔的高度 （精确到1m）.
9.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是
10．一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
解答题
11．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？
12.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）
13.某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A城？
1.2.1解三角形应用举例参考答案
一、选择题
1．A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C
二、填空题
7. 8.468m 9. 小时 10.
三、解答题
11.不能
12. 解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠ECW=1800－150°=30°，∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.
∴四边形CEWF为矩形.∴||=||cos30°=10·=5，
｜｜=||cos60°=10×=5.∴A处受力为5 N，B处受力为5 N.
13. 解:设AD=x，AC=y，
①
而在△ABC中，
即 ②
②—①得，代入①得
得，即此人还需走15km才能到达A城.
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3金华十校高中新课程资源库（内部交流） 数学必修（5）同步练习
第一章 解三角形
§1.1.1正弦定理和余弦定理
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于……………………....( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..( )
A．9 B．18 C．9 D．18
3．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于………………………..( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..( )
A．(2，＋∞) ] B．(-∞，0) C．(-，0) D．(，＋∞)
5． 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( )
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝6，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
* 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于….( )
A．3 B． C． D．
二、填空题
7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________．
8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．
9．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则∠A＝________．
10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．
三、解答题
11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．
(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．
(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．
12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4∶，求a，b，c．
13．在△ABC中，求证．
14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．
§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案
一、选择题
D C A D C B
二、填空题
7．2或 8． 2 9． 60°或120° 10．
三、解答题
11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-a S＝absinC
＝a(16-a)sin60°＝(16a-a2)＝-(a-8)2＋16（0＜a＜16)
(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值16．
12．解：∵ sinC∶sinA＝4∶∴ c∶a＝4∶
设c＝4k，a＝k，则
由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0 ③
解得k＝或k＝1，∵ k＝时b＜0，故舍去．
∴ k＝1，此时a＝，b＝，c＝4．
13．证明：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB
14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得
∵ A≤B
∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°
∵ 正弦函数在(0，)上是增函数，
∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0
∴ ≥＝2cosA
∴ ≥2cosA
∵ 2A≤60°
∴ 0°＜A≤30°
∴ cosA≥cos30°＝
∴ ≥2·
∴ ≥
∴ 最长边与最短边之比不小于
