《奥林匹克》学习指导
（一）典型指导：
例1. 下面的三个数的平均数是170，问方格内的数字是多少？
□，□9，□26
分析与解：已知这三个数的平均数是170，可求出这三个数之和是：
思路一：已知的“9”在个位表示9，已知的“2、6”表示26。
这475表示未知三个数字之和，它是由4个百、7个十和5个一组成，
所以这三个数分别是 5 ， 7 9， 4 26 。
思路二；列成竖式形式，转化成数字谜问题，很容易找到答案。
９
＋ ２６
５１０
例2. 下面图形的周长是（ ）厘米。
分析与解：本图的周长是指围成该图形的各条线段之和，经过平移线段，可以转化成正方形，要求这个图形的周长就是求转化后这个正方形的周长。
（厘米）
答：这个图形的周长是40厘米。
例3. 日历上有这样一个月份，它的三个星期日的日期都是质数，问这个月的1号是星期几？
分析与解：质数（除2以外）都是奇数，所有的偶数（除2外）都不可能是质数；另外相邻两个星期日的日期相差7；在一个月中最少有4个星期日，最多有5个星期日，根据以上分析，我们可以假设这个月几个周日的日期分别是：
相邻两个周日的日期不可能都是质数。
所以三个质数一定是和，是质数但又不能大于3，所以可能是2或3，当是2时，和不是质数，所以只能是3，那么这三个周日的日期分别是3日、17日和31日。
既然本月3日是星期日，可以逆推出本月1日是星期五。
例4. 某班学生不足50人，在一次测验中有得优，得良，及格，该班有多少人不及格？
分析与解：计算“人数”问题有一个特点：那就是所求出的人数肯定是整数。本班有得优，说明该班人数肯定是7的倍数，同理该班人数也肯定是3的倍数和2的倍数，所以全班人数就是2、3和7的公倍数，又知全班学生不足50人，因此全班共有学生（人）
（人）
答：该班有1人不及格。
例5. 如图，正三角形的边长等于圆的周长，固定三角形，将圆在三角形外沿沿正三角形的边滚动，当圆滚回原处时，它转了几圈？
分析与解：圆在三角形的边上滚动，滚过一条边需转一周，滚过三条边需转3圈，但圆从这条边的终点滚至另一条边起点时，还要旋转，三个角一共旋转3个，即，也就是一圈，所以当圆滚回原处时，它转了4圈。
例6. 学校组织到一家景泰蓝厂参观，工人师傅正在给一个圆柱形的制品嵌金线，工人师傅给小刚提了一个问题：要将金线的起点固定在A点，绕圆柱的侧面绕一周后终点为B，沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
分析与解：要想使金线的用量最少，就是要使金线最短，从A点绕圆柱侧面一周回到B地，路线很多，怎样找出最短的路线呢？我们可以这样想：
把圆柱的侧面展开，转化成一个平面，如下图，也就是从A点到B点连一条金线，“平面上，两点间的直线距离最短”因此我们只要在A和B之间连一条线段即可，这样再还原成圆柱，路线也就确定了。
此题我们运用了转化的思想，把曲面问题转化成直线来解决。
（二）尝试练习：（答题时间：60分钟）
1. 下图中，（ ）图周长最长，（ ）图面积最大。
2. 用一幅学生通用的三角板中的角，能画出多少种大于而小于的角？
3. 小明的爷爷62岁了，可是只过了15次生日，（ ）月（ ）日是他的生日？
4. 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少？
□ □
＋□□
１４９
5. 已知除法竖式：
□□
７□□ ８□□□
□ □□
□□□□
□□□□
０
那么，商是_______。
6. 一个等腰直角三角形的斜边长是6厘米，这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？
6厘米
7. △÷□=6 △+□=147，那么△－□=？
8.
9. 甲乙两数之和是216，甲数的2倍与乙数的3倍之和是511，甲数是（ ），乙数是（ ）。
10. 一根竹笋从发芽到长大，若每天长高1倍，经过10天长到4分米，那么当长到2.5厘米时经过了多少天？
11. 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，甲班和丁班共多少人？
12.
要使这个连乘积的最后四个数字是0，在括号内最小填多少？
13. 有5筐水果，分别装有14千克、26千克、22千克、15千克、32千克，其中两筐苹果的重量是两筐梨的重量的2倍，剩下的一筐是柿子，则这筐柿子是多少千克？
14. 把一个图形纸片沿着它的半径平均分成若干份以后剪开，用它们拼成一个面积不变的近似的长方形。这个长方形的周长是16.56厘米，长方形的宽与圆形纸片的半径相等。这个图形纸片的面积是多少平方厘米？
15. 甲、乙、丙、丁合作一批零件，甲做的件数是其他三人工作量的一半，乙做的数量是其他三人工作量的，丙做的是其他三人的，丁做了390个，求这批零件有多少个？
16. 把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
请做完之后再看答案!
【试题答案】
（二）尝试练习：
1. 下图中，（（2））图周长最长，（（1））图面积最大。
2. 用一幅学生通用的三角板中的角，能画出多少种大于而小于的角？
凡是的倍数都可以画出，所以一共有11种。
3. 小明的爷爷62岁了，可是只过了15次生日，（2）月（29）日是他的生日？
4. 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少？
□ □
＋□□
１４９
个位两数字之和一定是9，十位两数字之和一定是14，所以四个数字的总和是。
5. 已知除法竖式：
□□
７□□ ８□□□
□ □□
□□□□
□□□□
０
那么，商是12。
6. 一个等腰直角三角形的斜边长是6厘米，这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？
6厘米
6厘米
（平方厘米）
7. △÷□=6 △+□=147，那么△－□=？
8.
9. 甲乙两数之和是216，甲数的2倍与乙数的3倍之和是511，甲数是（137），乙数是（79）。
10. 一根竹笋从发芽到长大，若每天长高1倍，经过10天长到4分米，那么当长到2.5厘米时经过了多少天？
运用逆推法可知：
长到2.5厘米时经过了6天。
11. 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，甲班和丁班共多少人？
12.
要使这个连乘积的最后四个数字是0，在括号内最小填多少？
填20。
13. 有5筐水果，分别装有14千克、26千克、22千克、15千克、32千克，其中两筐苹果的重量是两筐梨的重量的2倍，剩下的一筐是柿子，则这筐柿子是多少千克？
22千克。
14. 把一个图形纸片沿着它的半径平均分成若干份以后剪开，用它们拼成一个面积不变的近似的长方形。这个长方形的周长是16.56厘米，长方形的宽与圆形纸片的半径相等。这个图形纸片的面积是多少平方厘米？
（厘米）
（平方厘米）
15. 甲、乙、丙、丁合作一批零件，甲做的件数是其他三人工作量的一半，乙做的数量是其他三人工作量的，丙做的是其他三人的，丁做了390个，求这批零件有多少个？
（个）
16. 把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
（厘米）
（立方厘米）
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6最大公约数（二）
在这一讲中，我们一起继续研究有关于“最大公约数”的知识。
（一）阅读思考
1. 最大公约数的性质：
（1）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数，即：
如果，那么。
（2）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的，即：
如果，那么。
2. 例题：
例1. 今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同，那么最多可以分________堆。（第二届“迎春杯数学竞赛决赛试题”）
分析与解答：
要想使每堆中这三种课本的数量分别相等，那么分的堆数就必须是这三种书本数的公约数。要求最多分几堆，也就是在求这三种书本数的最大公约数是多少？
求42、112和70的最大公约数。
２ ４２ １１２ ７０
７ ２１ ５６ ３５
３ ８ ５
所以（42，112，70）＝2×7＝14
答：最多可以分14堆。
例2. 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是________。（第七届迎春杯竞赛试题1991年）
分析：
要求这两个数的差，就要知道这两个数分别是多少。
我们设第一个数是5的a倍，那它就是5a；
设第二个数是5的b倍，它就是5b。
根据最大公约数的第二个性质，我们可以知道：a和b互质。
那么：
a和b可能是1和9或3和7。
当a和b是1和9时，这两个数是5和45，它们的差是
当a和b是3和7时，这两个数是15和35，差是
答：这两个数的差是20或40。
例3. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个自然数。
分析：
这两个数积是5766，如果把5766分解质因数，就应该包括这两个数的所有质因数。
去掉两个最大公约数31（因为这两个数都有31这个质因数），剩下的2和3就是这两个数各自独有的质因数。那么，这两个数就应该分别是和。
（二）尝试体验（答题时间：30分钟）
1. 求83613和121824的最大公约数。
2. 老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到笔记本、铅笔、橡皮的数量相等。那么每个同学各拿到多少？
3. 两个合数的积是7581，它们的最大公约数是19。那么这两个数是多少？
4. 一个自然数去除300，262，205时，得到相同的余数。求这个自然数。
5. 现在有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能的大，那么这4个数的公约数最大是多少？
请做完之后再看答案!
【试题答案】
（二）尝试体验
1. 求83613和121824的最大公约数。
最大公约数是141
2. 老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到笔记本、铅笔、橡皮的数量相等。那么每个同学各拿到多少？
7个笔记本，5支铅笔，2块橡皮
3. 两个合数的积是7581，它们的最大公约数是19。那么这两个数是多少？
57、133
4. 一个自然数去除300，262，205时，得到相同的余数。求这个自然数。
19
5. 现在有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能的大，那么这4个数的公约数最大是多少？
101，202，303，505
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3抽屉原则（一）
抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理。
抽屉原理（一）：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中含有至少两个元素。
抽屉原理（二）：把多于个元素放到个抽屉中，那么一定有一个抽屉里有或者个以上的元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
【典型例题】
例1. 求证：1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
分析与解：1997年1月份共31天，为了回答上述问题，我们不妨设1月份这31天为31个抽屉，而将1月份出生的任意32个孩子看成32个元素。根据抽屉原理（一）知，有一个抽屉里至少放入两个元素，也就是说，1月份出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
例2. 能否在8行8列的方格表（如下图）的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。
A D
B C
分析与解：图中8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条线上都填有8个数字，要使各条“线”上数字和均不相同，那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。
如果某一条“线”上的8个数字都填最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填最大的数3，那么可得到数字和的最大值是24，由于数字及数字和均为整数，所以8到24共有17种不同的值。
我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。根据抽屉原理（一），将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入至少两个元素，即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各个数字和互不相同。
例3. 求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数使得恰是105的倍数。
分析与解：，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如，使得是7的倍数，同理是5的倍数，是3的倍数，题目即得证。
根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数。假设这两个数为，使得。
在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为，则有
在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为，则有
所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数，使得是105的倍数。
例4. 在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意点了10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于。
证明：如图，等边三角形ABC三边中点为D、E、F，DE、EF、FD把边长为1的三角形分成了四个边长为的正三角形。把10个点放在四个抽屉中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于。
C
F E
A D B
例5. 一个口袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
分析与解：四种不同色球，每次摸出两个，有多少种不同情况呢？
分两种情况考虑：
（1）当摸出的两个球颜色相同时，有四种不同的结果。
（2）当摸出的两个球不同色时，有：
（种）
将上述的10种结果作为10个抽屉。
因为要求至少10次摸出的结果相同，依据抽屉原理（二），至少要摸（次）。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。
2. 证明从1、3、5、……29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。
3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？
4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？
5. 对于任意11个整数，证明其中一定有6个数，它们之和能被6整除。
6. 要保证在边长为1的正六边形中必有两点，使这两点间的距离小于，那么至少要放置多少个点？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 某班40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，求证：其中必有两个同学是同年同月出生的。
11岁～13岁一共（个月）
根据抽屉原理（一）知：36个月相当于“抽屉”，40个同学相当于“元素”，其中必有两个同学是同年同月出生的。
2. 证明从1、3、5、……29这前15个奇自然数中，任取9个数，其中必有两个数之和是32。
把这15个奇自然数分类（八组）
（3，29）、（5，27）、（7，25）、（9，23）、（11，21）、（13，19）、（15，17）、（1）
从中取出9个数，必会从同一组中取出2个数，那么一定会有2个数之和是32。
3. 某班有41名学生，班里要建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问：小书库中至少要有多少本书，才能保证有一个同学一次至少能借到两本书？
将41名学生看作41个抽屉，而将书看作元素，根据抽屉原理，元素的数目要比抽屉的数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的元素，所以小书库中至少要有42本书。
4. 布袋中有60个形状、大小相同的木块，每6块编上相同的号码，问：一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块的号码相同？
布袋中有60块木块，每6块编上相同的号码，所以共有10种编号的方法，我们将编号相同的木块看作一类，又将这十类看作10个抽屉，要保证其中一个抽屉至少有三个元素，即至少需个元素。
5. 对于任意11个整数，证明其中一定有6个数，它们之和能被6整除。
设11个整数分别为，因为
（1）从11个整数中一定能找到三个数之和是3的倍数，即，不妨设
从剩下8个整数中一定能再找到三个数之和是3的倍数，即，不妨设.
从剩下5个整数中也一定能再找到三个数之和是3的倍数，即，不妨设.
（2）都是3的倍数，一定会找到两个同奇或同偶，这两个数假设是和，则有，既是3的倍数，又是2的倍数，则一定是6的倍数，所以，也就证明了任意11个整数中，一定存在6个数之和是6的倍数。
6. 要保证在边长为1的正六边形中必有两点，使这两点间的距离小于，那么至少要放置多少个点？
如图，将正六边形如下分割成24块，每块中任两点间的距离均小于，所以，至少要放置25个点。
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5数阵图（二）
上一讲我们介绍了封闭型数阵图和它的填法。同学们切记，填数阵图时一定不能乱填乱试，急于求成，而应认真分析研究数阵图的内在规律，按步骤求解。这一讲我们向同学们介绍辐射型数阵图。辐射型数阵图的填法和封闭型数阵图的填法相比，有共同之处，也有不同的地方。下面结合实例来说明。
（一）指导探索
例1. 把1—7这七个数分别填入图1中的各○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
分析与解：
这七个○内的数中，中心数最特殊，在计算每条线段上三个数的和的过程中，都要用到中心数。另外，还要知道每条线段上三个数的和是几。所以确定中心数和每条线段上三个数的和是解决这个问题的关键。为此设图中的中心数是a，每条线段上三个○内数的和为k，如图2。
由图2可看出：
由于k是整数，所以所得的商必是整数，也就是说是3的整数倍。经试验，1—7中只有a是1、4、7时，满足的商是整数。
当时，由得：，这样可以得到一个基本解，如图。
当时，，这样可得到一个基本解，如图。
当时，得，又可得到一个基本解，如图。
观察例1，它是从一个中心出发，向外作了一些射线，所以把它叫做辐射型数阵图。又由于这个辐射型数阵图向外作了三条射线，每条射线上有三个○，所以又称它为辐射型三三图。
通过例1的讲解我们看到，填辐射型数阵图的关键是确定中心数a与每条线段上几个○内数的和k，解题的主要步骤是：
（1）找出a与k的关系式；
（2）通过a、k关系式中余数的讨论，确定中心数a的值；
（3）根据a的值，利用a、k的关系式求出k的值，然后试验求解。
例2. 把1—8这八个数，分别填入图4中的各□内，使每一横行、每一竖行相邻三个□内的数字和相等。
分析与解：
设中心数为a，每行相邻三个数的和为k
因为k是整数，所以a必须被3整除，在1—8中只有3和6能被3整除，所以中心数或6。
当时，，可得到一个基本解。（图5）
当时，，又可得到一个基本解。（图6）
练一练：
把1—14这14个数中，分别填入图7中的方格内（每个数必须且只须用一次），使“＋－”三笔中五个方格内数的和都相等。
这个题有三个基本解，看谁能先找出来。
例3. 将1—16这16个数分别填入图8的16个○内，使每条线段上四个○内数的和相等，两个八边形八个顶点上○内数的和也相等。
分析与解：
观察图8可以看出这个数阵既有封闭型的特点，又有辐射型特点，所以这种数阵图叫做复合型数阵图。
（1）由于要求两个八边形八个顶点上○内数的和相等，所以每个八边形八个顶点上○内数的和应该是。
由于，这八个数的和小于68，所以1，2，3，……7，8这八个数不能在同一个八边形的八个顶点上，由于，这八个数的和又超过了68，所以9，10，11，……15，16，也不能在同一个八边形的八个顶点上。
（2）由于每条线段上四个○内数的和都相等，所以每条线段上四个○内数的和应该是。
因为；；，所以1～4，5～8，9～12，13～16中的每四个数都不能在同一条线段上。
（3）由于每条线段上四个数的和34是个偶数，所以每条线段上四个数中奇数的个数一定是双数。同样，每个八边形的八个顶点上数的和也是偶数，因此每个八边形八个顶点上的数中奇数的个数也是双数。
（4）每条线段上四个数的和的一半是，这就是说，一个奇数与一个偶数一定要组成17，搭配的方法有：
根据以上分析，我们采用试验的方法，便可得到一个解。如图9：
二. 尝试练习。（答题时间：30分钟）
1. 将1～10这10个数分别填入图10的○内，使每条线段上四个○内数的和都相等。
2. 将1～11这11个数分别填入图11中的方格内，每个数只许用一次，使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
3. 将1～11这11个数分别填入图12中的○内，使每条线段上三个○内数的和都相等。
4. 把1～8这8个数，填入图13中的八个○内，使每条线段上的四个数的和，与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
请做完之后再看答案!
【试题答案】
二. 尝试练习。
1. 将1～10这10个数分别填入图10的○内，使每条线段上四个○内数的和都相等。
设图的中心数为a，每条边上四个数的和为k
因为k是整数，所以a只能是1，4，7，10。
当a=1时，，可得到一个基本解（如图14）。
其余解略。
2. 将1～11这11个数分别填入图11中的方格内，每个数只许用一次，使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
设中心数为a，每相邻两个或三个方格内数的和为k
k是整数，a可能是4或9。
当时，
当时，
可得到两个基本解，见下图。
3. 将1～11这11个数分别填入图12中的○内，使每条线段上三个○内数的和都相等。
设中心数为a，每条线段上三个○内数的和为k。
因为k为整数，所以a可能是1，6或11。
当时，，得到一个基本解，其余解略。（见图15）
4. 把1～8这8个数，填入图13中的八个○内，使每条线段上的四个数的和，与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
（1）每个四边形四个顶点上○内数的和应为
（2）每条线段上四个○内数的和应为
（3）因为18是个偶数，所以每个四边形四个顶点○内的奇、偶数各占二个，每条线段上四个○内的奇、偶数也各占二个。
（4）每条线段上四个○内数的和的一半是，这就是说一个奇数与一个偶数的和一定是9，这样的搭配方法有：
根据以上分析，经试验可得一个基本解。如图16：
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8数阵图（一）
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙，我们想向大家介绍三种形式的数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
【典型例题】
例1 把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个 ○内，使每条边上三个 ○内数的和相等。
分析与解：同学们可能很快就能找到一个答案，但可以告诉大家，这个题一共有24个答案，你能找出全部答案吗？可能有的同学会感到困难，所以不能凭猜测、凭试数找出答案，而应认真分析题目的特点，找出它的解法，从而找出全部答案。
图 1
在这六个 ○内的数中，三个顶点上的数在求和过程中重复加了2次，只要确定这三个数，并且知道每边上三个数的和是几，那么另外的三个数就容易确定了，所以三个顶点上的数以及每条边上三个数的“和”是关键。我们不妨设三个顶点上的数分别为a、b、c，并假设每条边上三个 ○内数的和为k。
如果我们能求出a、b、c、k四个字母的数值，那么问题就解决了。为此，我们按下面三个步骤求值：
1. 找出a、b、c与k之间的关系
3k =（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）+（a + b + c）
3k = 21 + a + b + c
k = （21 + a + b + c）÷3
a + b + c = 3k—21
2. 利用k =（21 + a + b + c）÷3，求k的值：
由k =（21 + a + b + c）÷3可以看出，当a + b + c取最大值时，k也得到最大值，当a + b + c取最小值时，k也得到最小值。a + b + c的最大值是15，最小值是6，所以k的最大值是（21 + 15）÷3 = 12，k最小值是（21 + 6）÷3 = 9，因此k的值可能是9、10、11、12。
3. 利用a + b + c = 3k—21，求出a、b、c的值。
（1）当k = 9时，a + b + c = 6，那么a、b、c的值有以下六种情况：
① a = 1, b = 2, c = 3 ② a = 1, b = 3, c = 2
③ a = 2, b = 1, c = 3 ④ a = 2, b = 3, c = 1
⑤ a = 3, b = 1, c = 2 ⑥ a = 3, b = 2, c = 1
对于上述六种情况来说，三角形三个顶点上：数确定了，和已经确定了（9），那么中间的三个数就可以求出来了。看来只要求出第1个解，把其中的数左右旋转或适当调换，就可以得到其余的五个解，因此把第一个解叫做基本解。
（2）当k是10时，a + b + c = 9，下面试验示解
① 如果a = 1, b = 2, c = 6无解（出现2的重复）
② 如果a = 1, b = 3, c = 5时，可以得到一个基本解，进而产生6个解
③ 如果a = 2, b = 3, c = 4无解（出现3的重复）
（3）当k = 11、12时，采用上面的方法还可以找到两个基本解
所以，这个题有四个基本解，由于每一个基本解又可以得到六个解，因此这个题共有24个解。不过，在以后解这种题时只求出基本解就可以了。
例1这种类型的数学问题就是数阵图，由于例1的数阵图中各条边是互相连接的，所以这种数阵图叫做封闭型数阵图，又由于例1的数阵图中只有三条边，每条边上只填三个数，因此，我们把它叫做封闭型三三图。
例2 把1—8这8个数，分别填在图2中的八个 ○内，使每条边上三个 ○内数的和相等。
图 2
分析与解：这个题就是填封闭型四三图。显然填封闭型四三图的关键是确定四个顶点上的数，以及每条边上三个数的和，我们假设它们分别为a，b，c，d，k。
4k =（1 + 2 + 3 + …… + 8）+（a + b + c + d）
4k = 36 + a + b + c + d
k =（36 + a + b + c + d）÷4
a + b + c + d = 4k—36
当a + b + c + d取最小值10时，k =（36 + 10）÷4 = 11. 5，当a + b + c + d取最大值26时，k =（36 + 26）÷4 = 15. 5，因为k是整数，所以k的值可能是12，13，14，15。
下面根据k的值，用试验的方法确定a、b、c、d的值。
（1）当k = 12时，a + b + c + d = 4×12—36 = 12。
因为1 + 2 + 3 + 6 = 12，经试验知：当a = 1, b = 3, c = 2, d = 6时，可得到一个基本解
又因为1 + 2 + 4 + 5 = 12，经试验知：无论怎样编排a、b、c、d的数值，都无解。
（2）当k = 13、14、15时，采用同样的方法进行试验，即可求出其它的基本解，这里不再一一列出了。
例3 10月1日是国庆节，图3是“10. 1”两个数，请把1～18这18个数填入图中的18个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和都相等。
图 3
分析与解：在填这个封闭型数阵的过程中，显然，中间的“0”的四个顶点上的数与每个笔划上所填数的和是关键，故设四个顶点上的数分别是a、b、c、d，每个笔划上所填数的和都是k,（如图4）
a d
b c
图 4
可以看出：
6k =（1 + 2 + 3 + … … + 18）+（a + b + c + d）
6k = 171 + a + b + c + d
k = （171 + a + b + c + d）÷6
a + b + c + d = 6k—171
当a + b + c +d 取最小值10时，k = （171 + 10）÷6 = 30. 16，所以k的最小值是31，当a + b + c + d取最大值66时，k =（171 + 66）÷6 = 39. 5，所以k的最大值是39。因此k = 31, 32, 33, 34, … … 38, 39。
下面试验求解：
（1）当k = 34时，得a + b + c + d = 6×34—171 = 33
因为6 + 8 + 9 + 10 = 33，经试验可知，当a = 6, b = 8, c = 9, d = 10时，可得到一个基本解（如图5）。
1 6 18 10 3
7 16 13 5
12 4 2 11
14 8 17 9 15
1 5 14 16 2
10 9 3 7
11 15 4 8
13 6 12 18
图 5 图6
（2）当k = 35时，由a + b + c + d = 6k—171得
a + b + c + d = 6×35—171 = 39
因为5 + 6 + 12 + 16 = 39，经试验可知，当a = 5, b = 6, c = 12, d = 16时，可得到一个基本解
此题有很多解，我们只写两个，其余的同学们自己求。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 把1～9这九个数，分别填在图7中三角形三条边上的九个 ○内，使每条边上的 ○内数的和相等，求出两个基本解。
图 7
2. 把1～12这12个数，分别填在图8中正方形四条边上的十二个 ○内，并使五条边上的四个 ○内数的和相等，求出一个基本解。
图 8
3. 把1～10这十个数，分别填在图9中五边形五条边上的十个 ○内，并使五条边上的三个 ○内数的和相等，求出一个基本解。
图 9 图 10
4. 将1～8这八个数，分别填入图10中两个圆圈的八个 ○内，使每个圆圈上五个 ○内数的和分别为20、21、22。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 把1～9这九个数，分别填在图7中三角形三条边上的九个 ○内，使每条边上的 ○内数的和相等，求出两个基本解。
设三个顶点上的数分别为a、b、c，每边上三个 ○内数的和是k。
3k =（1 + 2 + 3 + … … + 9）+（a + b + c）
3k = 45 + a + b + c
k =（45 + a + b + c）÷3 ①
a + b + c = 3k—45 ②
在①式中，a + b + c的最小值是6，最大值是24，由此可知k的最小值是（45 + 6）÷3 = 17，k的最大值是（45 + 24）÷3 = 23，所以k可能是17、18、19、20、21、22、23。
（1）当k = 17时，由②式知a + b + c = 6，经试验可得：a = 1, b = 2, c = 3时，可得到一个基本解，如图11。
（2）当k = 21时，得a + b + c = 3×21—45 = 18，经试验可知a = 3, b = 7, c = 8时，又可得到一个基本解，如图12。
1
8 4
6 9
2 5 7 3
3
9 6
2 4
7 5 1 8
图 11 图 12
2. 把1～12这12个数，分别填在图8中正方形四条边上的十二个 ○内，并使四条边上的四个 ○内数的和相等，求出一个基本解。
设四个顶点上的数分别为a、b、c、d。每条边上四个数的和是k。
4k =（1 + 2 + 3 + … … + 12）+（a + b + c + d）
4k = 78 + a + b + c + d
k =（78 + a + b + c + d）÷4
a + b + c + d = 4k—78
已知a + b + c + d的最小值是10，最大值是42，所以k的最小值是22，最大值是30，所以k的值可能是22，23，24… …30。
当k = 30时，a + b + c + d = 42，经试验可知：a = 9, b = 10, c = 12, d = 12, 可得到一个基本解，如图13。其它解略。
9 5 6 10
2 1
8 7
11 3 4 12
图 13
3. 把1～10这十个数，分别填在图9中五边形五条边上的十个 ○内，并使五条边上的三个 ○内数的和相等，求出一个基本解。
解：设五边形五个顶点○内的数分别为a、b、c、d、e。每条边上三个数的和为k。
5k = （1+2+3+… …+10）+（a+b+c+d+e）
5k=55+a+b+c+d+e
k=（55+a+b+c+d+e）÷5
a+b+c+d+e=5k—55
已知a+b+c+d+e的最小值是1+2+3+4+5=15，最大值是6+7+8+9+10=40，这样求出k的最小值是14，最大值是19，所以k的值可能是15、16、17、18、19。
当k=19时，a+b+c+d+e=40，经试验可知：a=6，b=9，c=7，d=10，e=8，可得到一个基本解，其它解略。（见图14）
6
5 4
8 9
1 3
10 2 7
图 14
4. 将1～8这八个数，分别填入图10中两个圆圈的八个 ○内，使每个圆圈上五个 ○内数的和分别为20、21、22。
解：设中间两个○内的数分别是a、b，并设每个大圆圈上五个○内数的和为k。
2k=（1+2+3+… …+8）+（a+b ） 2k=36+a+b k=（36+a+b）÷2
a+b=2k—36
a+b的最小值是3，最大值是15，得出k的最小值是20，最大值是25，所以k可能是20、21、22、23、24、25。见下图15。
图 15
当k=20时，a+b=4，当a=1，b=3时，可得到一个基本解
当k=21时，a+b=6，当a=2，b=4时，可得到一个基本解
当k=22时，a+b=8，当a=1，b=7时，可得到一个基本解
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