裂项法（二）
前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】
例1.
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。
当时，有
当时，有
当时，有
……
当时，有
当时，有
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
因为，……，，
所以
例2.
因为
所以
同样可得
一般地，因为
这里是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
例3. 计算：
分析与解：
而
即
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
5裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考
例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算：
分析与解答：
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：
公式的变式
当分别取1，2，3，……，100时，就有
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即
另外一种方法
设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即
上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
还有别的解法。
6积、商的变化规律
同学们好，在上一讲我们研究了和、差的变化规律，今天这一讲我们来研究，积、商的变化规律。请同学们填出下表，说出什么发生了变化，积、商有没有发生变化，如果有变化是怎样变的，你能从中得出什么结论吗？
3. 在乘法中
被乘数 乘数 积 与原积比较
原式 8 6 48
与 6（不变） 96 扩大2倍
原 6（不变） （ ） _________
式 8（不变） （ ） _________
比 8（不变） （ ） _________
较 （ ） _________
（ ） _________
规律：两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数不变，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数不变，乘数乘以（或除以）一个不为0的数，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数同时除以（或乘以）同一个数，积不变。
4. 在除法中
被除数 除数 商 与原商比较
原式 12 6 2
与 6（不变） 4 扩大2倍
原 6（不变） （ ） _________
式 12（不变） （ ） _________
比 12（不变） （ ） _________
较 （ ） _________
（ ） _________
规律：在除法里被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数不变，商也乘以（或除以）同一个数。
被除数不变，除数乘以（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘以）同一个数。
被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数同时乘以（或除以）相同的一个数，商不变。
例1.
分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。
例2.
例3.
分析与解答：根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以或除以一个数（不为0）商不变的规律，可以使2250×8，使125×8，转化为18000÷1000，这样就能很快算出结果是18。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
（一）尝试体验
1. 填一填
完成上面两组题后，每组后面的4个题与第一算式比较各部分是怎样变化的，才保证了使它们的和、差、积、商没发生变化？
2. 利用积、商变化规律，计算下面各题。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3. 判断下面各题做得对吗？
（1）
（ ）
（2）
（ ）
（3）
（ ）
（4）
（ ）
（二）拓展提高
1. 用简便方法计算下面各题。
（1） （2）
（3） （4）
2. △和□分别代表被除数和除数，请你根据下面的两个算式，求出△和□各是多少？
△÷□＝12……15
△＋□＝353
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（一）尝试体验
1. 填一填
完成上面两组题后，每组后面的4个题与第一算式比较各部分是怎样变化的，才保证了使它们的和、差、积、商没发生变化？
2. 利用积、商变化规律，计算下面各题。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3. 判断下面各题做得对吗？
（1）
（√）
（2）
（×）
（3）
（√）
（4）
（×）
（二）拓展提高
1. 用简便方法计算下面各题。
（1）
（2）
（3）
（4）
2. △和□分别代表被除数和除数，请你根据下面的两个算式，求出△和□各是多少？
△÷□＝12……15
△＋□＝353
□＝26
△＝353－26
△＝327
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6容斥原理（二）
【例题分析】
例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？
分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
（人）
答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：根据题意画图。
方法一：（人）
方法二：（人）
答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
（人）
答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：
整理后得：
由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？
分析与解：根据题意画图。
设三科都得满分者为x
全班人数
整理后：全班人数＝39＋x
39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即且，由此我们得到。另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）
姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积
小明 14 12 8 4 38
小龙 20 12 8 4 44
他们住的一套房子共有多少平方米？
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
答：两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）
姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积
小明 14 12 8 4 38
小龙 20 12 8 4 44
他们住的一套房子共有多少平方米？
答：这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
设三年连续三好生人数为x人
全班人数
……
全班人数
x最大是3，最小是0
所以这个班最多有名同学，最少有38名同学。
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4包含与排除（二）
在日常生活中，我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑，并且给它一个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜；苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：
（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集（又叫A与B的和）。记作，记号“”读作“并”，读作“A并B”。
（2）A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们所组成的集合叫做A和B的交集，记作“”，记号“”读作“交”，读作“A交B”。
下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。
（一）典型例题
例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有16人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？
分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|，参加作文小组的可以看成是集合|B|，两组都参加的可以看成，问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人，也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起，即
（人）
根据上面列式，我们可以得出：
答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。
例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。
分析与解：
（1）1～20的自然数中2的倍数用集合A表示
A={2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}
|A|=10
（2）1～20的自然数中3的倍数用集合B表示
B={3，6，9，12，15，18}
|B|=6
（3）既是2的倍数又是3的倍数，也就是
（4）
答：1～20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。
例3. 四年级有学生75人，在一次校田径运动会中，参加田赛的有35人，参加径赛的有29人，既参加田赛又参加径赛的有6人，问两项都未参加的有多少人？
分析与解：如图，要求两项都未参加的，要先求出至少参加一项的有多少人，从全年级中除去至少参加一项的就是所求。
田 6 径
35人 人 29
？人
75人
|A|表示田赛人数，|B|表示径赛人数
=58（人）
75－58＝17（人）
答：两项都未参加的有17人。
例4. 40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都没答对的有4人，则两题都答对的有多少人？
分析与解：如下图，要求出两题都答对的人数，要先求出至少答对一题的有多少人。
30人
？ 21人
4人
40人
答对第一题的人数用|A|表示
答对第二题的人数用|B|表示
（人）
=15（人）
答：两题都答对的有15人。
例5. 某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打蓝球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？
分析与解：根据题意，可画集合图如下：
篮 排
26人 7 17人
4
足19人
用|A|表示爱打篮球的人数
|A|=26
|B|表示爱打排球的人数
|B|=17
|C|表示爱踢足球的人数
|C|=19
＝26＋17＋19－7－9－4
＝42（人）
答：这个班共有42人。
［答题时间：30分钟］
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？
2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？
3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人？
4. 求1～100的自然数中
（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？
48－26＝22（人）
12＋17－22＝7（人）
答：两门都得100分的有7人。
2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？
75＋83－68＋10＝100（人）
答：这批游客共有100人。
3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会跳舞，或者两样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞的有多少人？
70－48＋24＝46（人）
答：会跳舞的有46人。
4. 求1～100的自然数中
（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
100÷5＝20
100÷8＝12……4
100÷40＝2……20
20＋12－2＝30
（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
100－30＝70
5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人？
25－10＝15（人）只做对第1题的人数
18－15＝3（人）两题都做错的人数包含与排除（一）
包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。
【典型例题】
例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）
7
5
2
分析与解：
这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：
方法一：
方法二：
方法三：
答：盖住桌面的面积是64平方厘米。
例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？
分析与解：
根据题意可画图如下
乒 羽
37 21 26
？人
此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。
方法一：37 + 26—21 = 42（人）
方法二：37—21 + 26 = 42（人）
方法三：37 +（26—21）= 42（人）
以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？
我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：
第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和
例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？
分析与解：
根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。
15 + 17—24 = 8（人）
另外，从下图中我们还能得出两种不同方法
语文 数学
15人 ？人 17人
24人
方法二：17—（24—15）= 8（人）
15—（24—17）= 8（人）
答：两科都得优的有8人。
例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？
分析与解：
这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。
全班
5人
美术 音乐
24人 11人 18人
全班？人
要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。
24 + 18—11 = 31（人）
31 + 5 = 36（人）
答：这个班共有学生36人。
例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？
分析与解：
根据题意画图如下：
音乐 美术
11人 8人
12人
英语
？人
如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数
11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人）
答：至少参加一个组的有20人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？
5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？
6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
19 + 24—13 = 30（人）
答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。
2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
只学钢琴人数：58—37 = 21（人）
只学画画人数：43—37 = 6（人）
3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数
100÷6 = 16……4
所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
100÷2 = 50，100÷3 = 33……1
50 + 33—16 = 67（个）
所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
50—16 = 34（个）
答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？
12 + 10—3 + 26 = 45（人）
答：这个班共有学生45人。
5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？
50—（30 + 21—8）= 7（人）
答：两样都不会的有7人。
6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？
30 + 25—42 = 13（人）
答：这个班两队都参加的有13人。
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