2020年黑龙江鸡西中学高一下学期数学必修五第三章 章末复习(1) 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020年黑龙江鸡西中学高一下学期数学必修五第三章 章末复习(1) 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 104.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-09 21:59:35 | ||
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文档简介
不等式章末复习
1．不等式的性质
性质1：如果a>b，那么bb，即a>b?b性质2：如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.
性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4：如果a>b，c>0，那么ac>bc，
如果a>b，c<0，那么ac性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N
，n≥1)．
性质8：如果a>b>0，那么>(n∈N
，n≥2)．
2．三个二次之间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|xx2}
R
f(x)<0
{x|x1<
x?
?
3．线性规划问题求解步骤
①把问题要求转化为约束条件；
②根据约束条件作出可行域；
③对目标函数变形并解释其几何意义；
④移动目标函数寻找最优解；
⑤解相关方程组求出最优解．
4．基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别
①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．
②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.
题型一 “三个二次”之间的关系
例1 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝
.
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
题型二 一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
跟踪训练2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
题型三 线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
题型四 利用基本不等式求最值
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为
．
跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
【课堂练习】
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1
B.
C．－
D．－1
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18
B．8
C．－13
D．1
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
．
5．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，求k的取值范围
．
章末复习的答案
例1 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝.
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0(a<0)的两个根，
∴解得
∴a＋b＝－14.
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
答案 2
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，a>0，
由可得
题型二 一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}；
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．
跟踪训练2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解 (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴当0②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式化为(x＋1)2>0，
∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.
题型三 线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；
当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1)．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
题型四 利用基本不等式求最值
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为．
答案 4
解析 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
方法一 ＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号．
方法二 ＋＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号．
∴min＝4.
跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
解 ∵＋＝3，∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×
＝≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
【课堂练习】
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 方法一 A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
方法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1B.C．－D．－1
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，
目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18B．8C．－13D．1
答案 C
解析 ∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
∴∴∴a＋b＝－13.
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．
答案 (－2,2]
解析 不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－25．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，求k的取值范围．
解 f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，∴k<＝3x＋，3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝时，等号成立．∴k<2.
．
1．不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b
性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4：如果a>b，c>0，那么ac>bc，
如果a>b，c<0，那么ac
性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N
，n≥1)．
性质8：如果a>b>0，那么>(n∈N
，n≥2)．
2．三个二次之间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式的解集
f(x)>0
{x|x
R
f(x)<0
{x|x1<
x
?
3．线性规划问题求解步骤
①把问题要求转化为约束条件；
②根据约束条件作出可行域；
③对目标函数变形并解释其几何意义；
④移动目标函数寻找最优解；
⑤解相关方程组求出最优解．
4．基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别
①利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．
②利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.
题型一 “三个二次”之间的关系
例1 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝
.
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
题型二 一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
跟踪训练2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
题型三 线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
题型四 利用基本不等式求最值
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为
．
跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
【课堂练习】
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于( )
A．{x|－1
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1
B.
C．－
D．－1
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18
B．8
C．－13
D．1
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
．
5．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，求k的取值范围
．
章末复习的答案
例1 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝.
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0(a<0)的两个根，
∴解得
∴a＋b＝－14.
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
答案 2
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，a>0，
由可得
题型二 一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，a
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，a
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x
当0
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．
跟踪训练2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解 (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1
∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0
当－1
当a<－1时，原不等式的解集为R.
题型三 线性规划问题
例3 已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；
当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1)．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
题型四 利用基本不等式求最值
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为．
答案 4
解析 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
方法一 ＋＝＝≥＝4，
当且仅当m＝n＝时，取等号．
方法二 ＋＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即m＝n＝时取等号．
∴min＝4.
跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
解 ∵＋＝3，∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×
＝≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
【课堂练习】
1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA等于( )
A．{x|－1
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 方法一 A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
方法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1B.C．－D．－1
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，
由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，
目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18B．8C．－13D．1
答案 C
解析 ∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的两根．
∴∴∴a＋b＝－13.
4．若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．
答案 (－2,2]
解析 不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－2
解 f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，∴k<＝3x＋，3x＋≥2＝2，当且仅当3x＝时，等号成立．∴k<2.
．