综合与实践：自行车里的数学问题
年级：
六年级
教材版本：人教版
一、教学背景简述
“自行车里的数学问题”是在“比例”之后安排的一个“综合与实践”活动，旨在让学生综合运用所学的知识解决实际问题。本节课涉及的数学知识有圆的周长、比例和排列组合等，分属图形与几何、数与代数两个不同领域。通过解决生活中常见的自行车里的数学问题，了解数学与生活的广泛联系，经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应用”的问题解决的基本过程，获得运用数学解决实际问题的思考方法，加深对所学知识及其相互关系的理解。“自行车里的数学问题”主要研究两个问题：普通自行车的速度与自行车内在结构的关系；变速自行车能变化出多少种速度。
学生在科学课上了解了自行车的发明与发展历史，知道自行车的主要构造和用途以及自行车的行进原理，还知道了三种传动装置的特点和应用。在实际生活中，学生对自行车并不陌生，绝大多数学生都有骑自行车的经验。但对于自行车蹬一圈车轮是否转动一圈这个问题，只有少数孩子认为不是，追问为什么，还是说不明白。学生不能由脚蹬转动联想到车轮、齿轮以及它们之间的内在联系，更加难以勾连到前、后齿轮齿数比之间的关系，这是学生思维的难点。所以，一辆普通自行车蹬一圈能走多远究竟和什么有关？有什么关系？是本主题探究的主题，也是突破的难点问题，需要我们构建相应的数学模型。
根据学生认知基础、已有经验和学习困难，形成本节课的教学策略：
1.动静结合，突破难点
针对学生不能由脚蹬转动联想到车轮、齿轮以及它们之间的内在联系及难以勾连到前、后齿轮齿数比之间的关系这一学习难点，选取一辆普通自行车，采用动静结合的方式，引导学生研究前后齿轮的齿数与它们的转数之间的关系，经历解决问题的过程，体现对测量、圆、排列组合、比例等知识的综合运用，突出重点、突破难点。
2.经历过程，建立模型
综合与实践“自行车里的数学”一课，是比较典型的“建立模型”的过程，通过解决生活中常见的自行车里的问题，让学生主动发现问题、提出问题，经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，培养问题意识和探究能力，获得运用数学解决实际问题的思考方法，加深对所学知识及其相互关系的理解。
3.学科融合，共促发展
本节课针对“自行车问题”在科学课与数学课教学过程所呈现的不同特点，有机融合，优势互补，使学生获得综合性的学习资源，实现科学与数学关联知识的迁移，更好地为学生的数学学习服务。
二、教案目标
1.通过解决“蹬一圈能走多远”和“变速自行车能变化出多少种速度”两个问题，进一步深化理解测量、圆的周长、比例等知识，会综合运用所学知识解决实际问题。（重点）
2.经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——求解——解释与应用”的问题解决的基本过程，培养问题意识、应用意识，感悟初步的模型思想。（难点）
3.体会数学与生活的广泛联系，激发学习兴趣，感受探究问题的乐趣。
三、教学过程
（一）揭示课题
1.课前调查
大家都查到有关自行车的哪些知识了？
2.自主交流
3.引入新课
同学们你们知道吗，在自行车身上蕴含着丰富的数学知识，今天就让我们一起来探究自行车里的数学问题吧！
（二）展开研究
活动一：一辆普通自行车蹬一圈，能走多远？
1.发现、提出问题
师：关于自行车，你想研究哪些数学问题呢？
2.分析问题
（1）直接测量
出示三次测量的结果：
为什么用同样的方法测量，结果相差这么多呢？
小结：由于“蹬一圈”在操作中不易把控，误差较大。
（2）数学计算车轮周长×车轮转动的圈数
在测量的过程中观察到自行车的车轮大约转动了3圈半。
质疑：车轮大约转动了三圈半，不是准确的圈数，所以计算的结果也不是准确值。测量直径和计算车轮转动的圈数时依然存在误差，还能不能更精确呢？
（3）探究前、后齿轮的内在联系
自行车蹬一圈，前齿轮转动一圈走过46个齿，由于链条的传动，后齿轮也要走过46个齿，后齿轮走46个齿相当于转动了多少圈呢？
46÷14＝（圈）
也就是说，前齿轮转一圈，后齿轮转圈。
3.建立模型
由于我们研究的是前齿轮转动1圈的情况，运用比例的相关知识，将得到的关系式进行简单的变换：
后齿轮转数＝
4.问题求解
通过同学们的观察和测量，可知：这辆普通自行车的前齿轮齿数是46个，后齿轮齿数是14个，后轮的半径是20cm。
5.回顾反思
活动二：探究变速自行车能变化出多少种速度
1.分析问题
变速自行车有多个前齿轮和后齿轮，它能通过变速器改变链条和不同齿数的前、后齿轮的配合来调节车速快慢。
它有两种前齿轮，每种齿轮的齿数分别是48和40；有六种后齿轮，每种齿轮的齿数分别是28、24、20、18、16、14。
想一想：这辆自行车能变出多少种速度？
2.解决问题
用排列组合的知识就能不重不漏地找到所有组合：
2×6＝12（种）
质疑：是不是有12种组合就有12种不同的速度呢？
列表格的方法，分别计算了每种组合中前、后齿轮齿数的比值，发现：
这辆变速自行车的前、后齿轮有12种组合，能变化出11种不同速度。
（四）应用拓展
1.介绍历史
2.全课总结
3.拓展延伸
（1）这三种型号的自行车，蹬一圈走过的距离分别是多远？
（2）这辆变速自行车哪种齿轮的组合更省力？哪种组合更费力？(共53张PPT)
自行车里的数学问题
六年级
数学
课前任务：请你调查一下有关自行车的知识。
菲菲
24英寸
26英寸
28英寸
（1英寸＝2.54厘米）
小萱
脚蹬
前齿轮
链条
后齿轮
小萱
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小萱
脚蹬→前齿轮→链条→后齿轮→后轮→前轮
小梁
自行车里的数学问题
阳阳
提出问题
尧尧
悦悦
小浩
提出问题
尧尧
阳阳
悦悦
提出问题
尧尧
小浩
阳阳
30s——2
活动1：一辆普通自行车蹬一圈，能走多远？
雯雯
蹬一圈测量一下就知道了。
自行车蹬一圈走过的距离
雯雯
小浩
？
蹬一圈测量一下就知道了。
小凯
3圈半
蹬一圈的路程＝车轮周长×车轮转的圈数
六年级上册数学书
小凯
40cm
蹬一圈的路程:
蹬一圈的路程＝车轮周长×车轮转的圈数
菲菲
车轮周长:
40×3.14＝125.6（cm）
不精确
125.6×3.5？＝439.6（cm）
30s——3
悦悦
后车轮转的圈数＝后齿轮转的圈数
在链条传动的过程中，存在怎样的等量关系呢？
涂涂
涂涂
1个齿
1个齿
前、后齿轮转过的齿数始终相同。
涂涂
5个齿
5个齿
涂涂
前齿轮转动的总齿数＝后齿轮转动的总齿数
小凯
齿轮转的总齿数和
转动的圈数……？
涂涂
10个齿
20个齿
？圈
1圈
前齿轮转动的总齿数＝后齿轮转动的总齿数
20
20
烁烁
10个齿
20个齿
2
圈
1圈
烁烁
前齿轮转动的总齿数＝后齿轮转动的总齿数
202×0
1
＝
102×0
2
46个
14个
涂涂
减少误差
后齿轮转数＝
前齿轮齿数
＝
后齿轮齿数
前齿轮转动的总齿数
后齿轮转动的总齿数
×前齿轮转数
前齿轮齿数
×
前齿轮转数
＝
后齿轮齿数
×
后齿轮转数
后齿轮转数＝
前齿轮齿数
后齿轮齿数
×1
前齿轮齿数
×
前齿轮转数
＝
后齿轮齿数
×
后齿轮转数
后齿轮转数＝
（后车轮转数）
前齿轮齿数
后齿轮齿数
前齿轮齿数
×
前齿轮转数
＝
后齿轮齿数
×
后齿轮转数
自行车的前齿轮齿数是46个，后齿轮齿数是14个，
车轮的半径是20cm。
自行车走的距离
：
：
后齿轮转动圈数
后轮的周长
：
涂涂
自行车的前齿轮齿数是46个，后齿轮齿数是14个，
车轮的半径是20cm。
→
测量
探究内在联系
→
变速自行车
后齿轮齿数：
28
、24
、20
、18
、16
、14
前齿轮齿数：48
、40
活动2：变速自行车前、后齿轮有多少种组合？
烁烁
2×6＝12（种）
前齿轮：
48
40
后齿轮：
28
24
20
18
16
14
12种速度？
48
40
28
24
20
18
16
14
菲菲
48
40
28
1.71
1.43
24
2
1.67
20
2.4
2
18
2.67
2.22
16
3
2.5
14
3.43
2.86
速度相同
菲菲
12-1＝11（种）
1817年
德莱斯
1840年
麦克米伦
1861年
米肖
1874年
劳森
1886年
斯坦利
“中国制造”的一张崭新名片
1956年
我国第一款自主研制的
飞鸽牌自行车
30s——4
联系科学课
所学知识
测量、圆的周长、排
列组合、比例……
不满12周岁不
能骑车上路。
继续研究新问题
24英寸
26英寸
28英寸
（1英寸＝2.54厘米）
蹬一圈走过的距离分别是多远呢？
哪种组合使变速自行车更省力？
哪种组合使变速自行车更费力？
前齿轮齿数：48
、40
后齿轮齿数：28
、24
、20
、18
、16
、14
再
见
