第一章 特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质与判定的综合
1．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
3．[2019·长春模拟]如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3.点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连接DE.
（1）求证：四边形ACED为矩形；
（2）连接OE，求OE的长．
4．[2018春·娄星区期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
5．（逻辑推理）如图，在矩形ABCD中，AB＝8
cm，BC＝16
?cm?，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1
?cm/s?.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t
s?.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
参考答案
1．C
2．A
3.
（1）证明：在?ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形．
（2）解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝DE＝AC＝1.
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝.
4．解：（1）△BEC是直角三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理，得CE＝＝，
同理，得BE＝2，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四边形EFPH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
（3）在?Rt?△PCD中，FC⊥PD，
由三角形的面积公式，得PD·CF＝PC·CD，
∴CF＝＝，
∴EF＝CE－CF＝－＝，
∵PF＝＝，
∴S矩形EFPH＝EF·PF＝，
即四边形EFPH的面积是.
5.
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm?，BC＝16
cm?，
∴BC＝AD＝16
cm?，AB＝CD＝8
cm?.
由题意，得BQ＝DP＝t
cm?，AP＝CQ＝（16－t）cm?，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16－t，得t＝8，
故当t＝8
?s?时，四边形ABQP为矩形．
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即＝16－t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6
s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16－6＝10（cm），
则菱形AQCP的周长为4×10＝40（cm）；
则菱形AQCP的面积为10×8＝80（cm2）.
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5第一章 特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
1．[2018·宁波模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
2．[2019·云南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
3．[2019·新疆]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
4．（数学建模）如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
1．证明：（1）∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（?SSS?）.
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
2．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO，
∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD.
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x，则∠ODC＝∠OCD＝3x.
在△ODC中，∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°，
∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°，
∴∠ODC＝3×18°＝54°，
∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
3．证明：（1）
∵CF∥BD，
∴∠DCF＝∠ODC.
∵点E是CD的中点，
∴EC＝ED.
∵∠CEF＝∠DEO，
∴△ODE≌△FCE（ASA）.
（2）∵△ODE≌△FCE，∴OE＝EF.
∵DE＝EC，∴四边形OCFD是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
4.
答图
（1）证明：如答图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5.
（3）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由：
当点O为AC的中点时，则有AO＝CO.
∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．
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1第一章 特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1．下列说法中，不正确的是（
）
A．菱形是特殊的平行四边形
B．平行四边形的对边平行且相等
C．矩形的对角线互相垂直
D．矩形四个角都相等
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE.若∠AOB＝60°，则∠BOE的度数是（
）
A．80°
B．65°
C．45°
D．75°
第2题图
第3题图
3．[2019·广州]如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F.若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（ ）
?A．4
?B．4
?C．10
?D．8
4．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，点E为AB的中点，求证：CE＝DE.
5．[2018·湘西州]如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
6．（逻辑推理）[2019·宿迁]如图，矩形ABCD中，AB＝4，
BC＝2，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF＝.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
参考答案
1．
C
2．
D
3.
A
4.
证明：在Rt△ABC中，∵点E为斜边AB的中点，∴CE＝AB.
在Rt△ABD中，∵点E为斜边AB的中点，∴DE＝AB，∴CE＝DE.
5．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE（?SAS?）.
（2）解：∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE＝BE＝3.
在?Rt?△ADE中，AD＝4，AE＝3，
根据勾股定理，得DE＝＝＝5.
∵△ADE≌△BCE，∴DE＝CE＝5，
∴DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16，即△CDE的周长为16.
6.
答图
（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，
∠D＝∠B＝90°.
∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4－＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：如答图，过点F作FH⊥AB于点H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝－＝1，
∴EF＝＝＝.
1
