第二章 二次函数
3
用公式法求解一元二次方程
第2课时 方案设计
1．如图，有一矩形的硬纸板，长为30
cm，宽为20
cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周突出部分折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200
cm2？
2．[2019·襄阳]改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长（AD）16
m、宽（AB）9
m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112
m2，则小路的宽应为多少？
3．[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50
m，宽40
m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元．如果计划总费用为642
000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
4．（数学建模）某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如图，整个小牛舍区域是长20
m、宽6
m的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是12.5
m2，请求出小路的宽．（设小路的宽为x
m?）
参考答案
1．
解：设剪去的小正方形的边长为x
cm.根据题意，有（30－2x）（20－2x）＝200，解得x1＝5，x2＝20.当x＝20时，20－2x<0，不符合题意，所以x＝5.
答：当剪去的正方形的边长为5
cm时，所得长方体盒子的底面积为200
cm2.
2．
解：设小路的宽应为x
m，由题意可得方程为（16－2x）（9－x）＝112，解得x1＝1，x2＝16.
又∵x2＝16>9，不合题意，舍去，
∴x＝1.
答：小路的宽应为1
m．
3．
解：设扩充后广场的长为3x
m，宽为2x
m.
依题意，得3x·2x·100＋30（3x·2x－50×40）＝642
000，解得x1＝30，x2＝－30（舍去），所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长为90
m，宽为60
m．
4．
解：设小路的宽为x
m（x＜6），则6间小牛舍可合成长（20－5x）m、宽（6－x）m的矩形．
根据题意，得（20－5x）（6－x）＝12.5×6，
解得x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去）.
答：小路的宽为1
m.
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5第二章 二次函数
2
用配方法求解一元二次方程
第2课时
二次系数不为1的一元二次方程的配方法
1．把方程x2－3x－5＝0化成（x＋m）2＝n的形式正确的是（
）
A．＝19
B．＝
C．（x－3）2＝19
D．（x－3）2＝
2．[2019春·鄞州区期中]用配方法解下列方程时，配方错误的是（
）
?A．2x2－7x－4＝0化为＝
?B．2t2－4t＋2＝0化为（t－1）2＝0
?C．4y2＋4y－1＝0化为＝
?D．x2－x－4＝0化为＝
3．已知代数式3x2－9x，当x＝
时，其值为－6；当x＝
时，其值为12.
4．用配方法解下列方程：
（1）2x2－3x－5＝0；
（2）－2x2－5x－3＝0；
（3）2x2－x＋1＝0.
5．[2019春·西湖区校级月考]把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t－5t2.
（1）经过多少秒后足球回到地面？
（2）经过多少秒时球的高度为15米？
（3）球的高度是否能够达到21米？请说明理由．
6．若关于x的方程m（x＋h）2＋k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m（x＋h－3）2＋k＝0的解是（
）
A．x1＝－6，x2＝－1
B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5
D．x1＝－6，x2＝2
7．已知代数式4x2－mx＋1可变形为（2x－n）2，则mn＝ 4 ．
8．[2019秋·福清期中]阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式x2－2x＋2的最小值时，利用公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2－2x＋2＝x2－2x＋1＋1＝（x－1）2＋1，因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1.当x＝1时，（x－1）2＋1＝1，因此（x－1）2＋1有最小值1，即x2－2x＋2的最小值为1.
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式x2－4x＋5的最小值为 1 ；
（2）求代数式－x2＋6x－7的最大值或最小值；
（3）试比较代数式3x2＋2x与2x2＋3x－1的大小，并说明理由．
9．（数学建模）如图，在矩形ABCD中，点P从点A开始沿AB向点B以每秒2
cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以每秒1
cm的速度移动，AB＝6
cm，BC＝4
cm.若P，Q两点分别从点A，B同时出发，几秒后P，Q两点之间的距离为2
cm?
参考答案
1．C
2．D
3．1或2
4或－1
4．(1)解：原方程可化为x2－x－＝0，
＝＋，＝，
x－＝±，x＝±，∴x1＝，x2＝－1.
（2）解：原方程可化为2x2＋5x＋3＝0，
x2＋x＋＝0，＝－，
＝，x＋＝±，
∴x1＝－1，x2＝－.
（3）解：原方程可化为x2－x＋＝0，
移项，得x2－x＝－，
配方，得x2－x＋＝－＋，
整理，得＝－＋＝－＜0，
故原方程无实数解．
5．
解：（1）当h＝0时，20t－5t2＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝4.
答：经过4秒后足球回到地面．
（2）由题意，得20t－5t2＝15，
解得t＝1或t＝3.
答：经过1秒或3秒时球的高度为15米．
（3）不能．理由如下：
将h＝21代入公式得21＝20t－5t2，
即5t2－20t＋21＝0，配方得，5（t－2）2＋1≥1，原方程不成立，所以足球无法达到21米的高度．
6．B
【解析】
∵m（x＋h）2＋k＝0的解为x1＝－3，x2＝2，∴m（x＋h－3）2＋k＝0的解为x1－3＝－3，x2－3＝2，故x1＝0，x2＝5.
7．4
【解析】
由（2x－n）2＝4x2－4nx＋n2＝4x2－mx＋1，得∴当n＝1时，m＝4，当n＝－1时，m＝－4，∴mn＝4.
8．（1）1【解析】∵x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，
∴x2－4x＋5的最小值为1.
（2）解：∵－x2＋6x－7＝－（x2－6x＋9）＋2＝－（x－3）2＋2，由于（x－3）2≥0，所以－（x－3）2≤0，当x＝3时，－（x－3）2＝0，则－x2＋6x－7的最大值为2.
（3）∵（3x2＋2x）－（2x2＋3x－1）＝x2－x＋1＝＋.由于≥0，∴＋＞0，即3x2＋2x＞2x2＋3x－1.
9．
解：设x
s后P，Q两点之间的距离为2
cm.
∵PB＝（6－2x）cm，BQ＝x
cm，
∴（6－2x）2＋x2＝（2）2，
解得x1＝2，x2＝2.8.经检验，均符合，
则2
s或2.8
s后，P，Q两点之间的距离为2
cm.
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7第二章
一元二次方程
6 应用一元二次方程
第2课时 定价与增长率问题
1．[2019·龙东地区]某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ? ）
?A．4
?
B．5
?C．6
?D．7
2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可自行定价．若每件商品售价定为a元，则可卖出（350－10a）件．但物价局限定每件商品加价不得超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出的商品的件数和每件商品的售价应为（ ）
A．100件，25元
B．40件，31元
C．100件，25元或40件，31元
D．40件，25元
3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
4．[2019·贺州]2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2
500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3
600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4
200元？
5．[2019·东营]为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32
000元？
6．（数学建模）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5
000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5
000元．当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
参考答案
1．C
2．A
3．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝64，
解得x1＝7，x2＝－9（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）7×64＝448（人），故第三轮将又有448人被传染．
4．解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x.
依题意，得2
500（1＋x）2＝3
600，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（舍去）.
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.
（2）根据题意，得3
600×（1＋20%）＝4
320（元），
4
320>4
200，符合题意．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4
200元．
5．解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5（200－x）]个．
依题意，得（x－100）[300＋5（200－x）]＝32
000，
整理，得x2－360x＋32
400＝0，解得x1＝x2＝180.
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32
000元．
6．解：设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为（10＋x）万元．
依题意，得（10＋x）－×1－×0.5＝275.
整理得2x2－11x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝0.5，
则10＋x＝15或10.5，故每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．
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3第二章
一元二次方程
6 应用一元二次方程
第1课时 几何运动问题
1．如图，甲自西向东以4
m/s的速度行进，乙由南向北以3
m/s的速度行进，当乙到达点O时，甲已到达点O以东16
m处，如果两人继续前进，求两人相距39
m时各自的位置．
2．[2019·孝南区期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2
cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7
cm2？请说明理由．
3．（数学建模）如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x
cm（x≠0），则AP＝2x
cm，CM＝3x
cm，DN＝x2
cm.
（1）当x为何值时，点P，N重合？
（2）当x为何值时，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？
参考答案
1．解：如答图，设经过t
s两人相距39
m.
由题意，得（3t）2＋（16＋4t）2＝392，
∴t1＝5，t2＝－10.12（不符合题意，舍去）.
当t＝5时，3t＝15，16＋4t＝16＋20＝36，
∴当两人相距39
m时，甲在点O以东36
m处，乙在点O以北15
m处．
答图
2．解：（1）设x秒后，PQ＝2
cm，
则BP＝（5－x）cm，BQ＝2x
cm.
∵BP2＋BQ2＝PQ2，
∴（5－x）2＋（2x）2＝（2）2，
解得x1＝3，x2＝－1（舍去），
∴3秒后，PQ的长度等于2cm.
（2）△PQB的面积不能等于7
?cm2?.理由如下：
设t秒后，PB＝（5－t）cm，QB＝2t
cm.
∵S△PQB＝·BP·QB＝7
cm，即（5－t）×2t＝7
cm2，
∴t2－5t＋7＝0，
Δ＝（－5）2－4×1×7＝25－28＝－3＜0，
∴方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于7
cm2.
3．解：（1）∵点P，N重合，∴2x＋x2＝20，
∴x1＝－1，x2＝－－1（舍去），
∴当x＝－1时，点P，N重合．
（2）∵当点N到达点A时，x＝2，此时点M和点Q还未相遇，∴点Q只能在点M的左侧．
①当点P在点N的左侧时，
依题意，得20－（x＋3x）＝20－（2x＋x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时，四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，
依题意，得20－（x＋3x）＝（2x＋x2）－20，
解得x1＝－10（舍去），x2＝4，
当x＝4时，四边形NQMP是平行四边形．
∴当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
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5第二章 一元二次方程
1
认识一元二次方程
1．将一元二次方程－3x2－2＝－4x化成一般形式ax2＋bx＋c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（
）
A．－4，2
B．－4x，2
C．4x，－2
D．3x2，2
2．若方程（k－1）x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（
）
A．k≠1
B．k≥0
C．k≥0且k≠1
D．k为任意实数
3．[2018·日照]为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1
200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为
（化为一般形式）.
4．根据下表探索一元二次方程x2－6x＋9＝0的解的取值范围．
x
8
6
4
2
0
－2
x2－6x＋9
25
9
1
1
9
25
从表中可以看出方程的解应介于
和
之间．
5．将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数a、一次项系数b和常数项c.
（1）（2x－5）（x＋2）＝1；
（2）－2x（x－5）＝3－x；
（3）（2x－1）（x＋5）＝6x.
6．如图，在一幅长80
cm、宽50
cm的矩形风景画的四周镶一条等宽金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整个挂图的面积是
5
400
cm2，设金色纸边的宽为x
cm，求满足x的方程并化为一般形式．
7．[2018·盐城]已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一根为1，则k的值为（ ?
）
?A．－2
?B．2
?C．－4
?D．4
8．[2018·南充]若2n（n≠0）是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根，则m－n的值为
．
9．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发一条消息，这样一共会产生756条消息．
（1）根据题意，列出关于x的方程；
（2）写出方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，并指出其中a，b，c的值．
10．（数学建模）已知关于x的方程（2k＋1）x2－4kx＋k－1＝0.
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根．
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
参考答案
1．B
2．C
3．x2＋40x－1
200＝0
4．2
4
5．解：（1）2x2－x－11＝0，a＝2，b＝－1，c＝－11.
（2）2x2－11x＋3＝0，a＝2，b＝－11，c＝3或－2x2＋11x－3＝0，a＝－2，b＝11，c＝－3.
（3）2x2＋3x－5＝0，a＝2，b＝3，c＝－5.
6．
解：挂图的长为（80＋2x）cm，宽为（50＋2x）cm.
∴（80＋2x）（50＋2x）＝5
400，
化简，得x2＋65x－350＝0.
7．B
【解析】
把x＝1代入一元二次方程，得12＋k－3＝0，解得k＝2.
8．
【解析】
∵若2n（n≠0）是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根，∴（2n）2－2m×2n＋2n＝0，原方程整理得4n2－4mn＋2n＝0，∴2n（2n－2m＋1）＝0.∵n≠0，∴2n－2m＋1＝0，即2n－2m＝－1，∴m－n＝.
9．
解：（1）由题意，得x（x－1）＝756.
（2）由x（x－1）＝756，
整理，得x2－x－756＝0，
则a＝1，b＝－1，c＝－756.
10．
解：（1）当2k＋1＝0，且－4k≠0，
即k＝－时，此方程是一元一次方程．
原方程为2x＝，解得x＝，即方程的根为x＝.
（2）当2k＋1≠0，即k≠－时，此方程是一元二次方程．二次项系数为2k＋1，一次项系数为－4k，常数项为k－1.
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4第二章 一元二次方程
2
用配方法求解一元二次方程
第1课时 二次项系数为1的一元二次方程的配方法
1．x1，x2是一元二次方程3（x－1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（
）
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
2．[2018·临沂]一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为（ ?
? ）
?A．（y＋）2＝1
?
B．（y－）2＝1
?C．（y＋）2＝
?D．（y－）2＝
3．[2019·柘城县校级月考]求下列各式中x的值．
（1）x2＝5；
（2）x2－5＝；
（3）（x－2）2＝125.
4．用配方法解一元二次方程．
（1）[2018·义乌]x2－2x－1＝0；
（2）[2019·齐齐哈尔]x2＋6x＝－7.
5．若方程x2－2x＋m＝0与方程（x－n）2＝5的解相同，则方程x2－2x＋m＝3的解为
．
6．若一元二次方程ax2＝b（ab>0）的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝
．
7．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad－bc.例如：＝1×4－2×3＝－2，＝
（－2）×5－4×3＝－22.
（1）按照这个规定请你计算的值；
（2）按照这个规定请你计算：当x2－4x＋4＝0时，的值．
8．（数学运算）有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③（x＋1）2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.”
（1）小静的解法是从步骤
开始出现错误的；
（2）用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.（用含n的式子表示方程的根）
参考答案
1．A
2．B
3．解：（1）x2＝5，解得x1＝，x2＝－.
（2）x2－5＝，x2＝，解得x1＝，x2＝－.
（3）（x－2）2＝125，x－2＝±5，解得x1＝2＋5，x2＝2－5．
4．
解：（1）移项，得x2－2x＝1，
配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即（x－1）2＝2，
开方，得x－1＝±，即x1＝1＋，x2＝1－.
解：(2)∵x2＋6x＝－7，
∴x2＋6x＋9＝－7＋9，
∴（x＋3）2＝2，
∴x＋3＝±，
∴x＝－3±，
∴x1＝－3＋，x2＝－3－.
5．
x1＝1＋2，x2＝1－2
【解析】
依题意，得x2－2x＋m＝x2－2nx＋n2－5，∴－2n＝－2，m＝n2－5，解得m＝－4，n＝1，∴所求原方程可化为x2－2x－4＝3，解得x1＝1＋2，x2＝1－2.
6．4
【解析】
依题意，得m＋1和2m－4互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，∴m＝1，∴m＋1＝2，2m－4＝－2，∴＝22＝4.
7．
解：（1）＝5×8－7×6＝－2.
（2）由x2－4x＋4＝0得x＝2，
＝＝3×1－4×1＝－1.
8．（1）⑤
（2）解：（2）x2＋2nx－8n2＝0，
x2＋2nx＝8n2，
x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，
（x＋n）2＝9n2，
x＋n＝±3n，
则x1＝2n，x2＝－4n.
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6第二章 二次函数
3
用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
1．[2019·郴州]一元二次方程
2x2
＋
3x－5
＝
0
的根的情况为（ ? ）
?A．有两个相等的实数根
?B．有两个不相等的实数根
?C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是（
）
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3
D．x1＝－，x2＝3
3．利用判别式判断下列方程的根的情况：
（1）x2－5x＝－7；
（2）x2＋5＝2x；
（3）（x－1）（2x＋3）＝x.
4．用公式法解下列方程：
（1）[2019·常德]x2－3x－2＝0；
（2）[2018·徐州]2x2－x＋1＝0；
（3）（2x＋1）（x－3）＝－6x；
（4）x＝0.4－0.6x2.
5．[2019·内江]一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（
）
?A．16
?
B．12
?C．14
?
D．12或16
6．[2019·聊城]若关于x的一元二次方程（k－2）x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ?
? ）
?A．k≥0
?
B．k≥0且k≠2
?C．k≥
D．k≥且k≠2
7．[2019·泰安]已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
．
8．[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值等于
.
9．已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，求正整数m的值．
10．（数学运算）对于方程x2－2|x|＋2＝m，如果方程实根的个数为3，则m的值等于（
）
A．1
B．
C．2
D．2.5
参考答案
1．B
2．C
3．解：（1）方程变形为一元二次方程的一般形式为x2－5x＋7＝0.
∵a＝1，b＝－5，c＝7，
∴Δ＝b2－4ac＝（－5）2－4×1×7＝－3＜0，
所以方程没有实数根．
（2）方程变形为一元二次方程的一般形式为x2－2x＋5＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝5，
∴Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×1×5＝0，
所以方程有两个相等的实数根．
（3）方程变形为一元二次方程的一般形式为2x2－3＝0.
∵a＝2，b＝0，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝02－4×2×（－3）＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
4．(1)解：∵a＝1，b＝－3，c＝－2，
∴Δ＝b2－4ac＝17，
∴x1＝，x2＝.
（2）解：∵a＝2，b＝－1，c＝1，
∴b2－4ac＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，
∴原方程无实根．
（3）解：原方程化简为2x2＋x－3＝0.
∵a＝2，b＝1，c＝－3，
∴b2－4ac＝1－4×2×（－3）＝25，
∴x＝＝，
∴x1＝－，x2＝1.
（4）解：原方程可化为0.6x2＋x－0.4＝0.
∵a＝0.6，b＝1，c＝－0.4，
∴b2－4ac＝1－4×0.6×（－0.4）＝1.96，
∴x＝＝，
∴x1＝－2，x2＝.
5．A
【解析】
解方程x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边长分别为3，3，6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形的三边长分别为5，5，6，此时三角形的周长为16.
6．D
【解析】
∵原方程是一元二次方程，∴k－2≠0，∴k≠2.∵其有实数根，∴（－2k）2－4（k－2）（k－6）≥0，解得k≥，∴k的取值范围为k≥且k≠2.
7.
k<－
【解析】
∵关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝2－4（k2＋3）>0，解得k<－.
8．2
【解析】
根据题意，得Δ＝4－4a（2－c）＝0，整理得4ac－8a＝－4，即4a（c－2）＝－4.∵方程ax2＋2x＋2－c＝0是关于x的一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a，得c－2＝－，则＋c＝2.
9．
（1）证明：∵m≠0，Δ＝[－（m＋2）]2－4×2m＝（m－2）2≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵a＝m，b＝－（m＋2），c＝2，
∴b2－4ac＝[－（m＋2）]2－8m＝（m－2）2，
∴x＝，∴x1＝1，x2＝.
∵x2为整数，且m是正整数，
∴m＝1或m＝2.
10．C
【解析】
原方程可化为x2－2|x|＋2－m＝0，解得|x|＝1±.∵若1－＞0，则方程有4个实数根，∴方程必有一个根等于0.∵1＋＞0，∴1－＝0，解得m＝2.
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8第二章
一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
1．[2019·仙桃]若方程x2－2x－4＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2的值为（ ）
A．12
?B．10
?C．4
?D．－4
2．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2－7x＋12＝0
B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0
D．x2－7x－12＝0
3．[2019·泸州]已知x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，则（x1＋4）（x2＋4）的值是
．
4．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，求下列代数式的值：
（1）x12＋x22；
（2）＋；
（3）（x1＋1）（x2＋1）.
5．[2019·娄底]已知方程x2＋bx＋3＝0的一根为＋，则方程的另一根为
．
6．[2019·随州]已知关于x的一元二次方程x2－x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
7．[2019·黄石]已知关于x的一元二次方程x2－6x＋（4m＋1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且＝4，求m的值．
8．（数学建模）[2018·南充]已知关于x的一元二次方程x2－（2m－2）x＋（m2－2m）＝0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．
参考答案
1．A
【解析】
∵α＋β＝2，αβ＝－4，∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝22－2×（－4）＝12.
2．A
3．16
【解析】
∵x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－4，∴（x1＋4）（x2＋4）＝x1x2＋4x1＋4x2＋16＝x1x2＋4（x1＋x2）＋16＝－4＋4×1＋16＝16.
4．解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.
（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－6）2－2×3＝36－6＝30.
（2）＋＝＝＝10.
（3）（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋（x1＋x2）＋1＝3－6＋1＝－2.
5．
－【解析】
设原方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系x1x2＝，得x1×＝3，所以x1＝＝＝－.
6．解：（1）由题意可得Δ＝b2－4ac＝－4＞0，解得k＞.
（2）由根与系数关系可知x1＋x2＝2k＋1，所以2k＋1＝3，解得k＝1＞（符合题意），把k＝1代入原方程，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
7．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋（4m＋1）＝0有实数根，∴Δ＝（－6）2－4×1×（4m＋1）≥0，解得m≤2.
（2）∵方程x2－6x＋（4m＋1）＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝42，即32－16m＝16，解得m＝1.
8．解：（1）根据题意，得Δ＝[－（2m－2）]2－4（m2－2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m.
∵x12＋x22＝10，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝10，
∴（2m－2）2－2（m2－2m）＝10，
化简，得m2－2m－3＝0，解得m1＝3，m2＝－1，
∴m的值为3或－1.
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4第二章
一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
1．方程（x＋1）（x－2）＝x＋1的解是（ ）
A．2
B．3
C．－1，2
D．－1，3
2．[2018·宜宾]一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为（ ?）
A．－2 B．1 C．2 D．0
3．用因式分解法解方程：
（1）（x＋2）2－25＝0；
（2）（x－3）2＋2x（x－3）＝0；
（3）x2＋5＝5（x＋1）；
（4）[2018·齐齐哈尔]2（x－3）＝3x（x－3）；
（5）3（x－2）2＝x（x－2）.
4．解下列方程：
（1）3x2＋8x－3＝0（用配方法）；
（2）4x2＋1＝4x（用公式法）；
（3）2（x－3）2＝x2－9（用因式分解法）；
（4）[2019·呼和浩特]（2x＋3）（x－6）＝16（用配方法）.
5．[2019·十堰]对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a＋b）2－（a－b）2.若（m＋2）◎（m－3）＝24，则m＝
．
6．[2019秋·汝阳县期中]阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题：
分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式4x2－3xy－y2，方法如下：拆两头，4x2拆为4x，x，－y2拆为y，－y，然后排列如下：
4x y
x －y
交叉相乘，积相加得－3xy，凑得中间项，所以4x2－3xy－y2分解为（4x＋y）（x－y）.
参考以上方法解方程4x2－5x＋1＝0.
7．已知关于x的一元二次方程x2＋2bx＋＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
8．（数学运算）阅读下面的例题，解方程x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.
令y＝|x|，原方程化成y2－y－2＝0，
解得y1＝2，y2＝－1.
当|x|＝2时，x＝±2；当|x|＝－1时（不符合题意，舍去）.
∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.
请模仿上面的方法解方程：（x－1）2－5|x－1|－6＝0.
参考答案
1．D
2．D
3．（1）解：∵（x＋2＋5）（x＋2－5）＝0，
∴（x＋7）（x－3）＝0，
∴x1＝－7，x2＝3.
（2）解：∵（x－3）（x－3＋2x）＝0，
∴（x－3）（3x－3）＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
（3）解：∵x2＋5＝5x＋5，
∴x2－5x＝0，
∴x（x－5）＝0，
∴x1＝0，x2＝5.
（4）解：∵2（x－3）－3x（x－3）＝0，
∴（x－3）（2－3x）＝0，
∴x1＝3，x2＝.
（5）解：∵（x－2）（3x－6－x）＝0，
∴2（x－2）（x－3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3.
4．解：（1）∵3x2＋8x＝3，∴x2＋x＝1，
∴x2＋x＋＝1＋，即（x＋）2＝，
则x＋＝±，解得x＝或x＝－3.
（2）原方程整理得4x2－4x＋1＝0，
∵a＝4，b＝－4，c＝1，
∴Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，则x＝＝.
（3）∵2（x－3）2＝（x＋3）（x－3），
∴（x－3）（x－9）＝0，则x－3＝0或x－9＝0，解得x＝3或x＝9.
（4）原方程化为一般形式为2x2－9x－34＝0，
x2－x＝17，x2－x＋＝17＋，
＝，即x－＝±，
∴x1＝，x2＝.
5．－3或4
【解析】
根据题意，得[（m＋2）＋（m－3）]2－[（m＋2）－（m－3）]2＝24，即（2m－1）2－49＝0，∴（2m－1＋7）（2m－1－7）＝0，即2m－1＋7＝0或2m－1－7＝0，∴m1＝－3，m2＝4.
6．解：∵4x2－5x＋1＝0，∴4x2拆为4x和x，
1拆为－1和－1，然后排列如下：
4x －1
x －1
交叉相乘，积相加得－5x，所以4x2－5x＋1＝0分解为（4x－1）（x－1）＝0，解得x1＝－，x2＝1.
7．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下．
把x＝－1代入原方程，得2a－2b＝0，∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）△ABC是直角三角形．理由如下．
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0，
∴b2＋c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，
∴原方程变形为2ax2＋2ax＝0.
∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1.
8．解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0，
令y＝|x－1|，原方程化成y2－5y－6＝0，
解得y1＝6，y2＝－1.
当|x－1|＝6时，x－1＝±6，解得x1＝7，x2＝－5；
当|x－1|＝－1时（不符合题意，舍去），
则原方程的解是x1＝7，x2＝－5.
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8
