教
案
教学基本信息
课题
函数复习
学科
数学
学段：
初中
年级
八年级
教材
书名：《义务教育教科书数学八年级下册》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年12月
教学目标及教学重点、难点
复习函数的基本概念，利用适当的方法表示函数，提高抽象出函数模型的能力，提高识图和画图的能力.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好！在前几节课，我们一起学习了函数的概念，了解到函数有三种不同的表示方式，还学习了如何画函数图象。本节课，我们就对这一单元内容进行复习。
介绍本节课学习内容.
例题
例1．下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母t表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母h表示.（单位：cm）
（1）h是t的函数吗？
提问：什么是函数？
回答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
提问：除了函数这个概念，我们还经常提到函数值，什么是函数值呢？
回答：如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
练习：已知.
y是x的函数吗？为什么？
x=5对应的函数值是多少？
引导学生解答（1）.
（2）反过来，t是h的函数吗？
引导学生解答（2）.
归纳：①根据函数的概念判断是否存在函数关系.
②即使y是x的函数，x也不一定是y的函数.
③坐标系中的曲线并不都反映函数关系.
例2．小明为了研究某种弹簧秤（可测最大质量为8kg）测量物体质量时弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系，做了一些实验并把数据绘制成表格：
物体质量x/kg
0
1
2
4
弹簧长度y/cm
6
8
10
14
（1）弹簧长度y是物体质量x的函数吗？
提问：还有其他表示函数的方法吗？
回答：表示函数的方法有解析式法，列表法以及图象法.
（2）用解析式法表示y与x的函数关系.
回答：函数解析式为y=2x+6.
（3）若弹簧长度为20cm，物体质量为多少？
回答：当y=20时，2x+6=20
,解得x=7
.
∴物体质量为7千克.
（4）用图象法表示y与x的函数关系.
提问：如何画函数图象？
回答：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线（按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.
提问：图象是不是完整的直线？
错误答案：
正确答案：
归纳：①函数有三种表示方法.
②画函数图象时要考虑到自变量的取值范围.
例3．甲、乙两车从A城出发行驶到B城.在整个行程中，汽车离开A城的的距离y与时刻t的对应关系如图所示.
分析：引导学生分析函数图象.
（1）A，B两城相距多远？
回答：A，B两城相距300km.
（2）甲、乙两车的平均速度分别为多少？
回答：甲的平均速度为300÷5=60km/h.
乙的平均速度为300÷3=100km/h.
（3）分别求出甲、乙两车离开A城的距离y与时刻t的函数解析式.
回答：甲：y=60t-300（5≤t≤10）.
乙：y=100t-600（6≤t≤9）.
（4）甲、乙两车何时相遇？
回答：
方法一：60×1=60（km），100-60=40（km/h），
60÷40=1.5（h）.
方法二：设t时刻时乙追上甲，则60(t-5)=100(t-6).
解得t=7.5.
方法三：甲：y=60t-300.
乙：y=100t-600.
60t-300=
100t-600，解得t=7.5.
归纳：①在观察函数图象时，首先要明确横轴和纵轴的意义，其次要明确所给数据的意义.
②对于有些用图象表达的函数关系，可以尝试用函数解析式表达，进而利用解析式解决问题.
例4．甲、乙两个车间加工一批零件，从开始加工到完成共用9天.在此期间，乙车间在加工2天后暂停，引入新设备后继续与甲车间共同完成这项任务.甲，乙两个车间各自加工零件总数y（件）与加工时间x（天）的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差w（件）与加工时间x（天）的对应关系如右图所示．请根据图象信息回答：
（1）图中m的值是
；
（2）乙车间暂停
天之后重新开始加工.
分析：利用表格进行分析
甲乙w第2天16012040第4天320120200第9天720770-50
（1）图中m的值是
770
；
（2）乙车间暂停2天之后重新开始加工；
归纳：出现多幅图象时，可以借助表格进行分析.
通过例1复习函数的概念.让学生意识到要根据函数概念对图象中是否存在函数关系进行识别.
通过提问，复习和巩固函数的概念.
区分函数和函数值.
引导学生再次对图象中反映的对应关系进行识别，同时对函数和函数值进行区分.
引导学生对表格中的数据是否存在函数关系进行识别.
复习函数表示方法.
引导学生使用解析式表示函数关系.
引导学生复习函数图象的概念，复习画函数图象的步骤.
引导学生关注画函数图象的注意事项.
借助反例说明自变量的取值范围对于画函数图象的重要性.
引导学生对函数图象进行分析.
引导学生关注坐标轴的意义，关注对图中数据的分析.
引导学生经历三种不同的解题过程，感受函数方法的作用.
进一步提高对复杂函数图象的分析能力.
引导学生利用表格分析复杂问题的数量关系.
总结
依据函数概念识别是否存在函数关系；函数有三种表示方法；要善于画图，特别关注自变量的取值范围；要善于分析图象，必要时可尝试求出图象所对应的函数解析式进而解决问题。
引导学生梳理知识，关注重点.
作业
甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s.现甲车在乙车前500m处，设x
s（0≤x≤100）后两车相距y
m.用解析式和图象表示y与x的对应关系.
分析变量间的关系获得解析式，并根据解析式和自变量取值范围画出函数图象.(共71张PPT)
初二年级
数学
函数复习
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：cm)
(1)
h
是
t
的函数吗？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，y
是
x
的函数.
函数
如果当
x
=
a
时
y
=
b，那么
b
叫做当自变量的值为
a
时的函数值.
函数值
练习.已知
.
(1)
y
是
x
的函数吗？为什么？
(2)
x
=
5
对应的函数值是多少？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(1)
h
是
t
的函数吗？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(1)
h
是
t
的函数吗？
变量
t
的每一个确定的
值是否都对应唯一的
h
的值？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(1)
h
是
t
的函数吗？
变量
t
的每一个确定的
值是否都对应唯一的
h
的值？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(2)
t
是
h
的函数吗？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(2)
t
是
h
的函数吗？
变量
h
的每一个确定的
值是否都对应唯一的
t
的值？
例1.下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母
t
表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母
h
表示.(单位：
cm)
(2)
t
是
h
的函数吗？
变量
h
的每一个确定的
值是否都对应唯一的
t
的值？
t
是
h
的函数
h
不是
t
的函数
(1)
根据函数的概念判断是否存在函数关系.
(2)
即使
y
是
x
的函数，x
也不一定是
y
的函数.
(3)
坐标系中的曲线并不都反映函数关系.
题目小结
例2.小明为了研究某种弹簧秤(可测最大质量为
8
kg)测量物体质量时弹簧长度
y
(cm)与所挂物体质量
x
(kg)的关系，做了一些实验并把数据绘制成表格：
例2.小明为了研究某种弹簧秤(可测最大质量为
8
kg)测量物体质量时弹簧长度
y
(cm)与所挂物体质量
x
(kg)的关系，做了一些实验并把数据绘制成表格：
(1)
弹簧长度
y
是物体质量
x
的函数吗？
解析式法：
(
x
>
0
)
函数的表示方法
列表法：
图象法：
例2.小明为了研究某种弹簧秤(可测最大质量为
8
kg)测量物体质量时弹簧长度
y
(cm)与所挂物体质量
x
(kg)的关系，做了一些实验并把数据绘制成表格：
(2)
用解析式法表示
y
与
x
的函数关系.
函数解析式为
y
=
2x
+
6
函数解析式为
y
=
2x
+
6
(3)
若弹簧长度为
20
cm，物体质量为多少？
(3)
若弹簧长度为
20
cm，物体质量为多少？
解：当
y
=
20
时，2x
+
6
=
20
,解得
x
=
7
.
∴物体质量为
7
千克.
函数解析式为
y
=
2x
+
6
(4)
用图象法表示
y
与
x
的函数关系.
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
描点法画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线（按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.
函数的图象
函数解析式为
y
=
2x
+
6
注意：x
的取值范围是
0
≤
x
≤
8.
函数解析式为
y
=
2x
+
6
注意：x
的取值范围是
0
≤
x
≤
8.
题目小结
列表
图象
解析式
例3.甲、乙两车从A城出发行驶到B城.在整个行程中，汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的对应关系如图所示.
(1)
A，B
两城相距多远？
解：A，B
两城相距
300
km.
(2)
甲、乙两车的平均速度分别为多少？
(2)
甲、乙两车的平均速度分别为多少？
解：
甲的平均速度
=甲行驶路程÷甲行驶时间
(2)
甲、乙两车的平均速度分别为多少？
解：
甲的平均速度
=甲行驶路程÷甲行驶时间
=
300
÷
5
=
60
km/h.
(2)
甲、乙两车的平均速度分别为多少？
解：
乙的平均速度
=乙行驶路程÷乙行驶时间
=
300
÷
3
=
100
km/h.
(2)
甲、乙两车的平均速度分别为多少？
解：
甲平均速度为:
300
÷
5
=
60
km/h.
乙平均速度为:
300
÷
3
=
100
km/h.
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
甲离开A城的距离
=甲平均速度×甲行驶的时间
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
甲离开A城的距离
=甲平均速度×甲行驶的时间
=
60
(
t
–
5
)=
60t
–
300.
即：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
乙离开A城的距离
=乙平均速度×乙行驶的时间
=
100
(
t
–
6
)=
100t
–
600.
即：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
(3)
分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离
y
与时刻
t
的函数解析式.
解：
甲：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
乙：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
(4)
甲、乙两车何时相遇？
(4)
甲、乙两车何时相遇？
甲、乙两车从A城去B城，甲5:00出发，时速
60
千米；乙6:00出发，时速
100
千米.乙何时追上甲？
(4)
甲、乙两车何时相遇？
甲、乙两车从A城去B城，甲5:00出发，时速
60
千米；乙6:00出发，时速
100
千米.乙何时追上甲？
解：60×1
=
60
(km)，100
–
60
=
40
(km/h)，
60÷40
=
1.5
(h).
答：乙出发
1.5
小时即7:30时追上了甲.
(4)
甲、乙两车何时相遇？
甲、乙两车从A城去B城，甲5:00出发，时速
60
千米；乙6:00出发，时速
100
千米.乙何时追上甲？
解：设
t
时刻时乙追上甲.
速度
时间
路程
甲
60
t
–
5
60
(t–5)
乙
100
t
–
6
100
(t–6)
(4)
甲、乙两车何时相遇？
甲、乙两车从A城去B城，甲5:00出发，时速
60
千米；乙6:00出发，时速
100
千米.乙何时追上甲？
解：设
t
时刻时乙追上甲，则:
60
(t
–
5)=100
(t
–
6).解得
t
=
7.5.
答：7:30时乙追上甲.
(4)
甲、乙两车何时相遇？
“相遇”意味着在某一个时刻，
甲和乙出现在同一地点，
即甲和乙到A城的距离相同.
甲：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
乙：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
(4)
甲、乙两车何时相遇？
解：
甲：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
乙：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
60t
–
300
=
100t
–
600.
解得
t
=7.5.即7:30时乙追上甲.
(4)
甲、乙两车何时相遇？
解：
甲：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
乙：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
60t
–
300
=
100t
–
600.
解得
t
=7.5.即7:30时乙追上甲.
(4)
甲、乙两车何时相遇？
解：
甲：y
=
60t
–
300
(5≤t≤10).
乙：y
=
100t
–
600
(6≤t≤9).
60t
–
300
=
100t
–
600.
解得
t
=7.5.即7:30时乙追上甲.
(1)
在观察函数图象时，首先要明确横轴和纵轴的意义，其次要明确所给数据的意义.
(2)
对于有些用图象表达的函数关系，可以尝试用函数解析式表达，进而利用解析式解决问题.
题目小结
例4.甲、乙两个车间加工一批零件，从开始加工到完成共用
9
天.在此期间，乙车间在加工
2
天后暂停，引入新设备后继续与甲车间共同完成这项任务.
例4.甲、乙两车间各自加工零件总数
y
(件)与加工时间
x
(天)的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差
w
(件)与加工时间
x
(天)对应关系如右图所示．
例4.请根据图象信息回答：
(1)
图中
m
的值是
；
；
(2)
乙车间暂停
天之后重新开始加工．
例4.甲、乙两车间各自加工零件总数
y
(件)与加工时间
x
(天)的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差
w
(件)与加工时间
x
(天)对应关系如右图所示．
例4.甲、乙两车间各自加工零件总数
y
(件)与加工时间
x
(天)的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差
w
(件)与加工时间
x
(天)对应关系如右图所示．
乙车间在加工
2
天后暂停
例4.甲、乙两车间各自加工零件总数
y
(件)与加工时间
x
(天)的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差
w
(件)与加工时间
x
(天)对应关系如右图所示．
第
2
天
第
x
天
第
9
天
甲
乙
w
第
2
天
第
x
天
第
9
天
甲
乙
w
第
2
天
第
x
天
第
9
天
720
甲
乙
w
第
2
天
40
第
x
天
200
第
9
天
720
–50
甲：720
÷
9
=
80
(件/天)
甲
乙
w
第
2
天
160
40
第
x
天
200
第
9
天
720
–50
甲：720
÷
9
=
80
(件/天)
80
×
2
=
160
(件)
甲
乙
w
第
2
天
160
40
第
x
天
200
第
9
天
720
770
–50
乙：
720
–
(–
50)
=
770
(件)
甲
乙
w
第
2
天
160
120
40
第
x
天
200
第
9
天
720
770
–50
甲
乙
w
第
2
天
160
120
40
第
x
天
120
200
第
9
天
720
770
–50
甲
乙
w
第
2
天
160
120
40
第
x
天
320
120
200
第
9
天
720
770
–50
甲
乙
w
第
2
天
160
120
40
第
4
天
320
120
200
第
9
天
720
770
–50
例4.请根据图象信息回答：(1)
图中
m
的值是
770
；
(2)
乙车间暂停
2
天之后重新开始加工．
出现多幅图象时，要注意把握变量之间的关系.必要时，可以借助表格进行分析.列出表格后，要把图中数据补全在表格中.借助表格进行分析更直观.
题目小结
课堂小结
甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为
20
m/s和
25
m/s.现甲车在乙车前
500
m
处，设
x
s
(0≤
x
≤100)后两车相距
y
m.分别用解析式和图象表示
y
与
x
的对应关系.
作业
再见！《函数复习》学习任务单
【学习目标】
复习函数的基本概念，利用适当的方法表示函数，提高抽象出函数模型的能力，提高识图和画图的能力.
【课上任务】
1．下图是一只蚂蚁在墙上爬行的路线图，横轴表示蚂蚁离开起点的水平距离，用字母t表示，纵轴表示蚂蚁距离地面的高度，用字母h表示.（单位：cm）
（1）h是t的函数吗？
（2）t是h的函数吗？
2．小明为了研究某种弹簧秤（可测最大质量为8kg）测量物体质量时弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系，做了一些实验并把数据绘制成表格：
物体质量x/kg
0
1
2
4
弹簧长度y/cm
6
8
10
14
（1）弹簧长度y是物体质量x的函数吗？
（2）用解析式法表示y与x的函数关系.
（3）若弹簧长度为20cm，物体质量为多少？
（4）用图象法表示y与x的函数关系.
3．甲，乙两车从A城出发行驶到B城.在整个行程中，汽车离开A城的的距离y与时刻t的对应关系如图所示.
（1）A，B两城相距多远？
（2）甲、乙两车的平均速度分别为多少？
（3）分别求出甲、乙两辆汽车离开A城的距离y与时刻t的函数解析式.
（4）甲、乙两车何时相遇？
4．甲，乙两个车间加工一批零件，从开始加工到完成共用9天.在此期间，乙车间在加工2天后暂停，引入新设备后继续与甲车间共同完成这项任务.甲，乙两个车间各自加工零件总数y（件）与加工时间x（天）的对应关系如左图所示．甲车间与乙车间加工零件总数之差w（件）与加工时间x（天）的对应关系如右图所示．请根据图象信息回答：
（1）图中m的值是
；
（2）乙车间暂停
天之后重新开始加工.
5．什么是函数？
6．什么是函数值？
7．表示函数的方法有哪些？
8．什么是函数图象？
9．如何画函数图象？
【课后作业】
甲，乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s.现甲车在乙车前500m处，设x
s（0≤x≤100）后两车相距y
m.用解析式和图象表示y与x的对应关系.
【课后作业参考答案】
解：y=500-5x，图象如图.
