(共35张PPT)
初二年级
数学
一元二次方程
问题1
你能举出含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程吗？
(1)
2x2-3
=
0；
(2)
x(x-2)
=
-6；
(4)
-9a2
=
0
；
(3)
-2.4m2+5
=
6m；
(7)
x2+8
=
-6x
；
(9)
x(x+5)
=
0；
(6)
3m(m-1)
=
5；
(5)
3y+1
=
-
y2
；
(10)
-7y2-5
=
0.
(8)
；
以上所列举的方程都符合要求吗?
这是分式方程,不是整式方程，所以不符合要求.
问题
.
请你将所列举的整式方程按照下面要求整理.
(1)二次项系数为正；
(2)等号左边按未知数的降幂排列；
(3)等号右边等于0.
问题2
解:
x(x-2)
=
-6
.
去括号,得
x2-2x
=
-6.
x2-2x+6
=
0
.
移项,得
解：
-2.4m2+5
=
6m
.
移项,得
-2.4m2-6m+5
=
0
.
方程两边同时乘以-1,得
2.4m2+6m-5
=
0.
解:
-9a2
=
0
.
两边同时乘以－1,得
9a2
=
0
.
解:
3y+1
=
-
y2
.
移项,得
降幂排列,得
3y+1
+
y2=0
.
y2
+3y+1
=0
.
解:
3m(m-1)
=
5.
去括号,得
3m2-3m
=
5.
移项,得
3m2
-3m-5
=
0
.
解:
x2+8
=
-6x
.
移项,得
x2
+6x+8
=
0
.
解:
x(x+5)
=
0.
去括号,得
x2+5x
=
0
.
7y2+5
=
0.
解:
-7y2-5
=
0.
两边同时乘以-1,得
整理后的方程：
(1)
2x2-3
=
0；
上述整式方程在结构上有什么共同特点？
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数是2.
(2)
x2-2x+6
=
0
；
(3)
2.4m2+6m-5
=
0；
(4)
9a2
=
0
；
(5)
y2+3y+1
=
0；
(6)
3m2-3m-5
=
0；
(7)
x2
+6x+8
=
0；
(8)
x2+5x
=
0
；
(9)
7y2+5
=
0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是
2
(二次)的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c
=
0（a≠0）.
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
概念
a为什么不等于0，而b和c却可以等于0？
ax2＋bx＋c=0（a≠0）
bx＋c=0.
当a≠0,b或c为0时,此时方程变为:
当a=0时,
ax2＋bx＋c=0
b=0
,
c≠0
ax2＋c=0（a≠0）
b≠0
,
c=0
ax2＋bx=0（a≠0）
b=0
,
c=0
ax2=0（a≠0）
不含有关于x的二次项，
不是一元二次方程.
是一元二次方程.
思考
例1.
将方程3x(x-1)
=
5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号,得
3x2-3x
=
5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10
=
0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，
常数项为-10.
单项式乘以多项式
例2.
判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）x(x-3)
=
10；
（2）3m2+2
=
2(2m+1)；
（3）x(3+x2)+1
=
5；
（4）3y-5
=
4(2-y)；
（5）(k-2)(k+8)
=
6k；
（6）2x(x+3)
=
6x.
解:去括号,得
x2-3x
=
10.
是一元二次方程.
二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-10.
（1）
x(x-3)
=
10.
移项,得
x2-3x-10
=
0.
（2）
3m2+2
=
2(2m+1).
解:去括号,得
3m2+2
=
4m+2.
移项,得
3m2+2-4m-2
=
0.
合并同类项,得
3m2-4m
=
0.
是一元二次方程.
二次项系数为3；一次项系数为-4；
常数项为0.
（3）x(3+x2)+1
=
5.
解：去括号，得
x3+3x+1
=
5.
未知数项的最高次数是3次，不是一元二次方程.
移项，合并同类项，得
x3+3x-4
=
0.
（4）3y-5
=
4(2
-y).
7y-13
=
0.
未知数项的最高次数是1次，不是一元二次方程.
解：去括号，得
3y-5
=
8-4y.
移项，合并同类项，得
（5）
(k-
2)(k+8)
=
6k.
解:
去括号，得
k2+8k-2k-16
=
6k.
移项，合并同类项，得
k2-16
=
0.
是一元二次方程.
二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-16.
多项式乘以多项式
（6）
2x(x+3)
=
6x.
移项,合并同类项，得
2x2
=
0.
解:去括号，得
2x2
+6x
=
6x.
两边同时除以2，得
x2
=
0.
是一元二次方程.
二次项系数为1；一次项系数为0；
常数项为0.
1
x2-3x-10
=
0
-3
-10
3m2-4m
=
0
3
-4
0
k2-16=
0
1
0
-16
方程
二次项系数
一次项系数
常数项
x2
=
0
1
0
0
解题反思
判断方程是否一元二次方程的步骤:
(1)将方程整理成等号左边是按未知数降幂排列，等号右边是0的形式；
(2)未知数项的最高次数是2；
(3)二次项系数不等于0.
练习
1.判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）2a(a+5)
=
10；
（2）3+2m2
=
m(2m-3).
（1）2a(a+5)
=
10.
移项,得
2a2+10a-10
=
0.
是一元二次方程.
二次项系数为2；一次项系数为10；常数项为-10.
解:
去括号，得
2a2+10a
=
10.
（2）3+2m2
=
m(2m-3).
移项，合并同类项，得
3m+3=
0.
未知数项得最高次数是1，不是一元二次方程.
解:去括号，得
3+2m2
=
2m2
-3m.
2.判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.
（1）23-5x
=
x(2-ax)（a≠0）；
（2）-5x
=
x(2-ax).
练习
解：(1)去括号，得
23-5x
=
2x-ax2
.
移项，得
23-5x-2x+ax2
=
0.
合并同类项，得
ax2-7x+23
=
0.
因为a≠0，所以是一元二次方程.
（1）23-5x
=
x(2-ax)（a≠0）.
解:
(2)
去括号,得
-5x
=
2x-ax2.
移项，得
-5x-2x+ax2
=
0.
按x的降幂排列，得
ax2-7x
=
0.
合并同类项，得
-7x+ax2
=
0.
当a≠0时，是一元二次方程.
当a=0时，-7x=0不是一元二次方程.
（2）-5x
=
x(2-ax).
3.请你将下列方程按要求填入下表.
2x2-3
=
0
；
9a2
=
0；
4m2+6m-5
=
0；
2x2-2x
=
0；
x2-3x-10
=
0；
k2-16
=
0；
2a2+10a-10
=
0；
3x2-8x-10
=
0；
y2+3y+1=
0.
3m2-3m-5
=
0；
x2=0；
7y2+5
=
0
；
3m2-4m
=
0；
x2-2x+6
=
0；
x2+5x
=
0
；
ax2+bx+c
=
0（a＞0）
c＞0
c＜0
c
=
0
b＞0
b
=
0
b＜0
x2+5x
=
0.
2x2-3
=
0；
k2-16
=
0.
y2+3y+1=
0.
7y2+5
=
0.
x2-2x+6
=
0.
2x2-2x
=
0；
3m2-4m
=
0.
3m2-3m-5
=
0；
x2-3x-10
=
0；
3x2-8x-10
=
0.
2.4m2+6m-5
=
0；
4m2+6m-5
=
0；
2a2+10a-10
=
0.
9a2
=
0；
x2
=
0.
?
b=0
，c=0
b=0，c≠0或
b≠0，c=0
b≠0，c≠0
9a2
=
0
；
x2
=
0.
7y2+5
=
0
；
2x2-3
=0；
3m2-4m
=
0；
k2-16
=
0
；x2+5x
=
0
；2x2-2x
=
0.
y2+3y+1=
0
；
x2-2x+6
=
0；
2.4m2+6m-5
=
0
；
4m2+6m-5
=
0；
2a2+10a-10
=
0；
3m2-3m-5
=
0；
x2-3x-10
=
0；
3x2-8x-10
=
0.
二次一项式
（结构最简单）
二次二项式
二次三项式
（结构最复杂）
按照方程左侧结构分类
小结
一元二次方程
概念
含有一个未知数.
未知数的最高次数是2.
ax2+bx+c
=
0（a≠0）
二次项
二次项系数
一次项
一次项系数
常数项
一般形式：
判断一元二次方程的步骤:
(1)整式方程；
(2)只含有一个未知数；
(3)将方程整理成等号左边按未知数的降幂排列，
右边是0的形式；
(4)未知数项的最高次数是2；
(5)二次项系数不等于零.
A组：判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)3y
=
4y(2－y)
；(2)x2(3+x)+1=
5x.
B组：判断下列关于x的方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x(3x-2)
=
3(2x2-1)
；
(2)3x2-5
=
x(mx-7)+2x.
作业
同学们再见!《一元一次方程》学习任务单
【学习目标】
1.经历对一元二次方程概念的归纳探究，理解一元二次方程的概念.
2.理解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，并能对一元二次方程进行整理、分类.
3.通过对一元二次方程概念的学习，提升学生自主学习的意识和分类能力，积累数学活动经验.
【课上任务】
1．你能举出含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程吗？
2．以上所列举的方程符合要求吗?
3．你能将上述整式方程按要求整理吗?
①二次项系数为正；
②等号左边按未知数的降幂排列；
③等号右边等于0.
4．上述整式方程在结构上有什么共同特点？
5．a为什么不等于0，而b和c却可以等于0？
6．将方程3x（x
-
1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项.
7．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项.
（1）x（x–3）=10；（2）3m2+2=2（2m+1）；
（3）x（3+x2）+1=5；（4）3y–
5=4（2
–y）；
（5）（k
-
2）（k+8）=6k；（6）2x（x+3）=6x
8．通过这个例题归纳出判断一个方程是否一元二次方程的步骤
9．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2a(a+5)=10；
（2）3+2m2=m(2m-3).
10．判断下列关于x的方程的是不是一元二次方程.
（1）23-5x=x(2-ax)（a≠0）；
（2）-5x=x(2-ax).
11．请你将下列方程按系数的符号填入下表.
2x2－3=0
x2－2x＋6=0
4m2＋6m－5=0
2x2－2x=0
7y2+5=0
x2+5x=0
3m2－3m－5=0
9a2=0
x2-3x-10=0
3m2-4m=0
3x2-8x-10=0
x2=0
k2-16=0
2a2+10a-10=0
y2＋3y＋1=
0
ax2＋bx＋c=0（a＞0）
b＞0
b=0
b＜0
c＞0
c＝0
c＜0
【课后作业】
A组：1.判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3y=4y(2－y)
；
（2）x2(3＋x)＋1=5x.
B组：2.判断下列关于x的方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2x(3x－2)=3(2x2－1)；
（2）3x2－5=x(mx－7)＋2x.
【课后作业参考答案】（给出作业1的答案及过程）
第1题（1）解：方程整理为4y2-5y=0，是一元二次方程，二次项系数是4，一次项系数是-5，常数项是0.
（2）解：方程整理为：x3
+3x2-5x+1=0，不是一元二次方程
第二题（1）不是一元二次方程
（2）当m≠3时时一元二次方程，当m=3时不是一元二次方程.教案
教学基本信息
课题
16.1一元二次方程
学科
数学
学段：初中
年级
八年级
教材
书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2015年1月
教学目标及教学重点、难点
1.经历对一元二次方程概念的归纳探究，理解一元二次方程的概念.
2.理解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，并能对一元二次方程进行整理、分类.
3.通过对一元二次方程概念的学习，提升学生自主学习的意识和分类能力，积累数学活动经验.
教学重点:理解一元二次方程的概念及一般形式
教学难点:根据系数关系对方程进行分类
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们，大家好。在前面的学习中我们学习了整式方程中的一元一次方程和二元一次方程，我们发现将一元一次方程中的未知数的个数由一个变成两个，此时方程就具备了二元一次方程的特征，如果将一元一次方程中的未知数的最高次数由一次变成2次，此时方程又具有哪些特征呢?接下来我们一起来进行今天的学习.
在一元一次方程的基础上进行变化展开今天所学内容
新课
问题1:你能举出含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程吗？
2x2－3=0
，
x(x－2)=－6，
-2.4m2＋5=6m
，，
-9a2=0，3y＋1=－y2
，3m(m－1)=5，-2x2＋2x=0
，x2＋8=－6x，
，x(x+5)=0
，-7y2－5=0
.
问题：以上所列举的方程符合要求吗?
这是分式方程,不是整式方程，所以不符合要求.
问题2：你能将上述整式方程按要求整理吗?
①二次项系数为正；
②等号左边按未知数的降幂排列；
③等号右边等于0.
x(x－2)=－6
解:去括号,得
x2－2x=－6
移项,得
x2－2x＋6=0
-2.4m2＋5=6m
解:移项,得
-2.4m2-6m+5=0
方程两边同时乘以－1,得
2.4m2＋6m－5=0
-9a2=0
解:两边同时乘以－1,得
9a2=0
3y＋1=－y2
解:移项,得
3y＋1＋y2=0
降幂排列,得
y2＋3y＋1=
0
3m(m－1)=5
解:去括号,得
3m2－3m=5
移项,得
3m2－3m－5=0
x2+8=-6x
解:移项,得
x2+8+6x=0.
-2x2＋2x=0
解:两边都同时乘以－1
,得
2x2－2x=0
-7y2-5=0
解:两边都同时乘以－1,得
7y2+5=0
x(x+5)=0
解:去括号,得
x2+5x=0
整理后的方程：
2x2-3
=
0；x2-2x+6
=
0
；2.4m2+6m-5
=
0；9a2
=
0
；y2+3y+1
=
0；3m2-3m-5
=
0；x2
+6x+8
=
0；)
x(x+5)
=
0；-7y2-5
=
0.
问题3：上述整式方程在结构上有什么共同特点？
①只含有一个未知数；
②未知数的最高次数是2；
那么像这样的方程我们可以用ax2＋bx＋c=0（a≠0）来表示
这就是我们今天要学习的一元二次方程.
一元二次方程:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c=0（a≠0）
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
思考：a为什么不等于0，而b和c却可以等于0？
当a=0时，ax2＋bx＋c=0
bx＋c=0
不含有关于x的二次项，不是一元二次方程
当a≠0时b或c为0时,此时方程变为:
ax2＋bx＋c=0（a≠0）b=0,
c≠0ax2＋c=0b≠0,
c=0ax2＋bx=0b=0，
c=0ax2=0
依据一元二次方程的定义可以判断上面的方程是一元二次方程，所以b，c可以取0，因此
b，c取全体实数.
注：一元二次方程是整式方程中的一种，我们今后还会学习更多的方程
通过对方程进行分类，寻找出具有某些共同特征的方程归纳为一元二次方程，从而得出一元二次方程的概念.
例题
例1：将方程3x（x
-
1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项.
(
单项式乘以多项式
)解：去括号，得
3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得到一元
二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
例2:判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项.
（1）x（x–3）=10；（2）3m2+2=2（2m+1）；
（3）x（3+x2）+1=5；（4）3y–
5=4（2
–y）；
（5）（k
-
2）（k+8）=6k；（6）2x（x+3）=6x
解:
（1）2x（x–3）=10
方程整理为:
x2-3x-10=0
是一元二次方程
二次项系数为1
一次项系数为-3
常数项为：-10
（2）3m2+2=2(2m+1)
方程整理为：3m2-4m=0
是一元二次方程
二次项系数为：3
一次项系数为：-4
常数项为：0
（3）x(3+x2)+1=5
方程整理为：x3+3x-4=0
x的最高次数是3次，不是一元二次方程
（4）3y–
5=4(2
–y)
方程整理为：7y-13=0
y的最高次数是1次，不是一元一次方程
(
多项式乘以多项式
)（5）(k-
2)(k+8)=6k
k2+8k-2k-16=6k
移项，合并同类项整理为：k2-16=0
是一元二次方程
二次项系数为1
一次项系数为0
常数项为-15
（6）2x(x+3)=6x
方程整理为：x2=0
是一元二次方程
二次项系数为1
一次项系数为0
常数项为0
方程二次项系数一次项系数常数项x2-3x-10=01-3-103m2-4m=03-401k2-16=010-16x2=0100
解题反思:通过这个例题归纳出判断一个方程是否一元二次方程的步骤:
①将方程整理成等号左边是按未知数降幂排列,右边是0的形式；
②未知数项的最高次数是2；
③二次项系数是否不等于0.
练习：
1.判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2a(a+5)=10；
（2）3+2m2=m(2m-3).
解：（1）2a(a+5)=10
解:将方程整理为：2a2+10a-10=0
是一元二次方程
二次项系数为2
一次项系数为10
常数项为-10
（2）3+2m2=m(2m-3)
解:方程整理为：m+1=0
最高次数是1，不是一元二次方程
2.判断下列关于x的方程的是不是一元二次方程.
（1）23-5x=x(2-ax)（a≠0）；
（2）-5x=x(2-ax).
解：（1）23-5x=x（2-ax）
方程整理为：ax2-7x+23=0
因为a≠0，所以是一元二次方程.
（2）-5x=x(2-ax)
方程整理为ax2-7x=0
当a=0时，方程变为：-7x=0不是一元二次方程.
当a≠0时，是一元二次方程.
3.请你将下列方程按系数的符号填入下表.
（为了便于我们讨论，在整理方程时，一般让二次项系数为正，这样我们只需讨论b和c的情况）
2x2－3=0
x2－2x＋6=0
4m2＋6m－5=0
2x2－2x=0
7y2+5=0
x2+5x=0
3m2－3m－5=0
9a2=0
x2-3x-10=0
3m2-4m=0
3x2-8x-10=0
x2=0
k2-16=0
2a2+10a-10=0
y2＋3y＋1=
0
ax2＋bx＋c=0（a＞0）b＞0b=0b＜0c＞0y2＋3y＋1＝0
7y2+5=0x2－2x＋6＝0c＝0x2+5x＝09a2=0
x2=02x2－2x=0
3m2-4m=0c＜02.4m2＋6m－5=0
4m2＋6m－5=0
2a2+10a-10=0
2x2－3=0
k2-16=0
3m2－3m－5=0
x2-3x-10=0
3x2-8x-10=0
还可以将方程按照左侧结构特点进行如下分类
b＝0
,c＝09a2=0
x2=0二次一项式
（结构最简单）b＝0,c≠0或
b≠0,c＝07y2+5=0
2x2－3=0
k2-16=0
x2+5x＝0
2x2－2x=0
3m2-4m=0二次二项式
b≠0且c≠0y2＋3y＋1＝0
x2－2x＋6＝0
2.4m2＋6m－5=0
4m2＋6m－5=0
2a2+10a-10=0
3m2－3m－5=0
x2-3x-10=0
3x2-8x-10=0
二次三项式
（结构最复杂）
我们将方程按照这样的情况进行分类的目的是为了进一步研究一元二次方程的解法，我们将在下一节课继续探究.
理解一元二次方程的结构特点，利用概念会识别方程的类型，并会将方程化成一般形式，准确确定二次项及系数，一次项及系数和常数项.
总结
小结：本节课所讲内容：
含有一个未知数
概念
未知数的最高次数是2
(
一元二次方程
)二次项系数不为零
一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
判断方程是否一元二次方程的步骤.
(1)整式方程；
(2)只含有一个未知数；
(3)将方程整理成等号左边按未知数的降幂排列，右边是0
的形式；
(4)未知数项的最高次数是否是2；
(5)二次项系数a≠0.
对本节课所学内容进行知识梳理
作业
A组：1.判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3y=4y(2－y)
；
（2）x2(3＋x)＋1=5x.
B组：2.判断下列关于x的方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2x(3x－2)=3(2x2－1)；
（2）3x2－5=x(mx－7)＋2x.
课后巩固练习
