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初二年级
数学
一元二次方程解法
——根的判别式
复习
复习
2.用公式法解一元二次方程的步骤：
复习
3.用公式法解下列方程：
因为
a=
2，b=
-3，c=1，
解：
所以
=9-8=1
＞0.
因为
a=
2，b=
-3，c=1，
解：
所以
=9-8=1
＞0.
因为
a=
2，b=
-3，c=1，
解：
所以
=9-8=1
＞0.
代入公式，得
所以，方程的解为
因为
a=
1，b=
4，c=4，
解：
所以
=16-16
=0.
因为
a=
1，b=
4，c=4，
解：
所以
=16-16
=0.
因为
a=
1，b=
4，c=4，
解：
所以
=16-16
=0.
代入公式，得
所以，方程的解为
=-2.
因为
a=
1，b=
-2，c=3，
解：
所以
=4-12=-8
＜0.
因为
a=
1，b=
-2，c=3，
解：
所以
=4-12=-8
＜0.
接下来，我们一起回顾上面的三个练习题.
因为
a=
1，b=
-2，c=3，
解：
所以
=4-12=-8
＜0.
所以，方程没有实数根.
方程没有实数根.
我们在不解方程的情况下，是否可以判断一
元二次方程实数根的情况呢？
思考
回顾
解：方程两边同时除以a，得
移项，配方，得
可以开平方吗？
开平
方求解.
由于a≠0，有
，
≥0.
开平
方求解.
由于a≠0，有
，
≥0.
所以，方程有实数根.
＜0.
由于a≠0，有
，
通过上面的分析我们发现：
归纳
当一个一元二次方程有实数根时，这两个实数根在什么情况下相等，在什么情况下不相等呢？
思考
正数
正数
方程有两个不相等的实数根.
正数
方程有两个相等的实数根.
综上所述
综上所述
综上所述
综上所述
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
计算
的值.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
25
48
解：
因为
a=1，b=-5，c=-12，
所以
+
=25+48=73
＞0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=1，b=-5，c=-12，
所以
=25+48=73
＞0.
解：
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=1，b=-5，c=-12，
所以
=25+48=73
＞0.
解：
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
解：
整理原方程，
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
1600
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
1600
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
1600
100
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
1600
1600
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
100
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
=1600-1600
=0.
1600
1600
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
100
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
=1600-1600
=0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=16，b=-40，c=25，
所以
=1600-1600
=0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
解：
整理原方程，
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=3，b=-4，c=2，
所以
=16-24=-8
＜0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=3，b=-4，c=2，
所以
=16-24=-8
＜0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
因为
a=3，b=-4，c=2，
所以
=16-24=-8
＜0.
例1.判断下列方程是否有实数根.如果有实数根时，两个实数根是否相等？
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
（1）化方程为一般形式；
（2）确定方程各项系数a，b，c的值；
（3）求判别式
的值；
（4）根据
的值，判别方程根的情况.
提升
提升
x
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
解：
x
≥0.
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根.
?
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根.
方程有两个实数根.
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根.
方程有实数根.
≥0.
≥0.
提升
提升
提升
提升
需证明
提升
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
≥0.
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
≥0.
证明：
提升
因为
a=1，b=
（k+3），c=2k+2，
所以
≥0.
证明：
若方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根，方程的判别式结果如何呢？
思考
归纳
归纳
方程有两个不相等的实数根.
归纳
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
归纳
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
归纳
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
例2.
从已知入手分析.
例2.
这道题有哪些已知条件呢？
例2.
m≠0
分析：
例2.
解：因为
a=m，b=2，c=-1，
所以
=4+4m.
解
,得
2
根据题意，得
m≠0.
4+4m＞0.
1
2
所以，不等式组的解集为m＞-1且m≠0.
m＞-1.
关于x的一元二次方程
有两个
相等的实数根，求m的值.
分析：
m≠0.
变式1：
分析：
=4+4m.
m≠0.
关于x的一元二次方程
有两个
相等的实数根，求m的值.
变式1：
解
,
得
4m=-4.
解：
根据题意，得
m≠0.
4+4m=0.
1
2
2
m=-1.
综上所述，m=-1.
关于x的一元二次方程
有两个
相等的实数根，求m的值.
变式1：
变式2：
分析：
m≠0.
包含哪
几种情形？
或
两个不相
等的实数根.
两个相等
的实数根.
变式2：
分析：
=4+4m.
m≠0.
包含哪
几种情形？
或
两个不相
等的实数根.
两个相等
的实数根.
解
,
得
4m≥-4.
m≥-1.
解：
根据题意，得
m≠0.
4+4m≥0.
1
2
2
所以，不等式组的解集为m≥-1且m≠0.
变式2：
变式3：
分析：
m≠0.
变式3：
分析：
=4+4m.
m≠0.
变式3：
解
,
得
4m＜-4.
解：
根据题意，得
m≠0.
4+4m＜0.
1
2
2
所以，不等式组的解集为m＜-1.
m＜-1.
小结
1.一元二次方程
根的判别式：
小结
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般
步骤：
小结
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般
步骤：
（1）化方程为一般形式；
小结
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般
步骤：
（1）化方程为一般形式；
（2）确定方程各项系数a，b，c的值；
小结
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般
步骤：
（1）化方程为一般形式；
（3）求判别式
的值；
（2）确定方程各项系数a，b，c的值；
小结
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般
步骤：
（4）根据
的值，判别方程根的情况.
小结
小结
方程有两个不相等的实数根.
小结
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
小结
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
分层作业
A层：判断下列方程是否有实数根.如果有实数根
时，两个实数根是否相等？
分层作业
同学们，再见！教
案
教学基本信息
课题
一元二次方程解法——根的判别式
学科
数学
学段：
7——9
年级
八年级
教材
书名：
数学
出版社：
北京
出版日期：2015
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
1.通过用公式法解一元二次方程体会的符号与一元二次方程根的情况之间的关系.
2.会将方程化为一般形式后，用根的判别式判断方程根的情况；反之，由方程根的情况，也可以求出方程中待定字母的取值范围（值）.
3.引导学生认识由特殊到一般的探究问题的方法，以及及时归纳总结的好习惯.
重点：
的符号与一元二次方程根的情况之间的关系
.
难点：认识为什么可以用根的判别式判断一元二次方程根的情况.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
1.一元二次方程
的求根公式为：
当
时，代入求根公式求解.
当b2-4ac
＜0时，方程没有实数根.
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程整理为一般形式
确定各项系数a，b，c的值；
（2）计算式子
的值；
（3）当
时，把a，b
和
的值代入
求根公式计算，最后写出方程的解.
当
时，方程没有实数根.
2.用公式法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为a=2，b=-3，c=1，
所以
.
代入求根公式，得
.
所以，方程的解为
（2）因为a=1，b=4，c=4，
所以
代入求根公式，得
所以，方程的解为
（3）因为a=1，b=-2，c=3，
所以
所以，方程没有实数根.
复习公式法解一元二次方程的基本步骤，为下面的解方程做好准备.
通过亲身经历解方程的过程，体会到一元二次方程的根有不同的情况.
新课
回顾方程一元二次方程
的求解过程
当
当
归纳总结：
当
当
把叫做一元二次方程
是否有实数根的判别式，记作
思考：当一个一元二次方程有实数根时，这两个实数根在什么情况下相等，在什么情况下不相等？
通过观察一元二次方程的求根公式可知，一元二次方程
根的情况：
当
当
当
由浅入深的逐步引导，使学生了解知识的来龙去脉，便于学生对知识的掌握.
归纳总结，及时将知识进行梳理.
例题
例1：判断下列方程是否有实数根.有实数根时，两个实数根是否相等？
（1）
（2）
（3）
（1）
解：因为a=1，b=-5，c=-12，
所以
所以方程
有两个不相等的实数根.
（2）
解：整理原方程，得
因为a=16，b=-40，c=25，
所以
所以方程
有两个相等的实数根.
（3）
解：整理原方程，得
因为a=3，b=-4，c=2，
所以
所以方程
没有实数根.
总结归纳:不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
①化方程为一般形式；
②确定方程各项系数a，b，c的值；
③求判别式
的值；
④根据
的值，判别方程根的情况.
练习:不解方程，判断关于x的一元二次方程
根的情况.
解：因为a=1，b=-（k+3），c=2k+2，
所以
所以方程
总有两个实数根.
练习也可以变一个问法：
无论k取何值，关于x的一元二次方程
总有两个实数根.
证明略.
思考：若方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根，方程的判别式结果如何呢？
归纳：一元二次方程根的情况：
例2.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
解：根据题意，得
m≠0
①
②
解②，得4m＞-4
m＞-1
所以，不等式组的解集为m＞-1且m≠0.
答：当
m＞-1且m≠0时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
变式1:关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值.
解：根据题意，得
m≠0
①
②
解②，得4m=-4
m=-1
综上所述m=-1.
答：当m=-1时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
变式2:关于x的一元二次方程
有两个实数根，求m的取值范围.
解：根据题意，得
m≠0
①
②
解②，得4m≥-4
m≥-1
所以，不等式组的解集为m≥-1且m≠0.
答：当
m≥-1且m≠0时，关于x的一元二次方程有两个实数根.
变式3:关于x的一元二次方程
没有实数根，求m的取值范围.
解：根据题意，得
m≠0
①
②
解②，得4m＜-4
m＜-1
所以，不等式组的解集为m＜-1.
答：当
m＜-1时，关于x的一元二次方程
没有实数根.
利用判别式，在不解方程的情况下判断方程根的情况.
将解题过程进行程序化总结，有利于学生理解并记忆，为后面的正确应用做好准备.
引导学生积极思考，认识到根据方程根的情况，我们也可以得到相应判别式的取值（范围），求出字母的取值（范围）.
引导学生认真审题，理解方程根的情况决定判别式的符号.
根据方程根的情况得判别式的取值范围(值)，在列式时，要注意二次项系数不等于零的条件限制.
总结
1.一元二次方程根的判别式为：
2.不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
①化方程为一般形式；
②确定方程各项系数a，b，c的值；
③求判别式
的值；
④根据
的值，判别方程根的情况.
3.
一元二次方程
根的情况：
当
当
当
对知识进行总结归纳
作业
分层作业：
A层：不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根时，两个实数根是否相等.
B层：关于x的一元二次方程
有实数根，求m的取值范围.
作业分层布置，使不同层次的同学都有所收获，增强学习的积极性.《16.2一元二次方程解法——根的判别式》学习任务单
【学习目标】
1.通过用公式法解一元二次方程体会的符号与一元二次方程根的情况之间的关系.
2.会将方程化为一般形式后，用根的判别式判断方程根的情况；反之，由方程根的情况，也可以求出方程中待定字母的取值范围（值）.
3.引导学生认识由特殊到一般的探究问题的方法，以及及时归纳总结的好习惯.
【课上任务】
1．你还记得用公式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2．用公式法解3个一元二次方程.
（1）
（2）
（3）
3．你能通过具体的解方程过程感受到一元二次方程的根的不同情况吗？.
4．你能根据一元二次方程根的判别式的符号，确定一元二次方程根的情况吗？
5.你知道计算一元二次方程根的判别式需要分几步完成吗？
6．如果已知方程根的情况，你能知晓方程判别式的取值吗？.
【课后作业】
A层：不解方程，判断下列方程是否有实数根，请判断两个实数根是否相等.
解：原方程可化为
.
因为a=1，b=4，c=4，
所以
所以方程
有两个相等的实数根.
解：原方程可化为
.
因为a=1，b=-1，c=-10，
所以
所以方程
有两个不相等的实数根.
B层：关于x的一元二次方程
有两个实数根，求m的取值范围.
解：解：根据题意，得
m-2≠0
①
②
解①，得m≠2
解②，得8m≥7
m≥
所以，不等式组的解集为m≥且m≠2.
答：当
m≥且m≠2时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
