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初二年级
数学
一元二次方程解法
——公式法(一)
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将已知方程化为一般形式；
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到等号右边；
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平
方，使左边配成一个完全平方式，变形为
的形式；
复习
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平
方，使左边配成一个完全平方式，变形为
的形式；
（5）当m≥0时，直接开平方求解.
当m＜0时，方程没有实数根．
2.用配方法解下列方程：
复习
解：
移项，得
配方，得
开平方，得
所以，方程的解为
非负数
解：
移项，得
配方，得
非负数
开平方，得
所以，方程的解为
探索新知
解关于x的一元二次方程：
探索新知
解关于x的一元二次方程：
探索新知
解关于x的一元二次方程：
解：
移项，得
配方，得
可以直接
开平方吗？
分子的符
号决定着
整式的符号
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
所以，方程的解为
当
时，
当
时，
这时
而x取任何实数都不能使
因此方程没有实数根.
当
时，方程的解为
综上所述，
当
时，方程的解为
当
时，方程没有实数根.
综上所述，
总结归纳
总结归纳
总结归纳
总结归纳
总结归纳
总结归纳
当
时，方程的解为
当
时，方程没有实数根.
关于x的一元二次方程：
当
时，方程的解为
关于x的一元二次方程：
当
时，方程没有实数根.
解：因为
b=2，c=-1，
所以
4
+4
解：因为
b=2，c=-1，
所以
代入公式，得
解：因为
b=2，c=-1，
所以
所以，方程的解为
解：因为
b=-3，c=1，
所以
解：因为
b=-3，c=1，
所以
代入公式，得
解：因为
b=-3，c=1，
所以
所以，方程的解为
用不同方法解方程：
解法1：
方程两边同时除以2，得
移项，得
配方，得
配方，得
配方，得
开平方，得
非负数
开平方，得
开平方，得
开平方，得
开平方，得
所以，方程的解为
当
时，方程的解为
当
时，方程没有实数根.
关于x的一元二次方程：
当
时，方程的解为
关于x的一元二次方程：
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
关于x的一元二次方程：
当
时，方程没有实数根.
方程两边同时除以2.
用不同方法解方程：
解法2：
方程两边同时除以2，得
因为
所以
代入公式，得
所以
代入公式，得
所以
代入公式，得
所以
所以，方程的解为
反思
解法1：
方程两边同时除以2，得
移项，得
配方，得
当
时，方程的解为
关于x的一元二次方程：
当
时，方程没有实数根.
方程两边同时除以2.
反思
用配方法解关于x的方程：
用配方法解关于x的方程：
解：由于a≠0
，方程两边同时除以a
，得
用配方法解关于x的方程：
解：由于a≠0
，方程两边同时除以a
，得
用配方法解关于x的方程：
解：由于a≠0
，方程两边同时除以a
，得
移项，得
配方，得
配方，得
配方，得
配方，得
配方，得
配方，得
可以直接
开平方吗？
因为
因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以
所以
分子的符
号决定着
分式的符号.
当
时，
可以开平方，求出方程的实数根.
当
时，
当
时，
可以开平方，求出方程的实数根.
负数没有平方根，方程没有实数根.
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
当
时，开平方，得
移项，得
移项，得
所以，方程的解为
.
当
时，
.
当
时，
＜0.
当
时，
这时
而x取任何实数
因此方程没有实数根.
都不能使
＜0.
综上所述：一元二次方程
综上所述：一元二次方程
当
时，方程的解为
综上所述：一元二次方程
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
综上所述：一元二次方程
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
综上所述：一元二次方程
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
一元二次方
程的求根公式.
综上所述：一元二次方程
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
一元二次方
程的求根公式.
利用求根公式求一元二次方程的解的方法称为公式法.
公式法
试一试
用求根公式解方程：
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
代入公式，得
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
代入公式，得
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
代入公式，得
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
代入公式，得
=9-8=1
试一试
用求根公式解方程：
解：因为
a=2，b=-3，c=1，
所以
＞0.
代入公式，得
=9-8=1
所以，方程的解为
试一试
解法1配方法
：
方程两边同时除以2，
当
时，方程的解为
关于x的一元二次方程：
当
时，方程没有实数根.
解法2
：
方程两边同时除以2，
一元二次方程
当
时，方程没有实数根.
当
时，方程的解为
小结
作业
请同学们尝试用公式法解下列方程:
同学们，再见！教
案
教学基本信息
课题
一元二次方程解法——公式法(一)
学科
数学
学段：
7——9
年级
八年级
教材
书名：
数学
出版社：
北京
出版日期：2015
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.
2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.
3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法.
重点：用配方法推导一元二次方程的求根公式.
难点：一元二次方程求根公式的推导过程.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到等号右边；
（4）配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，变形为
的形式；
（5）当m≥0时，直接开平方求解.
当m＜0，方程没有实数根．
2.用配方法解下列方程：
（1）
解：移项，得
配方，得
开平方，得
所以，方程的解为
，
.
（2）
解：移项，得
配方，得
开平方，得
所以，方程的解为
，
.
复习配方法解一元二次方程的基本步骤，并通过具体方程的求解进一步巩固配方法解一元二次方程，为用配方法解含字母系数的一元二次方程做准备.
新课
解关于x的一元二次方程：.
解：移项，得
配方，得
当
时，开平方，得
所以，方程的解为
当
同学们观察方程(3)的结果不难发现，方程的根是关于b,c的代数式.如果我们把方程(1)，方程(2)看成方程（3）的特殊情况，那么也就是当方程（3）中的b=2,c=-1时，便是方程（1）；当方程（3）中的b=-3，c=1时便是方程（2），所以方程（3）是方程（1），方程（2）的一般形式，我们可以把方程（3）的解看成一个公式，只要带入b，c的值就可以直接求得方程解.我们一起试试看.
（1）
解：因为
b=2，c=-1，
所以
.
代入公式，得
所以，方程的解为
，
.
（2）
解：因为
b=-3，c=1，
所以
代入公式，得
所以，方程的解为
，
.
引导学生类比练习的解题过程尝试解决含有两个字母系数的一元二次方程.
引导学生认识方程（3）得出的结果是公式，接下来用方程（1），方程（2）的结果进行验证，一步步由浅入深，引导学生逐步认识到一元二次方程存在求根公式.
例题
用不同方法解方程：.
方法1：配方法.
所以，方程的解为
方法2：转化成二次项系数为1的一元二次方程，利用上面公式求解.
解：方程两边同时除以2，得
因为
所以
代入公式，得
所以，方程的解为，
同学们比较一下这两种做法不难发现，配方法总是简单重复相同的解题过程，而且对于二次项系数不是1的方程，一次项系数最后为分数的方程解答都是非常复杂的.但是我们发现，套用刚才的公式解法上也需要将二次项系数化为1，b与c都是分数.我们能不能找到一个更一般的结论，无论方程各项系数如何，我们都可以代入公式计算出方程的解.各项系数都一般化的一元二次方程为.
解：方程两边除以a，得
移项，配方得
当时，开平方，得
所以，方程的解为
通过前面的探索，我们得到了一元二次方程的解.我们发现，一元二次方程
的根是由方程未知数的系数a、b、c决定的，由此我们得到了一元二次方程
的求根公式：
公式法：利用求根公式求一元二次方程的解的方法称为公式法.
试一试，用求根公式解方程
.
解：因为a=2，b=-3，c=1，
所以.
代入公式，得
所以，方程的解为
，
通过一题多解，培养学生发散思维，提高灵活运用知识的能力.
在运算过程中比较这两种方法的优劣，思考进一步的优化方案.
引导学生把配方法引向求根公式，主动探究一元二次方程根与系数的关系.
认识一元二次方程的求根公式.
初步尝试用求根公式解方程.
总结
我们用配方法推导出了一元二次方程
的求根公式：
及时对所学知识进行总结.
作业
请同学们尝试用公式法解下列方程:《一元二次方程解法——公式法（一）》学习任务单
【学习目标】
1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.
2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.
3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法.
【课上任务】
1．你还记得用配方法解一元二次方程的基本步骤吗？
2．用配方法解两个一元二次方程，.
3．类比练习中的两个方程求一元二次方程
的解.
4．你能感受到方程
的解可以看成公式吗？凡是符合公式特点的一元二次方程都可以将b，c的值代入公式求出方程的解.
5．用两种方法解方程.
6．你能推导出方程一元二次方程
的求根公式吗？
7.你能根据课堂上老师带你完成的练习独立完成课后作业吗？
【课后作业】
请同学们尝试用公式法解下列方程:
【课后作业参考答案】
