《正比例函数的概念》学习任务单
【学习目标】
正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。
【课上任务】
1．回顾什么是函数？
2．如何判断变量之间的对应关系是函数关系？
3．如何判断一个式子是否表示正比例函数？
4．根据已知条件，如何求正比例函数的解析式？
5．依据函数解析式，如何求当自变量取某一确定的值时，相应的函数值？
6．依据函数解析式，如何求当函数值为某一确定的值时，相应的自变量的值？
7．利用函数知识，如何解决实际情境中的问题？
8．在实际问题中，需要注意什么？
【学习疑问】
9．哪段文字没看明白？
10．哪个环节没弄清楚？
11．有什么困惑？
12．您想向同伴提出什么问题？
13．您想向老师提出什么问题？
14．没看明白的文字，用自己的话怎么说？
15．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
16．同伴提出的问题，您怎么解决？
【课后作业】
17．作业1.
下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
（1）y
=
-8x
（2）
（3）y=5x2+6
（4）y
=
-0.5x-1
（5）
（6）y2=5x
18．作业2.
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加
2
m/s.
（1）求小球速度
v
关于时间
t
的函数解析式.
它是正比例函数吗？
（2）求第
2.5
s
时小球的速度.
19．作业3.
一列火车以90
km/h
的速度匀速前进.
求它的行驶路程
s
关于行驶时间
t
的函数解析式，并画出函数图象.
【课后作业参考答案】
作业1.
（1）是
（2）不是
（3）不是
（4）不是
（5）不是
（6）不是，不是函数.
作业2.
（1）v=2t.
是正比例函数.
∵速度=初始速度+加速度×时间，
∴v=0+2t
=2t.
符合y=kx的形式，所以是正比例函数.
比例系数为2.
（2）当t=2.5时，v=2×2.5=5m/s.
∴第2.5s时，小球的速度为5m/s.
作业3.
（1）s=90t
（t
≥
0）.
∵路程=速度×时间，
∴s=90t（t
≥
0）.
（2）(共29张PPT)
初二年级
数学
正比例函数的概念
什么是函数？
复习回顾
在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y，并且对于
x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，y
是
x
的函数.
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318
km.
设列车的平均速度为300
km/h.
考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
问题
路程=速度×时间
解：（1）京沪高铁列车全程运行时间约需
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318
km.
设列车的平均速度为300
km/h.
考虑以下问题：
（2）京沪高铁列车的行程
y（单位：km）与运行时间
t（单位：h）之间有何数量关系？
问题
路程=速度×时间
解：（2）行程
y
是运行时间
t
的函数.
函数解析式为：
.
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318
km.
设列车的平均速度为300
km/h.
考虑以下问题：
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5
h
后，是否已经过了距始发站1100
km
的南京南站？
问题
路程=速度×时间
解：（3）当
时，
.
∵
750＜1100，∴未到达.
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是，请写出函数解析式.
（1）圆的周长
l
随半径
r
的变化而变化.
（2）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.
思考
质量=密度×体积
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是，请写出函数解析式.
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n
的变化而变化.
思考
总厚度=每本的厚度×本数
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是，请写出函数解析式.
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化.
思考
物体温度=初始温度-每分钟下降的温度×冷冻时间
这些函数解析式有哪些共同特征？
思考
正比例函数
非零常数×自变量
一般地，形如
（k
是常数，
）的函数，叫做正比例函数，其中
k
叫做比例系数.
正比例函数：
比例系数为
300
比例系数为
2π
比例系数为
练习1
下列式子中，哪些表示
y
是
x
的正比例函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
是，比例系数为
不是，形式不符
不是函数，例如：当
时，
是，比例系数为
列式表示下列问题中的
y
与
x
的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（1）正方形的边长为
x
cm，周长为
y
cm.
练习2
是正比例函数
周长=4×边长
列式表示下列问题中的
y
与
x
的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（2）某人一年内的月平均收入为
x
元，他这年（12个月）的总收入为
y
元.
练习2
年收入=12×月平均收入
是正比例函数
列式表示下列问题中的
y
与
x
的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话x
min
的计时费（按0.1元/min收取，通话不足1min按1min收费）.
练习2
月收费额=月租费+单价×时长
不是正比例函数
列式表示下列问题中的
y
与
x
的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（4）一个长方体的长为
2
cm，宽为
1.5
cm，高为
x
cm，体积为
y
cm3
.
练习2
长方体的体积=长×宽×高
是正比例函数
例题1
若
y
与
x
的函数关系是正比例函数，当
时，
.求此正比例函数的解析式.
解：∵
y
与
x
的函数关系是正比例函数，
∴
设
.
∵
当
时，
，
∴
，即
.
∴
正比例函数的解析式为：
.
待定系数法
例题1
若
y
与
x
的函数关系是正比例函数，当
时，
.求此正比例函数的解析式.
当
时，
.
?求
时的函数值.
?当自变量为何值时，函数值为6？
当
时，
.
例题2
现有一块苗圃，其中一面靠墙.
借助围墙（围墙长度大于10m），用篱笆将苗圃向右依次隔成边长为10m的正方形区域.
（1）按照图中的方式，围出2个边长为10
m
的正方形需要几米长的篱笆？围出3个正方形呢？
60米
90米
例题2
（2）如果用
x
表示所围正方形的个数，围出
x
个这样的正方形需要y
米篱笆，那么
y
与
x
之间存在函数关系吗？如果存在，请你写出函数的表达式.
正方形数
需要篱笆的长度
1
30=30×1
2
60=30×2
3
90=30×3
…
…
x
y
y
是
x
的函数
例题2
（3）若围出10个这样的正方形需要多少米篱笆？
当
时，
（米）.
（4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？
当
时，
.
∴可以围出16个这样的正方形.
实际情境
函数模型
例题3
甲，乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10
m/s，乙车的速度是8
m/s，两车同时出发，经过时间为
t
s.
（1）分别写出甲，乙两车赛跑时路程s1，
s2（单位：m）和时间
t（单位：s）的函数表达式及自变量
t
的取值范围.
路程=速度×时间
?
例题3
（2）出发
5
秒后，两车相距多少米？
路程=速度×时间
当
时，
（米），
（米）.
∴两车相距
（米）.
甲，乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10
m/s，乙车的速度是8
m/s，两车同时出发，经过时间为
t
s.
10
m/s
5
s
甲
8
m/s
5
s
乙
甲，乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10
m/s，乙车的速度是8
m/s，两车同时出发，经过时间为
t
s.
例题3
（3）甲、乙两车谁最先到达终点？早到多少秒？
路程=速度×时间
甲车先到达终点.
甲车的时间为
（秒）.
∴甲比乙早到
（秒）.
乙车的时间为
（秒）.
，
，
思考题
已知
与
成正比例，当
时，
，求
y
与
x
的函数关系式.
y
与
x
成正比例：
解：∵
与
成正比例，
∴
设
.
∵
当
时，
，
∴
，即
.
∴
，即
.
待定系数法
课堂小结
2.
将实际情境抽象为函数模型，再用函数的方法解决实际问题.
1.
正比例函数的概念：形如
（k是常数，
）的函数.
作业
1.
下列式子中，哪些表示
y
是
x
的正比例函数？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
.
作业
2.
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加
2
m/s.
（1）求小球速度
v（单位：m/s）关于时间
t（单位：s）的函数解析式.
它是正比例函数吗？
（2）求第
2.5
s
时小球的速度.
作业
3.
一列火车以90
km/h
的速度匀速前进.
求它的行驶路程
s（单位：km）关于行驶时间
t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
再见教
案
教学基本信息
课题
《正比例函数的概念》
学科
数学
学段：
初中
年级
初二
教材
书名：数学八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年11月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：正比例函数的概念，提高将实际问题抽象为函数模型的能力（即数学建模能力）。
教学重点：正比例函数的概念。
教学难点：将实际情境抽象为函数模型，用函数的方法解决实际问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好，今天我们一起来学习正比例函数的概念。
首先，我们一起来回顾什么是函数？
在一个变化过程中，如果有两个变量
x
与
y，并且对于
x
的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，y
是
x
的函数.
复习回顾
引入课题
新课
1.让我们来看看这个问题.
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318
km.
设列车的平均速度为300
km/h.
考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程
y
与运行时间
t
之间有何数量关系？
（3）列车从北京南站出发2.5
h后，是否已经过了距离始发站1100km
的南京南站？
2.思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?
如果是，请写出函数解析式.
（1）圆的周长l
随半径r
的变化而变化.
（2）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m
随它的体积V
的变化而变化.
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h
随练习本的本数n
的变化而变化.
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T
随冷冻时间t
的变化而变化.
3.观察：列出的这5个函数解析式有什么共同的特点？
可以发现：这些式子等式右边都是非零常数与自变量的积的形式.
我们把这样形式的函数叫做正比例函数.
一般地，形如
y=kx（k是常数，k≠0
）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注意，定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0
.
4.做两道练习，加深对正比例函数概念的理解.
练习1：下列式子中，哪些表示
y
是
x
的正比例函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
练习2：列式表示下列问题中的
y
与
x
的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（1）正方形的边长为
x
cm，周长为
y
cm.
（2）某人一年内的月平均收入为
x
元，他这年（12个月）的总收入为
y
元.
（3）某城市的市内电话的月收费额y
（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin
的计时费（按0.1元/min收取，通话不足1min
按1min
收费）.
（4）一个长方体的长为
2
cm，宽为
1.5
cm，高为
x
cm，体积为
y
cm3
.
传授新知
理解概念
概念剖析
例题
例题1：若
y
与
x
的函数关系是正比例函数，当
x=-1
时，y=2.
求此正比例函数的解析式.
解：∵
y
与
x
的函数关系是正比例函数，
∴
设y=kx（k是常数，k
≠
0）.
∵
当
x=
-1
时，y=2，
∴
2=k
×（-1），即k
=-2.
∴正比例函数的解析式为：y
=
-2x.
例题2：现有一块苗圃，其中一面靠墙.
借助围墙（围墙长度大于10m），用篱笆将苗圃向右依次隔成边长为10m的正方形区域.
（1）按照图中的方式，围出2个边长为10
m
的正方形需要几米长的篱笆？围出3个正方形呢？
（2）如果用
x
表示所围正方形的个数，围出
x
个这样的正方形需要
y
米篱笆，那么
y
与
x
之间存在函数关系吗？
（3）若围10个这样的正方形需要多少米篱笆？
（4）用500米篱笆可以围出多少个这样的正方形？
解：（1）60米；90米.
（2）y=30x.
（3）当x=10时，y=30×10=300（米），
所以需要300米篱笆.
（4）当y=500时，x=500÷30=，
所以可以围出16个这样的正方形.
例题3：甲、乙两个小车模型进行百米赛跑，甲车的速度是10m/s、乙车的速度是8m/s.
两车同时出发，经过时间为t
秒.
（1）分别写出甲、乙两车赛跑时路程
s1、s2
和时间
t
的函数表达式及自变量t
的取值范围.
（2）出发5秒后，两车相距多少米？
（3）甲、乙两车谁最先到达终点？早到多少秒？
解：（1）s1=10t（0
≤
t
≤
10）；
s2=8t（0
≤
t
≤
12.5）.
（2）当t=5时，s1=10×5=50（米），
s2=8×5=40（米）.
∴两车相距s1-
s2=50-40=10（米）.
（3）甲车先到达终点.
当s1=100时，甲车的时间为t1=100÷10
=10
（秒）；
当s2=100时，乙车的时间为t2=100÷8
=12.5
（秒）.
∴甲比乙早到t2-
t1=12.5-10=2.5（秒）.
思考：已知y+2与x-1成正比例，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式.
分析：y与x成正比例：
y=kx（k是常数，k
≠
0）.
解：∵
y+2与x-1成正比例，
∴
设
y+2
=
k
(x-1)
（k是常数，k
≠
0）.
∵
当x=2时，y=3，
∴
3+2=k·(2-1)，解得
k
=
5.
∴
y+2
=
5
(x-1)，即
y=5x-7.
学以致用
加深理解
学会应用
提升能力
总结
1.正比例函数的概念：形如
y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数.
2.将实际情境抽象为函数模型，再用函数的方法解决实际问题.
总结提升
方法归纳
作业
1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？
（1）
（2）
（3）y=5x2+6
（4）
（5）
（6）y2=5x
2.
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加
2
m/s.
（1）求小球速度
v
关于时间
t
的函数解析式.
它是正比例函数吗？
（2）求第
2.5
s
时小球的速度.
3.
一列火车以90
km/h
的速度匀速前进.
求它的行驶路程
s
关于行驶时间
t
的函数解析式，并画出函数图象.
巩固新知
体会应用
