人教版2020年春数学九年级下册课件：28．1锐角三角函数（二）（共25张PPT）

(共25张PPT)
28.1锐角三角函数
余弦和正切
人教版数学九年级下册
2.
能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
1.
通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念
。
3.
通过锐角三角函数的学习，培养学生类比学习的能力。
学习目标
如图，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
（一）余弦的定义
讲解新知
我们来试着证明前面的问题：
∵
∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴
∠B=∠E，
从而
sinB
=
sinE，
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边c
邻边b
∠A的邻边
斜边
cos
A
=
从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：
对于任意锐角α，有
cos
α
=
sin
(90°－α),
或sin
α
=
cos
(90°－α).
归纳新知
1.
sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.
sinA、
cosA是一个比值（数值）.
3.
sinA、
cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
注意：
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么cosB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
A
2.
Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，
那么cosB的值为_______
巩固练习
如图，
△ABC
和
△DEF
都是直角三角形，
其中∠A
=∠D，∠C
=∠F
=
90°，则
成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
（二）正切的定义
讲解新知
证明：∵∠C=∠F=90°，
∠A=∠D，
∴Rt△ABC
∽
Rt△DEF
A
B
C
D
E
F
∴
即
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切，记作
tanA.
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
【想一想】
2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
3．在Rt?ABC中，∠C＝90°，如果
那么tanB的值为（
）
A.
B.
C.
D.
D
4.
在Rt?ABC中，∠C＝90°，如果
那么tanA的值为_______.
巩固练习
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
sin
A=
cos
A=
tan
A=
脑中有“图”，心中有“式”
（三）锐角三角函数的定义
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
讲解新知
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
（四）已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
讲解新知
已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．
方法点拨
5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是(
)
6．如图：P是∠
α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos
α
______，tan
α
=
________.
B
A.
B．
C．
D．
α
A
巩固练习
A
B
C
6
又
在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.
（五）已知一边及一锐角三角函数值求函数值
例2
如图，在
Rt△ABC中，∠C
=
90°，BC
=
6，
，求
cosA、tanB
的值．
∴
解：∵在Rt△ABC中，
∴
讲解新知
A
B
C
8
解：∵在
Rt△ABC中，
∴
∴
∴
7.
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AC
=
8，
，
求sinA，cosB
的值．
巩固练习
1.
在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
12，AB
=13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
课堂检测
2.
如图，△ABC
中一边
BC
与以
AC
为直径的
⊙O
相切与点
C，若
BC=4，AB=5，则
tanA=___.
A
B
C
3.
已知
∠A，∠B
为锐角，
(1)
若∠A
=∠B，则
cosA
cosB；
(2)
若
tanA
=
tanB，则∠A
∠B.
(3)
若
tanA
·
tanB
=
1，则
∠A
与
∠B
的关系为：
.
=
=
∠A
+∠B
=
90°
4.如图，在
Rt△ABC
中，∠ACB
=
90°，CD⊥AB，垂足为
D.
若
AD
=
6，CD
=
8.
求
tanB
的值.
解:
∵
∠ACB＝∠ADC
=90°，
∴∠B+
∠A=90°，
∠ACD+
∠A
=90°，
∴∠B
=
∠ACD，
∴
5.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.
求cosB
及
tanB
的值.
解：过点
A
作
AD⊥BC
于
D.
∵
AB
=
AC，
∴
BD
=
CD
=
3，
在
Rt△ABD
中,
A
B
C
D
提示：求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形.
∴
∴