人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课件（19张PPT)

(共19张PPT)
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
与三角形有关的线段
知识回顾
知识回顾
想一想，议一议
我们已经学过三角形的高，还有哪些和三角形有关的线段？
a
b
c
三角形的表示方法
三角形的分类
三角形的三边关系
按按角分按
按
角
分
按
边分
按按角分按
两边之和
按按角分按
两边之差
第三边
大于
小于
C
A
B
学习目标
1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义及画法.
2.掌握三角形的高、中线和角平分线的性质.
3.会利用三角形的三种线段性质来解决实际问题.
课堂导入
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形的底.
┐
A
B
高
底
C
知识点1
新知探究
1、表示方法：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
记作AD⊥BC于点D.
2、三角形高的画法
用三角板过某一顶点向其对边或对边所在的直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.
三角形的高
你能动手试一试吗？
B
C
A
┐
D
知识点1
新知探究
3、分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高
三角形的高
A
B
C
D
E
F
B
A
C
D
A
B
C
D
E
F
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
知识点1
新知探究
三角形的高
总结：（1）锐角三角形的三条高都在内部，三条高的交点也在内部.
（2）直角三角形的两条高与直角边重合，另外一条高在内部，三条高的交点为直角顶点.
（3）钝角三角形的两条高在外部，另外一条高在内部，三条高没有交点，三条高所在直线交于三角形外一点.
2、如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
跟踪训练
新知探究
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（
）
B
B
新知探究
新知探究
知识点2
三角形的中线
1、定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
2、表示方法
AD是△ABC的边BC上的中线，点D是边BC的中点，BD=CD=
BC.
D
C
B
A
新知探究
新知探究
知识点2
3、重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
被三角形中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？
三角形的中线
O
D
C
B
A
新知探究
新知探究
知识点2
三角形的中线
如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小.
4、性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的
两个小三角形.
解：因为AD是△ABC的边BC的中线，
所以BD=CD=
BC.
△ABD的面积为
BD×AE.
△ACD的面积为
CD×AE，和△ABD的面积大小一样.
D
E
┐
B
C
A
新知探究
新知探究
跟踪训练
1、如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份.
利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质.
如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2.
A
B
C
E
D
新知探究
新知探究
知识点3
1、定义：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线.
2、表示方法
AD是△ABC的角平分线，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠BAD=∠CAD=
∠BAC.
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
三角形的角平分线
D
B
C
A
新知探究
新知探究
A
B
C
1、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空.
D
E
F
1
2
3
4
（1）∠1=∠（
）；
（2）∠3=
（
）；
（3）∠ACB=（
）∠4.
2
∠ABC
解析：利用三角形的角平分线的性质进行解答.
2
跟踪训练
随堂练习
1
如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：
（1）BE=（
）=
（
）；
（2）∠BAD=（
）=
（
）；
（3）∠AFB=（
）=90°；
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
解：因为AE为中线，所以点E为BC的中点，BE=CE=
BC.
因为AD为角平分线，所以∠BAD=∠CAD=
∠BAC.
因为AF为高，所以∠AFB=∠CFA=90°.
因为BE=8，所以BC=16，△ABC的面积为
×16×7=56.
CE
BC
∠CAD
∠BAC
∠CFA
B
C
D
┐
E
A
F
随堂练习
2
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿AC翻折180°，使得点B落在点B1的位置，则线段AC具有的性质是（
）
A
C
B
B1
A.是边BB1上的中线
B.是边BB1上的高
C.是∠BAB1的角平分线
D.以上三种性质合一
等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，
即等腰三角形三线合一.
解：∵△ABC翻折得到△AB1C，
∴BC=B1C，∠ACB=∠ACB1=90°，
∠BAC=∠B1AC.
D
随堂练习
3
解：∵△ABC的周长为AB+BC+AC=27cm，AC=9cm，
∴AB+BC=18cm.
(1)
∵△ABD的周长为AB+BD+AD=19cm，AD=6cm，
∴AB+BD=13cm.
(2)
∵BC边上的中线为AD，
∴BC=2BD.
(1)-(2)得：BD=5cm，∴AB=8cm.
如图所示，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上的中线AD为6cm，△ABD的周长为19cm，AB=______.
8cm
C
A
D
B
课堂小结
三角形的高
与三角形有关的线段
三角形的中线
三角形的
角平分线
边的中点，线段相等
重心，三角形面积相等
角相等
角平分线和角的平分线
垂直关系，90°的角
按角分类的三角形，三条高的交点位置
拓展提升
1
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）.
若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.
解：∵在△ABC中，
∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.
∵∠BAC=70°，
∴∠BAE=35°.
∵AD⊥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=10°.
∴
∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°.
D
E
┐
B
A
C