人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角课件（23张PPT)

(共23张PPT)
11.2.2　三角形的外角
与三角形有关的角
知识回顾
1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2、直角三角形的两个锐角互余.
3、有两个角互余的三角形是直角三角形.
练习：1、在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=
2、在Rt△ABC中，锐角∠B=45°，则另一个锐角∠C=
75°.
45°.
学习目标
1、了解三角形外角的概念.
2、理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.
3、熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
课堂导入
邻补角的概念：∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.
邻补角的性质：∠1+∠2=180°.
C
A
B
O
1
2
如果延长△ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的角∠CBD具有什么样的性质呢？
B
C
A
D
知识点1
新知探究
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠CBD就叫做△ABC的外角.
问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系？
问题2：三角形的外角具备什么特征？
问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？
三角形的外角
B
C
A
D
知识点1
新知探究
答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180°.
答案2：三角形的外角具备3个特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一条边；
③另外一条边是三角形某条边的延长线.
答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.
A
B
E
F
C
D
三角形的外角
知识点2
新知探究
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD与∠2，∠3之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
解：∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD+∠1=180°，则∠1=180°-∠CAD.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠1=180°-（∠2+∠3）.
∴∠CAD=∠2+∠3.
分别说明∠CBE与∠1、∠3之间；∠BCF与∠1、∠2之间具有同样的大小关系吗？
三角形外角的性质
知识点2
新知探究
解：∵∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE+∠2=180°，则∠2=180°-∠CBE.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠2=180°-（∠1+∠3）.
∴∠CBE=∠1+∠3.
三角形外角的性质
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CBE与∠1，∠3之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
知识点2
新知探究
解：∵∠BCF是△ABC的外角，
∴∠BCF+∠3=180°，则∠3=180°-∠BCF.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，则∠3=180°-（∠1+∠2）.
∴∠BCF=∠1+∠2.
三角形外角的性质
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠BCF与∠1，∠2之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
知识点2
新知探究
三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
数学语言表示：∠CAD=∠2+∠3.
三角形外角的性质
A
B
E
F
C
D
1
2
3
知识点3
新知探究
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）
=2（∠1+∠2+∠3）.
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
有其他解法吗
三角形的外角和定理
A
B
E
F
C
D
1
2
3
知识点3
新知探究
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CAD+∠1=180°，则∠CAD=180°-∠1，
∠CBE+∠2=180°，则∠CBE=180°-∠2，
∠BCF+∠3=180°，则∠BCF=180°-∠3.
∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）
=540°-（∠1+∠2+∠3）
=360°.
三角形的外角和定理
如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
A
B
E
F
C
D
1
2
3
知识点3
新知探究
推论：三角形的三个外角和等于360°.
三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
表示方法：∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
三角形的外角和定理
A
B
E
F
C
D
1
2
3
跟踪训练
新知探究
1、试说出下列图形中∠1和∠2的度数.
解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.
（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.
（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
60?
80?
1
2
（1）
A
B
C
30?
40?
1
2
（2）
A
B
C
40?
2
1
┌
（3）
A
B
C
随堂练习
1
判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（
）
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（
）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和.
（
）
（4）三角形的外角和等于360°.
（
）
×
×
×
√
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角.
（2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.
（3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
随堂练习
2
如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度数.
B
A
D
C
2
1
┐
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠1+∠2=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=45°.
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.
∵∠C=65°，
∴∠DAC=90°-∠C=25°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
随堂练习
3
如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（
）
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=50°.
A
B
C
D
E
C
随堂练习
4
小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（
）
A.180°
B.210°
C.360°
D.270°
解：∵∠α、∠β是三角形的外角，
∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F
=∠3+∠4+∠D+∠F
=210°.
B
E
B
C
A
F
D
α
β
1
2
3
4
课堂小结
三角形的外角
定义
性质
三角形的
外角和
三角形的外角和等于360°
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
拓展提升
1
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，
将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E转化在同一个三角
形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建出
△BGD和△CFE.
C
A
B
E
F
G
D
拓展提升
1
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角，
∴∠AGF=∠B+∠D.
∵在△CFE中，∠AFG是它的外角，
∴∠AFG=∠C+∠E.
∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
C
A
B
E
F
G
D
拓展提升
2
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E
分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.
利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.
将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所
要证明的结果.
拓展提升
2
证明：∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E.
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴∠BAC=∠E+∠ACE.
∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.
∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证∠BAC=∠B+2∠E.
B
A
C
D
E