人教版八年级数学上册11.3.2多边形的内角和课件（26张PPT)

(共26张PPT)
11.3.2　多边形的内角和
多边形及内角和
知识回顾
1、什么是多边形？
2、什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性质？
3、什么是正多边形？
4、由三角形内角和定理可以得到哪些推论？
5、三角形外角具有什么性质？
学习目标
1、了解并掌握多边形内角和与外角和公式.
2、理解多边形内角和与外角和公式的推导过程.
3、灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
课堂导入
问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？
三角形的内角和是180°.
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
长方形和正方形的内角和都是360°.
问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？
任意一个四边形的内角和是360°.
知识点1
新知探究
探究：请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？
经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内角和为360°.利用对角线将四边形分成三角形来求解.
多边形的内角和
知识点1
新知探究
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形ABCD的内角和.
A
C
B
D
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.
∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.
∴四边形ABCD的内角和为360°.
多边形的内角和
知识点1
新知探究
类比四边形内角和的计算方法，请尝试完成下列填空.
从五边形的一个顶点出发，可以作出（
）条对角线，它们将五边形分成了（
）个三角形，五边形的内角和等于180°×（
）.
从六边形的一个顶点出发，可以作出（
）条对角线，它们将六边形分成了（
）个三角形，六边形的内角和等于180°×（
）.
2
3
3
3
4
4
多边形的内角和
知识点1
新知探究
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
通过以上的探究，多边形的内角和与边数之间有密切的关系.
从n边形的一个顶点出发，可以作出（n-3）条对角线，它们将n边形分成了（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n-2）.
多边形的内角和
例题解析
新知探究
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系？
B
A
C
D
解：若在四边形ABCD中，∠A和∠C互补，则∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360
°-（∠A+∠C）=180°.
则∠B与∠D互为补角.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也互补.
例题解析
新知探究
例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
解答提示：
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
例题解析
新知探究
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总
和是多少？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
例题解析
新知探究
3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
如果是n边形，会得出什么结论呢
六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6=1080°，
六边形的内角和为180°×4=720°，
六边形的外角和为180°×6-180°×4=360°.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
知识点2
新知探究
在n边形的每个顶点处各取一个外角，n边形的外角和等于多少？
性质：多边形的外角和等于360°.
多边形的外角和
n个外角加上与它们相邻的内角等于180°×n，
n边形的内角和为180°×（n-2），
n边形的外角和为180°×n-180°×（n-2）=360°.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
知识点2
新知探究
从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
性质：多边形的外角和等于360°.
多边形的外角和
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
跟踪训练
新知探究
1、求出下列图形中x的值.
120°
80°
75°
x°
解：（1）四边形的内角和为360°，则x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.
（2）四边形的内角和为360°，则∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，因为∠1+x°=180°，所以x=95.
┐
140°
x°
x°
1
（1）
（2）
跟踪训练
新知探究
2、一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
因为各内角都等于120°，所以内角和为120°×n.
由内角和公式得：（n-2）×
180°.
则120°
×n=（n-2）×
180°
，解得n=6.
所以它是六边形.
跟踪训练
新知探究
3、一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
由内角和公式得：（n-2）×180°，
由外角和性质得：（n-2）×180°=360°，
则360°
=（n-2）×180°
，解得n=4.
所以它是四边形.
随堂练习
1
（1）一个多边形的内角和是外角和的一半，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为180°.
内角和为180°的多边形是三角形.
或
内角和为（n-2）×180°，则（n-2）×180°=180°，
解得n=3.
所以它是三角形.
随堂练习
1
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为720°.
内角和为（n-2）×180°，则（n-2）×
180°
=
720°，
解得n=6.
所以它是六边形.
随堂练习
2
已知一个多边形的每一个内角与其相邻外角的比都是7:2，则这个多边形是（
）边形，共有（
）条对角线.
解：设这个多边形的一个内角为7x°，则与其相邻的外角为2x°,
因为每一个内角与其相邻的外角之和为180°，所以
7x°+2x°=
180°
，解得x=20，外角为40°.
边数为360°
÷40°
=9，则这个多边形是九边形.
对角线的条数为
.
九
27
随堂练习
3
一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（
）.
解：截去一个角后，新多边形的边数有可能比原多边形增加1条，也有可能比原多边形减少1条，也有可能跟原多边形一样.
设新多边形的边数为n，
则（n-2）×180°=2520°，解得n=16.
所以原多边形的边数可能为15、16或17.
15，16或17
内角=
,外角=
课堂小结
多边形的
内角和
内角和计算公式
外角和
正多边形
（n-2）×180°（n为≥3的整数）
多边形的外角和等于360°（与边数无关）
拓展提升
1
在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°.
（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；
（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由.
解：（1）设这个外角度数为x°，
则（5-2）×180-（180-x）+x=600，
解得：x=120.
则这个外角为120°.
拓展提升
1
解：（2）存在.
设边数为n，这个外角度数为x?，
则（n-2）×180-（180-x）+x=600，整理得x=570-90n.
∵0所以n=5或n=6.
当n=6时，x=30.
所以这个多边形的边数为6，这个外角的度数为30°.
本题源自《教材帮》
拓展提升
2
分析：多边形的边数不确定，内角和不确定，但是外角和等于360°.
因为∠A1=∠A2=∠A3=90°，所以∠A1、∠A2、∠A3的外角
度数确定.
外角和度数确定，可以判断剩下的外角和的度数.
因为每个内角都是30°的整数倍，所以每个外角都是30°的整数倍.
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
拓展提升
2
解：∵∠A1=∠A2=∠A3=90°
，
∴∠A1、∠A2、∠A3的外角和为270°.
∵
多边形的外角和为360°
,
∴这个多边形其他几个外角的和为90°.
若凸（4n+2）多边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，求n的值.
∵
每个内角都是30°的整数倍，
∴每个外角都是30°的整数倍.
∵90°
÷30°
=3，
∴4n+2≤6，解得n≤1.
∵4n+2为不小于3的正整数，
∴
n=1.