《椭圆的标准方程》
一、教学目标
1、理解椭圆的定义；
2、能由椭圆定义推导出椭圆的标准方程，会根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
3、通过实验启迪智慧，激发学习热情；通过动手操作，提升自己的观察与思考能力．
二、教学重点与难点
教学重点：椭圆的定义和标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导．
三、教学过程
（1）
动画演示，导出新课
在我们的日常生活中会遇到许多圆和椭圆.现在我们来看一个实验：这是一个球，有一束平行光从上往下打下来，它的投影是一个圆.如果改变这束平行光的角度斜着打在球上，它的投影是一个椭圆.
思考：能不能再举一个椭圆的案例？
思考：回忆一下圆是怎样定义的？
老师与同学手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆
（二）观察本质，归纳定义
1．椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：定义中，如果,点的轨迹是什么？线段；
如果,点的轨迹是什么？无轨迹
．
思考：（1）在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）；
（2）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）．
（3）圆是特殊的椭圆吗？
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹，而平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，所以圆不是特殊的椭圆．
（三）合理建系，导出方程
①建系:取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴；
②设点：设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（），则．又与距离之和等于()（常数）；
③列式（限制条件）：即，
④坐标代入；
⑤化简
通过平移以后
两边平方，得：
整理得，
两边平方，得：
整理，得：
由定义,
两边同除以，得到
令代入，得．
它所表示的椭圆的焦点在轴上，坐标为；中心在坐标原点的椭圆方程；
思考：如果椭圆的焦点轴上，它的方程是怎样的呢？
如果椭圆的焦点在轴上，焦点为,可得，其中，也是椭圆的标准方程
把上述两个方程称为椭圆的标准方程.
在与这两个标准方程中，都有，的要求．总是跟着焦点所在轴上．
（四）例题选析，巩固新知
例1、根据椭圆的标准方程,判断下列方程是否表示椭圆？若是，则判断其焦点在哪个轴上？
（1）
（2）（3）（4）
例2、（1）如果椭圆上一点到焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离是______________.
（2）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于,求椭圆方程.
（五）、归纳总结，提高认识
1、椭圆的定义中,
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于），；
2、椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定
（六）、作业布置，充实提高
教材46页1、2、3、4、5题
（七）、动手操作，拓展思维
折纸法画椭圆
（1）在纸片中间(不能是中心点)确定一点P.
??????
?（2）折叠圆，将圆折起一角，使得圆周正好过点F
??????
（3）这样的折叠可以有很多种方式，将尽可能多的折痕都用笔标记出来，观察一下这些折痕.
??????
（2）课题：椭圆的标准方程
一、教学内容解析
1.教材地位分析
“椭圆的标准方程”是继学习“圆”以后运用曲线与二元二次方程之间的联系，用代数知识研究几何问题的又一实例。从知识上说，本节课是对椭圆定义的教学、椭圆标准方程的推导，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。从方法上说，对于定义的理解、辨析以及研究图形的几何性质，提供了一个示范，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和研究方向。
2.教学内容分析
椭圆的定义和标准方程是椭圆的起始课，也是本章的起始课，借助实物演示，从具体情境中抽象出椭圆的概念，再通过椭圆标准方程的推导及对标准方程的认识，加深对椭圆的理解。对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，通过对方程的研究达到对几何图形的研究，也体现了数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。通过对椭圆的学习和研究，为双曲线和抛物线的学习奠定了坚实的基础。
二、教学目标设置
1．揭示椭圆定义的形成过程，掌握椭圆定义。通过归纳总结椭圆定义，提高抽象概括能力。
2．掌握椭圆标准方程。通过对椭圆标准方程的推导和方程的应用，提高运算能力，解决问题的能力。
3．通过椭圆研究的发展史，激发数学学习兴趣，培养探究能力。
三、学生学情分析
1.学生的知识储备分析
在学习本节课前，学生已经学习了曲线与方程，对曲线和方程的思想方法有了一些简单的了解和运用的经验，通过对方程的研究达到对几何图形的研究也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难
2.学生的数学能力分析
高二学生对于直观图形的整体把握形成了一定的认知能力，但要抽象成数学定义还有一定的困难。学生具有一定的逻辑推理能力，但要进行严密的推理也有一定的困难。学生已具有一定的运算能力。
四、教学策略分析
1、体验发现法：用折纸、模板画图的体验，启发学生归纳、概括椭圆定义.?
2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情境中，有利于学生对知识进行主动建构，有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性.
3、数学史在教学的融入：?本节课中?在对椭圆定义与方程的探究过程中，运用数学史将发现椭圆形状，得到椭圆定义，推导椭圆方程有机串接在一起，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养了解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
4.教学重点：椭圆的定义，椭圆的标准方程。
5.教学难点：椭圆定义的教学。
五、教学过程
一、课题引人
展示圆锥曲线：圆、椭圆、双曲线、抛物线。
介绍圆锥曲线的相关应用。
特别对椭圆的图形的认识和应用，引入本节课的课题——椭圆的标准方程。
二、椭圆的初步认识——椭圆定义的得到
梅内克缪斯在研究“倍立方”问题中无意得到圆锥曲线，其中相关椭圆的性质：利用正圆锥，得到椭圆上任意一点M向直径AB引垂线，垂足为Q，则为常数。而后来的数学家阿波罗尼斯将这个性质进一步推广得到椭圆更加简洁明了的性质。而后人就将具有这个性质的圆锥曲线作为椭圆的定义。
那么这个简洁的定义是什么呢？我们自己来通过模板作图能不能得到椭圆上的动点到底满足什么条件呢。
通过作图和折纸归纳总结椭圆定义：平面内到两定点的距离的和为常数2a（2a大于）的动点的轨迹叫椭圆。
通过操作作图，探究以下问题。
1.
2.
如果，，动点M轨迹又是如何？
3.
的几何呈现，焦点，焦距的定义
4.
抽象出）
三、椭圆的进一步认识——椭圆方程的建立
接着前面公元前4世纪，一直到17世纪，笛卡尔的《几何学》诞生了，开始用方程研究几何图形，科学家推导计算出椭圆的方程。
标准方程的推导：
1.引导学生完成“建立适当的直角坐标系”
取过的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴。
设M（x,y）为椭圆上的任意一点，取两定点坐标分别，
又设M与F1,F2距离之和等于2
2.列式：，
3.化简，得：，
4.证明：方程的解为坐标的点都在曲线上
5.换元：
由定义
，
令代入，得：
说明：1.规定b>0,
2.
3.b的几何意义。
4.焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
5.这样建系得出来的方程为标准方程
四、典型例题
例题：求焦点在x轴上，焦距为，且过点（）的椭圆的标准方程。
解一：（定义法）由题意：，故得椭圆方程为
解二：（待定系数法）设椭圆方程为，则，得椭圆方程为
思考题：解决数学史中所提出的问题。
已知椭圆方程为，，，对于此椭圆上的任意一点，是否使为常数？
解：设，则点坐标为
则，
又因为，
故解得
五、小结
本节课以椭圆的历史发展为时间轴，展开今天的学习。通过操作探究学习了椭圆的定义，通过坐标系的建立推导出椭圆标准方程。通过例题的学习加深了对椭圆定义和标准方程的认识。通过对思考题的解决，提高了解决问题和探究问题的能力。
六、椭圆的发展和应用。
说到这里，椭圆的发现到椭圆方程的产生历史就告一段落了，可是数学家对于椭圆的研究远没有止步，1822年的比利时数学家旦德林在1822年构造了旦德林双球模型，利用圆锥的两个内切球，比阿波罗尼斯更加巧妙简便的导出椭圆的定义，同时推广到圆柱也是成立的。这也解释了为什么倾斜杯子，水面椭圆形，球在太阳光线斜射下的影子是椭圆。数学家也发现椭圆在光和声音的传播中有非常好的性质，所以很多的欧式建筑都是椭圆顶，同时天文学家也发现椭圆在天体运动中的重要轨迹路线。
七、作业
1、名词解释：①双球模型
②杰尼西亚的耳朵
2、数学练习部分：习题12.3
A组及B组§12.3
椭圆的标准方程
教学内容分析
《椭圆的标准方程》的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键句“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难。结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，加强对概念的理解。
本小节的难点是椭圆标准方程的推导，在推导过程中应注意以下两点：1、所谓“标准”的两层含义①椭圆的两个焦点均在坐标轴上，②这两个焦点的中点（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的特殊位置的直角坐标系中的方程。2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性。
学情分析及教学设计思路
《椭圆的标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义。在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：
（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、实践、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力。
（2）由动手画图和几何画板演示两个直观的感受出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，推导椭圆标准方程。教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦。
说明：本节课容量很大，有学生探究和体验推导，耗时会很长，所以时间把控会很难。
教学目标
（一）知识与技能
1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；
2、经历椭圆标准方程的推导过程；
3、掌握椭圆的标准方程及、、之间的关系，能根据条件解决一些简单的求椭圆方程问题。
（二）过程与方法
经历椭圆的形成过程，提高观察和归纳问题的能力；通过椭圆标准方程的推导，体会数学的求简意识及分类讨论的思想方法。
（三）情感态度、价值观
增强团队协作能力及探索数学的兴趣，感受数学的对称美、简洁美。
教学重点、难点
重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．
难点：椭圆标准方程的推导．
教学过程：
一、创设情境，引入概念
1.对椭圆的感性认识。利用多媒体，展示生活中常见的椭圆形状的实物以及行星、卫星运行的图片，从感性上认识椭圆。
2．探索实践，画出椭圆。复习圆的定义，并对定义中的“一个定点”“一个定值”推广到“两个定点”“与两个定点距离的和为定值”，引导学生动手画出椭圆。
例1.已知,图中一系列同心圆半径分别是1,2,3,...
在两组同心圆的交点中，描出“与两点距离和为14
”的点并用光滑曲线依次连接所描的交点.
思考：如果距离之和改为10和5呢？该如何描点？
3.几何画板演示椭圆的形成，进一步对椭圆有直观的认识。
二、师生合作，探究新课
1.椭圆的定义：平面内到两个定点、的距离和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点、叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离做焦距．
讨论：为什么要规定，如果或，则动点的轨迹又会如何？
2.椭圆标准方程的推导
回忆求轨迹方程的基本步骤：建系——设点——列式——代入——化简。
（1）建系：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．设定点、的距离为，则、的坐标分别是、．
（2）设点：设是椭圆上的任意一点，点到、
的距离之和等于（）．
（3）列式：根据椭圆定义知，
（4）代入：坐标化得
．
①
（5）化简移项，．
上式两边平方得，．
即
．两边再平方，得，
，．
两边同除以，得，．
∵
，
∴
，令（）得，
（）
②
说明：根据以上推导，椭圆上任一点的坐标都是方程②的解；反过来，可以证明方程②的解为坐标的点都在这个椭圆上（证明略）．所以方程②是这个椭圆的方程．
3．椭圆的标准方程有两种形式，初步体会分类的思想方法．
（1）焦点在轴上，椭圆的标准方程是（）．
，
（2）焦点在轴上，椭圆的标准方程是（）．
，
4．椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数的关系：；
（4）求椭圆标准方程时，有时可运用待定系数法求出的值.
三、探讨例题、完善知识
例2．根据下列条件写出椭圆的标准方程
1、两个焦点的坐标分别是（－2,0）、（2,0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于6。椭圆的标准方程为：
2、两个焦点的坐标分别是（0，3）、（0,-3），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。
椭圆的标准方程为：
例3.下列方程的曲线是椭圆吗？若是，则写出焦点坐标。
1、
2、
3、
4、
四．课堂小结
1.椭圆的定义：
2.椭圆的标准方程：
3.待定系数法求椭圆的标准方程：
五、课后作业布置
作业：练习册：第25页习题12.3
A组
1,2,3;B组第2、3题
F2
F1
y
x
O
M(x,y)
PAGE
4
