人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定课时3课件（23张PPT)

(共23张PPT)
12.2.3　三角形全等的判定
全等三角形的判定
知识回顾
1、什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'.
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
知识回顾
学习目标
1、理解并掌握三角形全等判定“角边角”条件的内容.
2、熟练利用“角边角”条件证明两个三角形全等.
3、通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
课堂导入
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
画法：1、画A′B′=AB.
2、在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，∠EB′A′=∠B，
A′D，B′E相交于点C′.
3、△A′B′C′即为所作三角形.
课堂导入
如图，△A′B′C′就是所求作的三角形.
将原来的△ABC和△A′B′C′叠加在一起，能否完全重合？
结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合.
C
A
B
C′
A′
B′
E
D
知识点1
新知探究
判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
例题解析
新知探究
例1：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A
（公共角），
AC=AB，
∠C=∠B，
∴△ACD≌△ABE（ASA）.
∴AD=AE.
D
E
B
C
A
例题解析
新知探究
例2：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
BC=EF，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
你是不是这样证明的，错在哪里？
A
B
E
D
C
F
例题解析
新知探究
分析：BC，EF不是已知两对角的夹边，在
三角形中，知道两个角的关系，利用三角
形内角和定理可以求得第三个角之间的关
系.通过转化来构造“ASA”的判定条件.
A
B
E
D
C
F
例2：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
例题解析
新知探究
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E，
∴∠C=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E，
BC=EF，
∠C=∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
A
B
E
D
C
F
跟踪训练
新知探究
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一对角
相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题意，有
AB⊥BC，AD⊥DC，则构成∠ABC=∠ADC=90°.
可以选择“ASA”，需要将已知角转化成两角及其
夹边，即可求证.
A
B
C
D
1
2
跟踪训练
新知探究
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC，
∴∠ACB=∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2，
AC=AC（公共边），
∠ACB=∠ACD，
∴△ABC≌△ADC（ASA），
∴AB=AD.
A
B
C
D
1
2
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
跟踪训练
新知探究
如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
F
E
┐
┐
分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用
全等三角形的性质得出对应边相等.注意题目
中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角
形全等即可得出题目要求的结论.
跟踪训练
新知探究
解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC，
则∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC，
BC=DC，
∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）.
∴AB=ED，则DE的长就是AB的长.
A
B
C
D
F
E
┐
┐
随堂练习
1
如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用学过的判定得出△ABC≌△EDC.根据哪个判定？
条件（
），根据（
）.
条件（
），根据（
）.
AB=ED
∠ACB=∠ECD
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C
E
A
D
B
随堂练习
2
如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD.
证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D，
∴∠ABC=∠ABD
（三角形内角和定理）.
在△ABC和△ABD中，
∠1=∠2，
AB=AB（公共边），
∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD（ASA）.
∴AC=AD.
A
B
1
2
C
D
随堂练习
3
如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE.
求证：△ABC≌△DAE.
证明：∵DE//AB，
∴
∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中，
∠CAB=∠EDA，
AB=DA，
∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△DAE（ASA）.
为你支招：有平行线就可以转化出相等的角.
随堂练习
4
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（
）cm.
分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”.
利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键.
随堂练习
4
解：∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∴∠B=∠ACD.
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°.
∴∠ACB=∠FEC.
在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE，
BC=CE，
∠ACB=∠FEC，
∴△ACB≌△FEC（ASA）.
∴
AC=EF.
∵BC=2cm，EF=5cm.
∴
AE=3cm.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（
）cm.
3
三角形全等的判定
分类
探讨
ASA
应用
两角及其夹边分别相等
两角及其中一角的对边分别相等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
利用“ASA”解决实际问题
课堂小结
拓展提升
1
分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等.
C
1
B
E
D
A
2
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.
拓展提升
1
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE，
AC=AE，
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE（ASA）.
∴AB=AD，∠B=∠D.
1
B
E
D
A
2
如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D.