人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定课时4课件（26张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定课时4课件（26张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 733.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-09 07:47:21 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
12.2.4 三角形全等的判定
全等三角形的判定
人教版-数学-八年级上册
知识回顾
1、什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'.
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
知识回顾
4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
知识回顾
学习目标
1、理解并掌握三角形全等判定“角角边”条件的内容.
2、熟练利用“角角边”条件证明两个三角形全等.
3、通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
课堂导入
两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？
在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'.此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
请选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等.
A
B
B'
A'
C
C'
新知探究
已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′.
证明△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′，
∠A=180°-∠B-∠C，
∠A′=180°-∠B′-∠C′，
∴∠A=∠A′.
∠A=∠A′，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
B'
A'
C
C'
知识点1
新知探究
判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
要按照”角—角—边“的顺序书写.
例题解析
新知探究
例1：如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC.
求证：△ABC≌△ADC.
解：在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
┐
A
B
D
C
┐
跟踪训练
新知探究
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
分析：
利用三角形全等的性质说明AB=AC.
AB，AC分别在△AEB和△ADC中，则需要证
明△AEB≌△ADC.
题目中已有一边和两角相等，可以考虑选择
“ASA”或者“AAS”，将∠1=∠2转化成△AEB
和△ADC中相等的角即可.
C
1
B
D
A
E
2
跟踪训练
新知探究
证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2.
∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1.
∵∠1=∠2，
∴
∠AEB=∠ADC.
在△AEB和△ADC中，
∠A=∠A
∠AEB=∠ADC，
BE=CD，
∴△AEB≌△ADC（AAS）.
∴AB=AC.
1
B
D
A
E
2
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
C
知识点2
新知探究
思考：有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？
如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形.
思考：“ASA”和“AAS”之间有什么关系？
在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的.
你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？
知识点2
新知探究
ASA
“ASA”和'AAS”的区别与联系
“S”的意义
书写格式
联系
ASA
“S”是两角的夹边
把夹边相等写在两角相等的中间
由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化
AAS
“S”是其中一角的对边
把两角相等写在一起，边相等放在最后
“ASA”和“AAS”的区别与联系
跟踪训练
新知探究
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，
∴∠A=∠B（三角形内角和定理）.
在△AOC和△BOD中,
∠A=∠B，
OA=OB，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（ASA）.
B
A
O
D
C
跟踪训练
新知探究
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，
∠AOC=∠BOD，
OA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
B
A
O
D
C
随堂练习
1
已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D.求证：BC=ED.
证明：∵AB//CD，
∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中，
∠ACB=∠D，
∠A=∠ECD，
AB=CE，
∴△ACB≌△CDE（AAS）.
∴BC=ED.
A
B
E
C
D
随堂练习
2
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF.
证明：（1）∵AC//DF，
∴∠ACB=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠F，
∠A=∠D，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
A
C
D
F
B
E
随堂练习
2
证明：（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC，
即BE=CF.
等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.
A
C
D
F
B
E
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF.
随堂练习
3
如图，已知AD=BC，AC=BD.
（1）求证：△ADB≌△BCA.
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.
证明：（1）
∵在△ADB和△BCA中，
AD=BC，
AB=BA（公共边），
BD=
AC，
∴△ADB≌△BCA（SSS）.
随堂练习
3
证明：（2）
OA与OB相等，理由如下：
由（1）得：∠D=∠C.
∵在△DOA和△COB中,
∠D=∠C，
∠DOA=∠COB，
AD=BC，
∴△DOA≌△COB（AAS），OA=OB.
如图，已知AD=BC，AC=BD.
（1）求证：△ADB≌△BCA.
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.
课堂小结
三角形全等的判定
AAS
对比
探究
应用
两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等
对比“ASA”和“AAS”的区别和联系
利用“AAS”解决实际问题
拓展提升
1
如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.
若CE=a，
BF=b，EF=c，则AD的长为（
）
A.a+c
B.b+c
C.a-b+c
D.a+b-c
分析：由已知条件可证明△CED和△AFB全等.
将已知的CE、BF通过全等三角形对应边相等
转化成与AD相关的线段求解.
1、利用垂直关系得到相等的角.
2、利用转化的思想将已知条件转化为求解结果.
拓展提升
1
解：设AB，CD相交于点M.
∵CE⊥AD，AB⊥CD，
∴∠AMD=∠CED=90°.
∵∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C.
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°.
∵在△ABF和△CDE中，
∠AFB=∠CED，
∠A=∠C，
AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）.
∴AF=CE=a，BF=DE=b.
∵EF=c，
∴DF=DE-EF=b-c，则AD=AF+DF=a+b-c.
拓展提升
2
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（1）
添加AE=AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，AE=AF，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”.
拓展提升
2
解：（2）
添加∠EDA=∠FDA
，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠EDA=∠FDA，
AD=AD，
∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA）.
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”.
拓展提升
2
解：（3）
添加∠DEA=∠DFA，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠DEA=∠DFA，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“AAS”.
12.2.4 三角形全等的判定
全等三角形的判定
人教版-数学-八年级上册
知识回顾
1、什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'.
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
知识回顾
4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∠C=∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
知识回顾
学习目标
1、理解并掌握三角形全等判定“角角边”条件的内容.
2、熟练利用“角角边”条件证明两个三角形全等.
3、通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
课堂导入
两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？
在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'.此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？
请选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等.
A
B
B'
A'
C
C'
新知探究
已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′.
证明△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′，
∠A=180°-∠B-∠C，
∠A′=180°-∠B′-∠C′，
∴∠A=∠A′.
∠A=∠A′，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
B'
A'
C
C'
知识点1
新知探究
判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
要按照”角—角—边“的顺序书写.
例题解析
新知探究
例1：如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC.
求证：△ABC≌△ADC.
解：在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC（公共边），
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
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A
B
D
C
┐
跟踪训练
新知探究
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
分析：
利用三角形全等的性质说明AB=AC.
AB，AC分别在△AEB和△ADC中，则需要证
明△AEB≌△ADC.
题目中已有一边和两角相等，可以考虑选择
“ASA”或者“AAS”，将∠1=∠2转化成△AEB
和△ADC中相等的角即可.
C
1
B
D
A
E
2
跟踪训练
新知探究
证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2.
∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1.
∵∠1=∠2，
∴
∠AEB=∠ADC.
在△AEB和△ADC中，
∠A=∠A
∠AEB=∠ADC，
BE=CD，
∴△AEB≌△ADC（AAS）.
∴AB=AC.
1
B
D
A
E
2
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
C
知识点2
新知探究
思考：有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？
如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形.
思考：“ASA”和“AAS”之间有什么关系？
在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的.
你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？
知识点2
新知探究
ASA
“ASA”和'AAS”的区别与联系
“S”的意义
书写格式
联系
ASA
“S”是两角的夹边
把夹边相等写在两角相等的中间
由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化
AAS
“S”是其中一角的对边
把两角相等写在一起，边相等放在最后
“ASA”和“AAS”的区别与联系
跟踪训练
新知探究
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，
∴∠A=∠B（三角形内角和定理）.
在△AOC和△BOD中,
∠A=∠B，
OA=OB，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（ASA）.
B
A
O
D
C
跟踪训练
新知探究
解：△AOC和△BOD全等，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB.
∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，
∠AOC=∠BOD，
OA=OB，
∴△AOC≌△BOD（AAS）.
如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明.
B
A
O
D
C
随堂练习
1
已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D.求证：BC=ED.
证明：∵AB//CD，
∴∠A=∠ECD.
在△ACB和△CDE中，
∠ACB=∠D，
∠A=∠ECD，
AB=CE，
∴△ACB≌△CDE（AAS）.
∴BC=ED.
A
B
E
C
D
随堂练习
2
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF.
证明：（1）∵AC//DF，
∴∠ACB=∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠F，
∠A=∠D，
AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
A
C
D
F
B
E
随堂练习
2
证明：（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC，
即BE=CF.
等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角.
A
C
D
F
B
E
如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF.
求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF.
随堂练习
3
如图，已知AD=BC，AC=BD.
（1）求证：△ADB≌△BCA.
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.
证明：（1）
∵在△ADB和△BCA中，
AD=BC，
AB=BA（公共边），
BD=
AC，
∴△ADB≌△BCA（SSS）.
随堂练习
3
证明：（2）
OA与OB相等，理由如下：
由（1）得：∠D=∠C.
∵在△DOA和△COB中,
∠D=∠C，
∠DOA=∠COB，
AD=BC，
∴△DOA≌△COB（AAS），OA=OB.
如图，已知AD=BC，AC=BD.
（1）求证：△ADB≌△BCA.
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由.
课堂小结
三角形全等的判定
AAS
对比
探究
应用
两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等
对比“ASA”和“AAS”的区别和联系
利用“AAS”解决实际问题
拓展提升
1
如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.
若CE=a，
BF=b，EF=c，则AD的长为（
）
A.a+c
B.b+c
C.a-b+c
D.a+b-c
分析：由已知条件可证明△CED和△AFB全等.
将已知的CE、BF通过全等三角形对应边相等
转化成与AD相关的线段求解.
1、利用垂直关系得到相等的角.
2、利用转化的思想将已知条件转化为求解结果.
拓展提升
1
解：设AB，CD相交于点M.
∵CE⊥AD，AB⊥CD，
∴∠AMD=∠CED=90°.
∵∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C.
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°.
∵在△ABF和△CDE中，
∠AFB=∠CED，
∠A=∠C，
AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）.
∴AF=CE=a，BF=DE=b.
∵EF=c，
∴DF=DE-EF=b-c，则AD=AF+DF=a+b-c.
拓展提升
2
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
解：（1）
添加AE=AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，AE=AF，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“SAS”.
拓展提升
2
解：（2）
添加∠EDA=∠FDA
，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠EDA=∠FDA，
AD=AD，
∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA）.
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可以构造一角相等选择“ASA”.
拓展提升
2
解：（3）
添加∠DEA=∠DFA，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△AED和△AFD中，∠DEA=∠DFA，
∠EAD=∠FAD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）.
如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要△AED≌△AFD，可添加一个什么条件？并给予证明.
已有一边和一角分别相等，可以构造一边相等选择“AAS”.