人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时1课件（21张PPT)

(共21张PPT)
12.3.1　角平分线的性质
全等三角形
知识回顾
1、角平分线的概念？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC=
∠AOB.
学习目标
1、会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论
依据.
2、探究并证明角平分线的性质.
3、会用角平分线的性质解决实际问题.
课堂导入
思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
A
D
B
C
E
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中，
AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），∴
∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，
∴AE是这个角的平分线.
知识点1
新知探究
作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于
MN的长为半径画弧”是因为小于
MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于
MN的长为半径画弧时不容易操作.
知识点1
新知探究
作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
知识点1
新知探究
作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
知识点2
新知探究
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
知识点2
新知探究
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；
（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.
知识点2
新知探究
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE.
证明几何命题的一般步骤.
知识点3
新知探究
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
知识点3
新知探究
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
证明几何命题的一般步骤.
例题解析
新知探究
求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.
已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已知和求证.
例题解析
新知探究
已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF.
填空：下列结论一定成立的是（
）
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.
跟踪训练
新知探究
③
O
B
A
C
P
D
图3
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
┐
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE
（OC不是∠AOB的平分线）.
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
跟踪训练
新知探究
O
B
A
C
P
D
图3
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
┐
随堂练习
1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD，
DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B
D
F
E
┐
┐
新知探究
如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（
）
A.PC=PD
B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵
OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）.
∴
∠CPO=∠DPO，OC=OD.
随堂练习
2
B
课堂小结
角平分线
的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决实际问题
拓展提升
1
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（
）
A.10cm
B.7cm
C.8cm
D.不能确定
分析：△DEB的周长为DE+EB+BD.
利用角平分线的性质可得：DC=DE，
利用△CDA和△EDA全等可得：AE=AC，
利用AC=BC，DC=DE，AE=AC来进
行转化.
拓展提升
1
解：在△ABC中，∠C=90°，
∴DC⊥AC.
又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE.
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长为8cm.
C
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（
）
A.10cm
B.7cm
C.8cm
D.不能确定