人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时2课件（24张PPT)

(共24张PPT)
12.3.2　角平分线的判定
角平分线的性质
知识回顾
角平分线的性质？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
学习目标
1、探究并证明角的平分线的判定.
2、会用角的平分线的判定解决实际问题.
3、熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
课堂导入
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？
作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
知识点1
新知探究
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；
（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
知识点1
新知探究
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
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┐
角的平分线的性质定理与判定定理的关系.
知识点2
新知探究
点在角的平分线上
（角的内部）点到角
的两边的距离相等
性质定理
判定定理
正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
知识点3
新知探究
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？
┐
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
A
A
B
B
C
C
A
B
C
知识点3
新知探究
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
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┐
┐
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A
B
C
A
B
B
C
A
C
知识点3
新知探究
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
┐
┐
∵AD为△ABC的角平分线，
∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线，
∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线，
∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
┐
A
知识点3
新知探究
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.
A
B
C
P
1、判断题：
（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（
）
（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（
）
跟踪训练
新知探究
×
×
O
B
A
M
图2
N
O
B
A
Q
M
图1
N
┐
Q
┐
随堂练习
1
如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
随堂练习
2
分析：AD是∠BAC的平分线.
（角的平分线的判定）
DE⊥AB，DF⊥AC
，DE=DF.
（三角形全等的判定）
Rt△DEB≌Rt△DFC.
（直角三角形全等”HL“）
BE=CF，DB=DC.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
随堂练习
2
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.
C
E
A
F
D
B
┐
┐
随堂练习
3
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，
且OF=OD=OE.
（角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
（角的平分线的性质）
∠OBC=∠OBA，
∠OCB=∠OCA.
（三角形内角和定理）
转化为
∠BAC和∠BOC的关系.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（
）.
随堂练习
3
125°
证明：∵OF=OD=OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=55°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（
）.
随堂练习
4
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
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分析：
AC平分∠BAD.
（角的平分线的判定）
CF=CE.
（全等三角形的性质）
△CFB≌△CED.
（全等三角形的判定）
∠ADB+∠ABC=180°，BC=DC（转化已知条件）.
随堂练习
4
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中，
∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
课堂小结
角平分线
的判定
学会用添加辅助线的方法解题
判定
定理
应用
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
拓展提升
1
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.
分析：AE是∠DAB的平分线.
（角的平分线的判定）
点E到AB、AD的距离相等（BE=FE
）.
（等量代换）
BE=CE，EF=CE.
（角的平分线的性质）
DE平分∠ADC，∠DFE=∠C=90°.
A
B
C
E
D
┌
┌
拓展提升
1
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.
A
B
C
E
D
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┌
F
┌
拓展提升
2
如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
求证：点P在∠MON的平分线上.
分析：（1）过点P分别向OM、ON作垂线段，利用角的平分线的判定来证明结论；
（2）等角加（减）等角，其和（差）仍然是等角；
（3）证明两条线段相等利用三角形全等的性质.
O
A
B
P
M
N
证明：过点P分别作PC⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为C，D，
则∠ACP=∠BDP=90°.
在四边形OCPD中，
∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，
∴∠APB=∠CPD.
∴∠APB-∠APD
=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∠APC=∠BPD，
∠ACP=∠BDP，
AP=BP，
∴△APC≌△BPD（AAS）.
∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上.
拓展提升
2
O
A
B
P
M
N
D
C
┌
┌