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第5节 向心加速度
1．速度的变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差，即__________________.
2．速度的变化量是矢量，因为速度是矢量，有大小，有方向，故末速度与初速度之差也有大小和方向．
要点一 速度的变化量
Δv＝vt－v0
1．圆周运动必有加速度：圆周运动是________运动，所以必有加速度．
2．做匀速圆周运动的物体受到的合力指向________，所以其加速度方向一定指向________.
要点二 做匀速圆周运动的物体的加速度方向
变速曲线
圆心
圆心
思考1:
物体做匀速圆周运动的加速度的方向跟速度的方向有怎样的关系？这又有怎样的意义？
提示
垂直．因为做匀速圆周运动的物体的加速度与线速度方向时刻垂直，所以线速度大小保持不变，只改变线速度的方向．
要点三 向心加速度
圆心
rω2
圆心
垂直
对向心加速度的理解应注重以下四点
(1)方向：向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度方向的改变快慢，不表示线速度大小的改变快慢．
(2)物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，不表示线速度大小变化的快慢．
考点一 对向心加速度的理解
(3)圆周运动的性质：向心加速度的方向时刻指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动一定是做变加速曲线运动．
(4)任何圆周运动的线速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度．
(1)匀速圆周运动的加速度即向心加速度，其大小恒定，但方向时刻改变，不要认为它的加速度恒定．
(2)向心加速度不一定就是物体的合加速度，可能还有切向加速度．
(3)向心加速度与线速度垂直，不描述线速度大小的变化快慢，只描述线速度方向的变化快慢．
【例题1】
(多选)关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只表示线速度的方向的改变，不表示线速度的大小的改变
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
思维导引：
(1)正确理解向心加速度的方向及意义．
(2)明确匀速圆周运动向心加速度的特点．
答案
AB
D
【变式1】
关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
答案 A
解析
做圆周运动的物体，向心加速度的方向始终指向圆心，线速度的方向总是沿周围的切线，所以向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，选项A正确，B错误．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻在变，选项C、D错误．
1．向心加速度的几种表达式
考点二 对向心加速度公式的理解
2．向心加速度的推导
如图所示，质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，线速度大小为v.设经时间Δt，质点由A点沿圆周运动到B点，A至B的速度变化量为Δv，速度矢量三角形与△OAB相似，有
【例题2】
(多选)如图所示为质点A、B、C、D做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点A、B的图线是双曲线的一个分支，表示质点C、D的图线是过原点的一条直线．由图线可知( )
A．质点A、B的线速度大小分别随半径的增大而增大
B．质点B的线速度比质点A的线速度大
C．质点C、D的角速度大小随半径的增大不变
D．质点C的角速度小于质点D的角速度
答案 BC
【变式2】
如图所示为P、Q两物体做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，Q是过原点的直线，P是以两个坐标轴为渐近线的双曲线的一部分，从中可以看出( )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
答案 A
1．根据题目中所给的条件，灵活选取向心加速度an的表达式，既可以减少运算又能顺利地求解问题．在求解半径R的大小时，要建立转动物体的空间模型，并结合几何关系求解．
2．对车辆辐条的转动、汽车转弯、皮带传动等生产、生活中的实例，我们可以通过探究它们的a、ω、v、r等各量的变化规律及其关系，抓住关键物理量(a、ω、v等)的关系求解．
考点三 向心加速度的分析与计算
【例题3】
如图所示，A、B两轮绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动(皮带不打滑)，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三轮边缘上的点．求a、b、c三点的向心加速度之比．
【变式3】
如图所示，甲是一个半径为r的固定在转轴上的轮子，乙是一个支撑起来的中空的轮环，内半径为2r，外半径为3r，甲带动乙转动，接触处不打滑，当甲的角速度为ω时，轮环外壁N点的线速度和向心加速度各是多少？
1．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
答案 C
解析
匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只表示速度的方向的改变快慢，选项A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，选项B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，选项C正确；向心加速度的方向是时刻变化的，选项D错误．
答案 ABD
3．如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法正确的是( )
A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B两点的向心加速度之比为2∶1
答案 A
4．如图所示，一轿车以30
m/s的速率沿半径为60
m的圆跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车位移的大小；
(2)此过程中轿车通过的路程；
(3)轿车向心加速度的大小．向心加速度
1．关于做匀速圆周运动的物体的向心加速度的方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
C 解析
匀速圆周运动中，向心加速度方向始终指向圆心，时时刻刻在变化，与线速度方向时刻垂直，选项C正确．
2．下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种平衡状态
B．匀速圆周运动是一种匀速运动
C．匀速圆周运动是一种匀变速运动
D．匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断改变的运动
D 解析
匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向时刻变化，加速度时刻指向圆心，方向也一直变化，合外力提供向心力，选项A、B、C错误，D正确．
3．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，A、B的路程之比为4∶3，运动方向改变的角度之比为3∶2，则A、B的向心加速度大小之比为
( )
A．1∶2
B．2∶1
C．4∶2
D．3∶4
B 解析
根据题意可得A、B的线速度之比为＝，A、B的角速度之比为＝，根据公式a＝ω2r＝vω可得A、B向心加速度之比为＝，选项B正确．
4．如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．向心加速度大小都相等
C 解析
由题图易知A、B、C三点的线速度方向不都相同，角速度相等，半径不都相等，所以根据v＝ωr可得线速度大小不都相等，根据公式a＝ω2r可得向心加速度大小不都相等，故选项C正确．
5．质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是
( )
A．由a＝可知，a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由ω＝可知，ω与r成反比
D．由ω＝可知，ω与T成反比
D 解析
质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比，当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，选项A、B、C错误，D正确．
6．(多选)关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是( )
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
AD 解析
地球上的物体随地球自转过程中，自转的角速度相同，根据公式a＝rω2可知半径越大，加速度越大，故在赤道上向心加速度最大，选项A正确，B、C错误；随着纬度的升高，自转半径在减小，所以自转向心加速度在减小，选项D正确．
7．如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则
( )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
D 解析
传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，选项A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，选项B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度a＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，选项C错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，选项D正确．
8．(多选)如图所示为某种自行车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为3∶1，后轮直径为660
mm，当自行车悬空，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度为5
rad/s时，关于后轮边缘外A点的线速度v和向心加速度a的值正确的是( )
A．v＝9.90
m/s
B．a＝148.50
m/s2
C．v＝4.95
m/s
D．a＝74.25
m/s2
CD 解析
踏板与链轮同轴转动，角速度相等，飞轮与后轮同轴转动，角速度相等，而链轮和飞轮用链条连接，边缘线速度相等，所以飞轮的角速度为踏板角速度的3倍，即15
rad/s，根据v＝rω得后轮的线速度为4.95
m/s，根据a＝vω得向心加速度为a＝74.25
m/s2，选项C、D正确．
[能力提升]
9．(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬在另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速释放，小球到达悬点正下方时，悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．转速突然增大
BCD 解析
悬线碰到钉子时，小球并没有受到水平方向力的作用，速度不变，故选项A错误；而r减小，由v＝ωr可知，ω增大，故选项B正确；由an＝vω知an增大，故选项C正确；由v＝r(2πn)，得n增大，故选项D正确．
10．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的b点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
D 解析
由题意知2va＝2v3＝v2＝vb，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vb＝1∶2，选项A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝ab，即aa∶ab＝1∶8，选项C错误，D正确；＝＝，选项B错误．
11．如图所示，定滑轮的半径r＝2
cm.绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2
m/s2向下做匀加速运动．在重物由静止下落1
m的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度多大？
解析
由v2＝2ah得重物下落1
m的速度
v＝
m/s＝2
m/s，
P点线速度vP＝v＝2
m/s，
由a＝得
a＝＝
m/s2＝200
m/s2.
答案
200
m/s2
12．如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC;
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC．
解析
(1)令vA＝v，由于传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故
vC＝v，所以vA：vB：vC＝2：2：1.
(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式
ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA：ωB：ωC＝1：2：1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a，又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a，所以aA：aB：aC＝2：4：1.
答案
(1)2：2：1 (2)1：2：1 (3)2：4：1
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4向心加速度
1．(匀速圆周运动的向心加速度)关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
[解析] 做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确．
[答案] C
2．(多选)(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度只反映速度的方向变化快慢，不反映速度的大小变化快慢
B．向心加速度就是圆周运动的加速度
C．在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体的合加速度
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的方向不变
[解析] 向心加速度的方向始终指向圆心与速度方向垂直，改变速度的方向不改变速度的大小，在匀速圆周运动中，向心加速度为合加速度，在非匀速圆周运动中，向心加速度不指向圆心，故A、C正确，B、D错误．
[答案] AC
3．(向心加速度与半径的关系)右图为甲、乙两球做圆周运动时向心加速度的大小随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线，由图象可知，甲球运动时，线速度大小________，角速度________；乙球运动时，线速度的大小________，角速度________．(选填“变化”或“不变”)
[解析] 由题图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式an＝可知，甲的线速度大小不变；由题图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式an＝ω2r可知，乙的角速度不变．再由v＝ωr分别得出甲的角速度、乙的线速度的变化情况．
[答案] 不变 变化 变化 不变
4．(向心加速度与皮带传动结合)如图所示，A、B两轮绕轴O转动．A和C两轮用皮带传动，A、B、C三轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三个轮边缘上的点．求a、b、c三点的向心加速度之比．
[解析] 因A、B两轮绕同轴转动，所以有ωa＝ωb，由an＝rω2可得aa∶ab＝2∶3，又因为A和C两轮用皮带传动，所以有va＝vc，由an＝得aa∶ac＝rc∶ra＝3∶2，综上所述，可得aa∶ab∶ac＝6∶9∶4.
[答案] 6∶9∶4
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