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第6节 向心力
1．向心力
(1)定义：做圆周运动的物体受到的指向________的合力，叫做向心力．
(2)大小：Fn＝________＝________.
(3)方向：指向________.
要点一 向心力
圆心
mrω2
圆心
(4)作用效果：只改变物体的________，不改变物体的________.
速度方向
速度大小
2．实验验证
(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在________做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示．
水平面
圆半径r
向心力
合力
1．变速圆周运动：同时具有________加速度和________加速度的圆周运动．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)概念：运动轨迹既不是________也不是________的运动，可称为一般曲线运动．
要点二 变速圆周运动和一般的曲线运动
向心
切向
直线
圆
(2)处理方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一段都可以看作一小段________.这些圆弧具有不同的________，对每一小段都可以采用________的分析方法进行处理．
圆弧
半径
圆周运动
思考：
如图所示，在绳的一端系一小物体(如小塑料球)，另一端用手提住绳头让小物体在光滑的桌面上做匀速圆周运动．这时，你牵绳的手有什么感觉？如果增大或减小小物体的线速度，手的感觉有什么变化？如果松手，将会发生什么现象？
1．向心力：物体做匀速圆周运动的条件是物体时刻受到与速度方向垂直的合外力作用，并且这个合外力总是沿着半径指向圆心，所以叫向心力．
2．向心力是效果力：向心力的作用效果只是改变速度方向不改变速度大小，它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力．
考点一 对向心力概念的理解
3．向心力是变力：向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力．
4．向心力的意义：质点做圆周运动时，任一时刻都有沿切线方向飞走的趋势，而向心力的作用正是使质点沿圆轨道运动，如果某一时刻失去向心力，质点从这时刻起就沿切线方向飞走．
【例题1】
下列关于向心力的说法正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒定不变的
D．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
思维导引：
理解向心力的意义、作用效果、矢量性及来源．
答案 B
解析
力与运动改变是因果关系，物体受力情况决定物体的运动情况，是因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为物体做圆周运动才产生向心力，运动不能产生力，故选项A错误；向心力与速度方向垂直，不改变物体速度大小，其作用效果体现在改变物体运动方向上，故选项B正确；力是矢量，做匀速圆周运动的物体，其向心力大小不变，但方向不断改变，故选项C错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，不是另外受到的力，故选项D错误．
【变式1】
(多选)关于向心力，下列说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以向心力不能改变线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力由所受的合外力提供
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案 BC
解析
做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，选项A、D错误，B、C正确．
考点二 向心力的来源
3．常见向心力来源实例
(1)“向心力”可能是重力(万有引力)，如图甲所示．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供向心力．
(2)“向心力”可能是弹力，如图乙所示．物体在光滑平面上，在绳的拉力作用下做匀速圆周运动，拉力(弹力)提供向心力．
(3)“向心力”可能是摩擦力，如图丙所示．物体随转盘做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力．
(4)“向心力”可能是重力、弹力的合力沿半径方向的分力，如图丁所示．摆球做变速圆周运动，摆线的拉力与重力在摆线方向的分力共同提供向心力．
【例题2】
一端固定在光滑水平面上O点的均匀细线，A、B、C各处依次拴着质量相同的小球A、B、C，如图所示．现将它们排成一条直线，并使细线拉直，让它们在水平面内绕O点做圆周运动．如果增大转速，细线OA、AB、BC三段线中先断的是( )
A．OA
B．AB
C．BC
D．不能确定
思维导引：
(1)分析A、B、C的受力．
(2)根据F向＝mω2r列式．
(3)求出OA、AB、BC各段受力，再判断．
答案 A
解析
同一条细线，OA、AB、BC各段所承受的最大拉力是相等的．当转速增大时，实际拉力大的先断，所以此题的关键是求出OA、AB、BC各段的拉力与转速的关系．
对C有FC＝mω2rC．
对B有FB－FC＝mω2rB，
则FB＝FC＋mω2rB＝mω2(rB＋rC)．
对A有FA－FB＝mω2rA，
则FA＝F
B＋mω2rA＝mω2(rA＋rB＋rC)．
显然，在同一转速下OA段所受的实际拉力最大，所以转速增大时，三段线中的OA段最先断．
【变式2】
(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
答案 CD
解析
如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力，因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选项C、D正确．
几种常见的匀速圆周运动的实例分析
考点三 分析匀速圆周运动问题的方法
解决圆周运动问题的主要步骤
【例题3】
(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动．则下列说法正确的是( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
答案 AB
【变式3】
如图所示的圆锥摆，摆线与竖直方向的夹角为θ，悬点O到圆轨道平面的高度为h.下列说法正确的是( )
A．摆球质量越大，则h越大
B．角速度ω越大，则摆角θ也越大
C．角速度ω越大，则h也越大
D．摆球周期与质量有关
答案 B
1．关于向心力的说法正确的是
( )
A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力
B．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其所受向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
答案 B
解析
向心力是一种效果力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，但应注意它不是物体受到的一种新力，故选项A错误；向心力只改变物体运动的方向，不改变速度的大小，故选项B正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故选项C错误；只有在匀速圆周运动中，合力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体受到的合力，故选项D错误．
2．如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
答案 C
解析
由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡，而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O.
3．当圆锥摆的摆长L一定时，圆锥摆运动的周期T与摆线和竖直线之间夹角θ的关系是( )
A．角θ越小，周期T越长
B．角θ越小，周期T越短
C．周期T的长短与角θ的大小无关
D．条件不足，无法确定
答案 A
4．如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是( )
A．FA>FB>mg
B．FAC．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB>mg
答案 A向心力
1．如图所示，一辆轿车正在水平路面上转弯，下列说法正确的是( )
A．水平路面对轿车弹力的方向斜向上
B．轿车受到的静摩擦力提供转弯的向心力
C．轿车受到的向心力是重力、支持力和牵引力的合力
D．轿车所受的合力方向一定与运动路线的切线方向垂直
B 解析
水平路面对轿车弹力的方向竖直向上，选项A错误；轿车受到的静摩擦力提供转弯的向心力，选项B正确，C错误；轿车正在水平路面上转弯时，有指向圆心的向心加速度，还可能有沿运动方向的加速度，其合加速度不一定指向圆心，故轿车所受的合外力的方向不一定垂直于运动路线的切线方向，选项D错误．
2．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(图中O为圆心)正确的是( )
C 解析
Ff与F的合力不指向圆心，没有力提供向心力，故选项A错误；Ff与F的合力不指向圆心，雪橇受到的滑动摩擦力不应指向圆心，应与速度方向相反，故选项B错误；雪橇受到向后的滑动摩擦力，拉力与滑动摩擦力的合力指向圆心，拉力偏向圆的内侧，故选项C正确，D错误．
3．如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为
( )
A．
B．
C．
D．
C 解析
当圆筒的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为FN，要使物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω0＝，选项C正确．
4．(多选)上海锦江乐园的“摩天转轮”的直径达98
m，游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25
min，每个厢轿共有6个座位．试判断下列说法正确的是
( )
A．每时每刻，每个人受到的合力都不等于零
B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
D．质量为50
kg的乘客在运动中所受合力大小约为0.043
N
AD 解析
转轮匀速转动，位于其厢轿中的人亦做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，有加速度(向心加速度)，故人所受合力不为零．同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心力的方向随时改变，因此，座位对人的压力必定要发生变化(最高点与最低点明显不同)．另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，F＝mω2r＝50×()2×
N≈0.043
N，故选项A、D正确．
5．如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ.当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为F，则
( )
A．F＝μmg
B．F＜μmg
C．F＞μmg
D．无法确定F的值
C 解析
滑块下滑，到达水平面之前做圆周运动，在圆轨道的最低点，弹力大于重力(FN－mg＝m)，故摩擦力最大值F＞μmg.
6．一小球沿着竖直光滑的圆弧形轨道下滑，如图所示，在下滑过程中( )
A．它的加速度始终指向圆心
B．它所受合外力大小变化，方向指向圆心
C．它所受合外力大小不变
D．轨道的弹力大小不断增加
D 解析
小球下滑过程速度逐渐增大，受重力和支持力，合外力不指向圆心，且大小变化，向心力逐渐增大，重力沿垂直圆弧方向的分量也逐渐增大，所以轨道弹力逐渐增大．
7．如图所示，忽略摩擦，甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80
kg，M乙＝40
kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，两人相距0.9
m，弹簧测力计的示数为9.2
N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40
m/s
B．两人的角速度相同，都为6
rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45
m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3
m，乙为0.6
m
D 解析
设甲、乙两人所需向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，则
F向＝M甲ω2r甲＝M乙ω2r乙＝9.2
N，
①
r甲＋r乙＝0.9
m，
②
由①②两式可解得r甲＝0.3
m，r乙＝0.6
m，ω＝0.62
rad/s，选项D正确，B、C错误；根据v＝ωr，易知，选项A错误．
8．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
D 解析
圆周运动，径向方向一定受力．匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力，加速沿a方向，减速沿a反方向．摩擦力即为径向方向和切向方向这两个方向上力的合力，由此可判断，选项D正确．
[能力提升]
9．如图所示，小物块从半球形碗边的a点下滑到b点，碗内壁粗糙．物块下滑过程中速率不变，下列说法正确的是
( )
A．物块下滑过程中，所受的合力为零
B．物块下滑过程中，所受的合力越来越大
C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变
D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变
C 解析
由题意知小物块做匀速圆周运动，合力大小不变，方向时刻改变，总是沿半径方向指向圆心，故选项C正确．
10．(多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大，后保持不变
C．A受到的静摩擦力是先增大后减小
D．B受到的合外力一直增大
BD 解析
因为是B先使绳子产生拉力的，所以当绳子刚好产生拉力时A受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，此后A的向心力一部分将会由绳子拉力来提供，静摩擦力会减小，而在产生拉力前A的静摩擦力是一直增大的，产生拉力后，A的静摩擦力先减小后增大，故选项A、C错误；由于A的半径比B小．根据向心力公式Fn＝mω2R可知
A、B的角速度相同，所以A所需向心力比B小，因为两物体的最大静摩擦力一样，所以B物体的静摩擦力会先不足以提供向心力而使绳子产生拉力，之后随着速度的增大，静摩擦力已经最大不变了，绳子拉力不断增大来提供向心力，所以B所受静摩擦力是先增大后不变的，故选项B正确；在转动过程中，两物体都需要向心力来维持，一开始是静摩擦力提供向心力，当摩擦力不足以提供向心力时，绳子的拉力就会来做补充，速度再快，当这两个力的合力都不足以提供向心力时，物体将会发生相对滑动，根据向心力公式，Fn＝m可知，在发生相对滑动前物体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体的合力，故选项D正确．
11．如图所示，已知绳长为l＝0.2
m，水平杆长度为l′＝0.1
m，小球质量为m＝0.3
kg，整个装置可绕竖直轴转动．要使绳子与竖直方向成θ＝45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？此时绳子的张力多大？(g取10
m/s2)
解析
小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．小球受力如图所示，则
在竖直方向上有Fcos
θ＝mg，
在水平方向上有Fsin
θ＝mω2r，
且r＝l′＋lsin
θ，
联立以上各式，代入数据解得ω＝6.44
rad/s，F＝4.24
N.
答案
6.44
rad/s
4.24
N
12．如图所示，绳一端系着质量为M＝0.6
kg的物体A(可视为质点)，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.3
kg的物体B(可视为质点)，A与圆孔O的距离r＝0.2
m，A与水平面间的最大静摩擦力为2
N．现使此平面绕中心轴线运动，问角速度ω在什么范围内可使质量为m的物体B处于静止状态？(g取10
m/s2，结果保留两位有效数字)
解析
设质量为M的物体A受到的拉力为FT、摩擦力为Ff，
当ω有最小值时，静摩擦力方向背离圆心且最大，根据牛顿第二定律，对质量为m的物体B有FT＝mg，对质量为M的物体A有FT－Ffm＝Mrω，所以ω1≈2.9
rad/s.
当ω有最大值时，水平面对质量为M的物体A的静摩擦力方向指向圆心且最大，根据牛顿第二定律，对质量为M的物体A有FT＋Ffm＝Mrω，所以ω2≈6.5
rad/s.
故2.9
rad/s≤ω≤6.5
rad/s.
答案
2.9
rad/s≤ω≤6.5
rad/s
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5向心力
1．(多选)(对向心力的理解)关于向心力，以下说法中不正确的是( )
A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力
B．向心力就是由匀速圆周运动的物体所受的合外力提供的
C．向心力是做匀速圆周运动的物体速度方向变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
[解析] 根据向心力的定义、作用效果、向心力的来源和物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可知选项A、D符合题意．
[答案] AD
2．(向心力的提供)有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是( )
A．圆筒壁对车的静摩擦力
B．筒壁对车的弹力
C．摩托车本身的动力
D．重力和摩擦力的合力
[解析] 当车子和人在竖直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供，B正确．
[答案] B
3．(匀速圆周运动问题)如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
A.
B.
C.
D.
[解析]
对物块受力分析知Ff＝mg，FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D选项正确．
[答案] D
4．(变速圆周运动问题)如图所示，质量为1
kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2
m/s，已知球心到悬点的距离为1
m，重力加速度g＝10
m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
[解析] 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋
＝
N＝14
N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14
N.
[答案] 14
N
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