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第7节 生活中的圆周运动
1．运动特点：火车转弯时实际是在做________，因而具有__________________.
要点一 火车转弯
圆周运动
向心加速度
2．轨道设计：转弯处外轨略________内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是________的，而是_________________，它与重力G的合力指向________，为火车转弯提供一部分________.适当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由_________________来提供．
高于
竖直向上
斜向弯道的内侧
圆心
向心力
重力和支持力的合力
1．汽车过拱形桥时的运动也可以看作________.
2．凸形桥：汽车通过桥的最高点时，汽车对桥的压力________汽车的重力；而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力________.
3．凹形桥：汽车通过桥的最低点时，汽车对桥的压力________汽车的重力；而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力________.
要点二 汽车过拱形桥
圆周运动
小于
越小
大于
越大
1．航天器中地球引力为物体提供绕地球做圆周运动所需的________，物体和与它接触的其他物体之间________相互作用力，物体处于完全失重状态．
2．只受重力的飞行器中都是一个________环境．
要点三 航天器中的失重现象
向心力
没有
完全失重
1．离心运动：在向心力________或合力_______________所需的向心力时物体将_____________飞出或者做离圆心________的曲线运动，这种运动叫离心运动．
2．发生离心现象的条件：向心力________或合力__________________________所需的向心力．
要点四 离心运动
突然消失
不足以提供圆周运动
沿切线方向
越来越远
突然消失
不足以提供圆周运动
思考：
握住体温计的顶部用力甩，就能把水银甩回玻璃泡内．如何解释这个现象呢？大医院每天要用数千支温度计，如果一个个地甩，是很费时间的，那么大医院是怎样做的呢？
提示
水银做离心运动；医院通过专门的仪器来操作．
1．向心力来源：实际在修筑铁路时，要根据火车转弯处的半径R和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供，如图所示．
考点一 火车转弯
当火车车轮与内、外轨间无侧压力时，向心力的方向是水平的，而不是沿斜面向下的，即向心力是弹力的水平分力，而不是重力沿斜面的分力．
【例题1】
铁路转弯处的圆弧半径是300
m，轨距是1
435
mm，规定火车通过该弯道时的速度是72
km/h，求内、外轨的高度差多大时才能使铁轨不受轮缘的挤压．(g取9.8
m/s2)
由于tan
α很小，可以近似认为
sin
α＝tan
α.
所以内外轨高度差
h＝dsin
α＝1.435×0.136
m＝0.195
m.
答案
0.195
m
【变式1】
例题1中，如果该弯道内、外轨等高，火车以72
km/h
通过弯道时，火车对轨道的横向压力是重力的几倍？容易对哪侧钢轨造成损害？(g取10
m/s2)
考点二 汽车过桥问题
【变式2】
如图所示，汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧拴一个质量为m的小球．当汽车在水平面上匀速行驶时弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长度为L2，下列说法正确的是( )
A．L1＝L2
B．L1＞L2
C．L1＜L2
D．前三种情况均有可能
答案 B
解析
设弹簧原长为L0，则
k(L1－L0)＝mg，
mg－k(L2－L0)＝ma，所以L1＞L2，故选项B正确．
1．对离心运动的理解
考点三 离心运动
离心运动的本质特征
物体做离心运动并不是受到所谓离心力的作用，而是做圆周运动时向心力突然不足或消失，由于惯性而做离心运动．
【例题3】
关于离心运动，下列说法正确的是( )
A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或变小时将做离心运动
思维导引：明确物体做离心运动的原因以及离心运动的本质是解题的关键．
答案 D
解析
物体做什么运动取决于物体所受合力与物体所需向心力的关系，当合力大于所需要的向心力时，物体做“向心”运动，当合力小于所需要的向心力时，物体做离心运动，由以上分析可知，选项D正确．
【变式3】
如图所示，在光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
答案 A
解析
若拉力突然消失，则小球沿P点处的切线运动，选项A正确．若拉力突然变小，则小球做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球做曲线运动，选项B、D错误．若拉力突然变大，则小球做向心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，选项C错误．
1．物体做离心运动时，其运动轨迹( )
A．一定是直线
B．一定是曲线
C．可能是一个圆
D．可能是直线也可能是曲线
答案 D
解析
离心运动是物体远离圆心的运动，故轨迹不可能是圆，故选项C错误．若F合＝0，则物体将沿切线方向做直线运动；若F合＜F向，则物体将沿曲线(夹在切线和圆周之间)远离圆心，故选项A、B错误，D正确．
答案 A
3．“空间之旅”飞车表演时，表演者驾着摩托车，在球形金属网内壁上下盘旋，令人惊叹不已．摩托车沿如图所示竖直轨道做圆周运动的过程中
( )
A．一定做匀速圆周运动
B．对金属网内壁压力大小始终不变
C．经过最低点时的向心力仅由支持力提供
D．通过最高点时的最小速度与球形金属网直径有关
答案 D
4．如图所示，公路转弯处弯道圆半径R＝250
m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.25.若路面是水平的，问汽车转弯时不发生侧向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g取10
m/s2)生活中的圆周运动
1．(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
AC 解析
当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力应正好等于向心力，当速度大于v时，火车重力与轨道面支持力的合力小于转弯所需向心力，此时轮缘挤压外轨，外轨对轮缘产生弹力，当速度小于v时，火车重力与轨道面支持力的合力大于转弯所需向心力，此时轮缘挤压内轨，故选项A、C正确，B、D错误．
2．在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛．比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而脱离正常比赛路线．如图所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看作质点)．下列论述正确的是( )
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
D 解析
发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于所需要的向心力，受到的合力方向指向圆弧内侧，故选项A、B错误；运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧，因为此合力偏小导致不能沿Ob运动，所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob之间，故选项C错误，D正确．
3．汽车通过拱桥顶点时的速度为10
m/s，车对桥的压力为车重的，如果使汽车驶至桥顶时对桥面恰无压力，则汽车的速度为(g取10
m/s2)( )
A．15
m/s
B．20
m/s
C．25
m/s
D．30
m/s
B 解析
汽车过拱桥顶点时，竖直方向受到的重力、支持力，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，
代入数据有mg－mg＝m，
得R＝＝
m＝40
m，
汽车过桥顶对桥面恰无压时，根据牛顿第二定律有mg＝m，代入数据得v2＝＝
m/s＝20
m/s，故选项B正确．
4．一辆卡车在凹凸不平的地面匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，爆胎可能性最大的地段应是( )
A．a处
B．b处
C．c处
D．d处
D 解析
以卡车为研究对象，在坡顶，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m，FN＜mg；在坡谷，则有FN－mg＝m，FN＝mg＋m，FN＞mg，可知卡车在坡谷处所受的支持力大，更容易爆胎，且r越小，FN越大，d点半径比b点小，则d点最容易爆胎，故选项D正确．
5．关于离心运动，下列说法错误的是( )
A．洗衣机脱水时利用离心运动甩干衣服
B．直行的客车刹车时车内乘客会因离心运动而向前倾
C．利用模子的高速旋转，趋于模子内壁的钢水冷却后形成无缝钢管
D．在水平公路上转弯的汽车若速度过大，将会因做离心运动而造成事故
B 解析
洗衣机脱水时，脱水筒高速转动，需要的向心力大于水和衣服之间的附着力，水做离心运动被从衣服上甩掉，属于离心现象，故选项A正确；直行的客车刹车时车内乘客会因惯性而向前倾，故选项B错误；利用模子的高速旋转，钢水做离心运动趋于模子内壁，形成无缝钢管，故选项C正确；在水平公路上转弯的汽车若速度过大，将会因做离心运动而偏离路线，造成事故，故选项D正确．
6．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360
km/h的速度拐弯，拐弯半径为1
km，则质量为50
kg的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力大小为(g＝10
m/s2)( )
A．0
B．500
N
C．1
000
N
D．500
N
D 解析
已知列车以360
km/h的速度拐弯，拐弯半径为1
km，则向心加速度为a＝＝10
m/s2，列车上的乘客在拐弯过程中受到的列车给他的作用力垂直于列车底部向上，大小为N，还受到重力，其合力F指向圆心，则F＝ma＝500
N，而乘客的重力与合力F大小相等，那么作用力与向心力的夹角为45°，则列车给乘客的作用力大小为N＝＝
N＝500
N，故选项D正确．
7．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可视为在水平面内做半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向摩擦力(垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A．
B．
C．
D．
B 解析
设路面的倾角为θ，作出汽车的受力图，如图所示．根据牛顿第二定律得mgtan
θ＝m，又由数学知识得tan
θ＝，联立解得v＝，故选项B正确．
8．如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是( )
A．线速度的关系为vA＜vB
B．运动周期的关系为TA＞TB
C．它们受到的摩擦力大小关系为FfA＝FfB
D．筒壁对它们的弹力大小关系为NA＜NB
C 解析
A、B共轴转动，角速度相等，由v＝ωr知，A转动的半径较大，则A的线速度较大，故选项A错误；根据T＝知，角速度相等，则A、B运动的周期相等，故选项B错误；弹力提供A、B做圆周运动所需的向心力，由N＝mrω2知，A的半径大，则NA＞NB，竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，两物体所受重力相等，则摩擦力相等，即FfA＝FfB，故选项C正确，D错误．
[能力提升]
9．如图所示，在光滑的水平面上有质量相同的球A和球B，球A、B之间以及球B与固定点O之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O点做匀速圆周运动，如果OB＝2AB，则绳OB与绳BA的张力之比为( )
A．2∶1
B．3∶2
C．5∶3
D．5∶2
C 解析
本题易错之处是对球B的受力分析．设AB段长为r，分别对球A、球B受力分析，如图所示，对球B有FOB－FAB＝m·2rω2，对球A有FBA＝m·3rω2，由牛顿第三定律知FAB＝FBA，联立解得FOB＝5mrω2，FAB＝3mrω2，可知，选项C正确．
10．2003年10月15日成功发射了“神舟”五号载人飞船，2005年10月“神舟”六号圆满完成任务．飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练，其中如图所示是离心实验器的原理图．可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力．离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(线AB与舱底垂直)与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
解析
人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示．在竖直方向
FNsin
30°＝mg，
解得FN＝2mg.
由牛顿第三定律知，人对座位的压力是其重力的2倍．
答案
2倍
11．如图所示，一辆质量为500
kg的汽车通过一座半径为50
m的圆弧拱桥顶部，g＝10
m/s2.
(1)如果汽车以6
m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧拱桥的压力是多大？
(2)如果汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零，则汽车通过拱桥的顶部时速度是多大？
(3)设想拱桥的半径增加到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度至少多大？(地球半径R＝6.4×103
km)
解析
(1)根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，
所以FN＝mg－m＝4
640
N，
由牛顿第三定律知，车对桥的压力为4
640
N.
(2)压力恰好为零，重力充当向心力，则mg＝m，
解得v1＝10
m/s.
(3)重力充当向心力，所以有mg＝m，
解得vmin＝8
km/s.
答案
(1)4
640
N (2)10
m/s (3)8
km/s
12．如图所示，劲度系数为k、原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为L，现将弹簧长度拉长到L后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕其中心轴OO′以一定角速度匀速转动，已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？
解析
对小铁块研究，圆盘静止时，铁块受到的最大静摩擦力Ffm＝L，圆盘转动的角速度ω最大时，kx＋Ffm＝mω2.
又x＝L－L＝，解得ω＝.
答案
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5生活中的圆周运动
1．(火车转弯问题)当火车以速率v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧向压力作用，此速率称为安全速率．下列说法正确的是( )
A．弯道半径R＝
B．若火车以大于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
C．若火车以小于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
[解析]
当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtanθ，而Fn＝m，故gRtanθ＝v2，即R＝，则A错；若火车以大于v的速率过弯时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，则外轨对车轮的侧向压力来补充不足，故B对，C错；由mgtanθ＝m可知质量与速率无关，故D错．
[答案] B
2．(汽车过拱桥问题)一汽车通过拱形桥顶时速度为10
m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )
A．15
m/s
B．20
m/s
C．25
m/s
D．30
m/s
[解析] 当N＝G时，因为G－N＝m，所以G＝m；当N＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20
m/s.故选项B正确．
[答案] B
3．(多选)(航天器中的失重现象)宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的有( )
A．在飞船内可以用天平测量物体的质量
B．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压
C．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力
[解析] 飞船内的物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为0，因此不能用天平测量物体的质量，A错误；同理，水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，C正确；飞船内的重物处于完全失重状态，并不是不受重力，而是重力全部用于提供物体做匀速圆周运动所需的向心力，D正确．
[答案] CD
4．(多选)(离心运动)如图，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则( )
A．衣服随脱水桶做圆周运动的向心力由衣服的重力提供
B．水会从脱水桶甩出是因为水滴受到的向心力很大
C．加快脱水桶转动角速度，衣服对桶壁的压力也增大
D．加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
[解析] 衣服受到竖直向下的重力，竖直向上的静摩擦力，指向圆心的支持力作用，重力和静摩擦力是一对平衡力，大小相等，故向心力是由支持力充当的，A错误．圆桶转速增大以后，支持力增大，衣服对桶壁的压力也增大，C正确；对于水而言，衣服对水滴的附着力提供其做圆周运动的向心力，说水滴受向心力本身就不正确，B错．随着圆桶转速的增加，需要的向心力增加，当附着力不足以提供需要的向心力时，衣服上的水滴将做离心运动，故水桶转动角速度越大，脱水效果会越好，D正确．
[答案] CD
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