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第3节 万有引力定律
1．方法：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力是在地球上的________.根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动的加速度(月球公转的向心加速度)是它在地面附近下落时的重力加速度的________.
要点一 月一地检验
要点二 万有引力定律
正比
反比
kg
m
N
引力常量
卡文迪许
思考：
设想通过地心将地球打穿一个洞，从洞的一端静止的放入一个比洞的直径小一些的小球，那么此球在洞中的运动情况是怎样的？(忽略各种阻力)
提示
从放入端开始向地心做加速度减小的加速运动，加速度减小到零时，到达地心，然后从地心开始向另一端做加速度增大的减速运动，到另一端速度变为零；接下来，从另一端向地心做加速度减小的加速运动，到地心后改做加速度增大的减速运动，回到放入端时速度变为零，以后重复上面的运动．
1．适用条件
(1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用．
(2)万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离．
考点一 对万有引力定律的理解
(3)计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离．
(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离．
四性
内容
宏观性
在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
思维导引：(1)万有引力公式适用于计算两个质点或均匀球体之间的万有引力．(2)均匀球体之间万有引力的计算r应取两球心间距离．
答案 D
答案 C
对于非对称性的物体，无法直接用引力公式计算万有引力，但可以通过“割”或“补”的方法，构成对称性物体，然后再用对称性物体所满足的物理规律进行求解，这一方法称为“割补法”．
考点二 “割补法”计算万有引力
思维导引：运用“割补法”时应注意，所“割”或所“补”的物体应是形状规则，质量分布均匀的物体，否则其重心位置不在其几何中心，也就无法用万有引力定律求解万有引力．
【变式2】
如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球的中心挖去一个直径为R的球，放在与该球相距为d的地方，求两球之间的引力．
考点三 物体所受的万有引力与重力的关系)
【例题3】
已知地球的质量M＝5.98×1024kg，半径R＝6.37×106m，试计算质量为m＝1.0
kg的物体分别在北极和赤道地面上时对地面的压力大小．
1．关于引力常量G，下列说法错误的是( )
A．在国际单位制中，G的单位是N·m2/kg2
B．在国际单位制中，G的数值等于两个质量各为1
kg的物体，相距1
m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同单位制中，G的数值不一样
答案 C
解析
根据万有引力定律可以判定．
2．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A．2F
B．4F
C．8F
D．16F
答案 D
4．某星球“一天”的时间是T＝6
h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体自动飘起来，这时星球“一天”是多少小时？万有引力定律
1．关于万有引力的说法，正确的是( )
A．万有引力只是宇宙中各天体之间的作用力
B．万有引力是宇宙中具有质量的物体间普遍存在的相互作用力
C．地球上的物体以及地球附近的物体除受到地球对它们的万有引力外还受到重力作用
D．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力
B 解析
万有引力存在于任何两个有质量的物体之间，且遵循牛顿第三定律，故选项A、D错误，B正确；重力是万有引力的一个分力，故选项C错误．
2．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运动轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运动的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
AD 解析
设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳到地球距离为r1，月球到地球距离为r2，由题意知＝2.7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝，月球对海水的引力F2＝，
则＝＝＝，故选项A正确，B错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，故选项C错误，D正确．
3．地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法错误的是
( )
A．物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力
B．在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心
C．在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴
D．物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大
B 解析
考虑地球自转的作用效果时，地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动，其运动平面与地轴垂直，向心力的大小为mrω2，选项B错误，C正确；由于在不同位置的轨道半径各不相同，故向心力大小不一样，在赤道时向心力最大，选项D正确；地面上的物体随地球自转做圆周运动时的向心力远小于万有引力(重力近似等于万有引力)，选项A正确．
4．某行星可看成一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G)
( )
A．
B．
C．
D．
C 解析
根据G＝m()2r，可得T＝2π，将M＝πr3ρ代入，可得T＝，故选项C正确．
5．(多选)关于引力常量G，下列说法正确的是
( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的二次方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1
kg的可视为质点的物体相距1
m时的相互吸引力
D．引力常量G是不变的，其数值大小与单位制的选择无关
AC 解析
利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故选项A正确；引力常量G是一个普遍适用的常量，其数值上等于两个质量都是1
kg的质点相距1
m时的相互吸引力，它的大小与所选的单位有关，故选项B、D错误，C正确．
6．假设将质量为m的铅球放在地心处，在地球内部的A处挖去质量为m的物体，地球半径为R，OA＝，如图所示，则铅球受到的万有引力大小和方向分别为( )
A． 方向向左
B． 方向向右
C． 方向向左
D． 方向向右
C 解析
如图所示，将铅球放在地心时，其所受合力为零，关于O点对称的质点对铅球的作用力大小相等．当挖去m时，m对铅球的引力消失，但与m相同的B点的球体对铅球的作用力大小、方向均不变，故铅球受到的万有引力等效于放在B点的球体对它的作用力，所以F＝G＝，方向向左，选项C正确．
7．(多选)假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间的距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )
A．地球的向心力变为缩小前的一半
B．地球的向心力变为缩小前的
C．地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转的周期变为缩小前的一半
BC 解析
设地球的直径、太阳的直径、太阳与地球间的距离分别由d1、d2、r变为、、，地球的向心力由万有引力提供，
则F＝G∝，
①
即F′＝G∝，
②
联立①②两式得F′＝F，故选项A错误，B正确．
由万有引力提供向心力，则
F＝m，
③
F′＝m′.
④
代入数据联立③④得T′＝T，故选项C正确，D错误．
8．2013年12月14日21时许，嫦娥三号携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，嫦娥三号离月球表面4
m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的嫦娥三号在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为( )
A．
B．
C．
D．
A 解析
设月球的质量为M′，由＝Mg和F＝Mg解得M′＝，选项A正确．
[能力提升]
9．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列四个F随x的变化关系图正确的是( )
A 解析
球壳内距离球心r的位置，外面环形球壳对其引力为零，内部以r为半径的球体看作球心处的质点，对其引力为F＝＝＝Gρπrm，引力大小与r成正比，图象为倾斜直线，当r＞R时，球体看作圆心处的质点，引力F＝＝
，F∝，故选项A正确，B、C、D错误．
10．设地球是一均匀球体，其自转周期为T，同一物体在两极点时测得其重力为G1，当在赤道时测得其重力为G2，已知引力常量为G，试求出地球平均密度的表达式．
解析
在两极点，万有引力与重力相等；而在赤道上因万有引力与物体随地球自转所需向心在同一直线上，故重力大小为万有引力与向心力之差，利用万有引力定律和向心力公式，设法得到地球质量与地球体积的比值．
设地球质量为M，则地球的平均密度为
ρ＝＝＝，
①
设物体质量为m，则由题意得G1＝G，
②
G2＝G－mR，
③
由②减去③式得G1－G2＝mR，
④
由②除以④式得＝·，
⑤
联立①⑤两式可得地球的平均密度ρ＝.
答案
11．地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10－2
m/s2，赤道上的重力加速度g＝9.77
m/s2，试问：
(1)质量为m
的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？
(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而“飘”起来(完全失重)，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？
解析
(1)在赤道上，F万＝
mg＋F向＝mg＋ma＝9.803
7m.
(2)在赤道上F万＝m(g＋a)，完全失重飘起来，所以F万＝mωR，
又因为a＝ω2R，所以＝＝＝≈17.
答案
(1)9.803
7m (2)17倍
12．用M表示地球的质量，R表示地球半径，r月地表示月球到地球的距离．在地球引力作用下，试证明：
(1)地球上物体的重力加速度g＝；
(2)月球绕地球转动的向心加速度a月＝；
(3)已知r月地＝60
R，利用(1)、(2)求的比值；
(4)已知r月地＝3.8×108
m，月球绕地球运动周期T＝27.3
d，计算月球绕地球运行的向心加速度a月；
(5)已知重力加速度g＝9.8
m/s2，用(4)中算出的a月，求的比值．
解析
(1)地球作用于物体上的重力与太阳对行星的引力是同一性质的力，则有mg＝G，故g＝.
(2)地球对月球的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力，则有
m月a月＝G，所以a月＝.
(3)由于r月地＝60R，所以
＝＝＝≈2.78×10－4.
(4)根据实际观测值，由a向＝，得
a月＝＝
m/s2≈2.7×10－3
m/s2.
(5)＝≈2.76×10－4.
可见，理论计算值与实际观测值非常接近，可以证明地球对月球的引力和地球表面物体所受重力是同一性质的力．
答案
(1)(2)见解析
(3)2.78×10－4
(4)2.7×10－3
m/s2
(5)2.76×10－4
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