人教版八年级数学上册13.1轴对称课时3课件（24张PPT)

(共24张PPT)
13.1.3　垂直平分线
轴对称
知识回顾
1、线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
2、什么是线段的垂直平分线？
线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
学习目标
1、理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容.
2、探究线段垂直平分线的性质和判定的过程.
3、熟练运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.
课堂导入
思考：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，……到点A和点B的距离，你有什么发现？
可以发现，点P1，P2，P3，……到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，如果把线段AB沿着直线l对折，线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
A
B
l
┐
P1
P2
P3
课堂导入
证明：∵直线l垂直平分线段AB,
∴AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°.
∵在△P1AO和△P1BO中，AO=BO，
∠P1OA=∠P1OB，
P1O=P1O，
∴△P1AO≌△P1BO（SAS）.
∴P1A=P1B.
A
B
l
┐
P1
P2
P3
思考：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，……到点A和点B的距离，你有什么发现？
知识点1
新知探究
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号表示：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P在l上，则有PA=PB.
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
A
B
l
┐
O
P
新知探究
如图，线段AB外任意一点P1到点A，点B的距离相等.求证：点P1在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P1作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵l⊥AB，
∴∠P1OA=∠P1OB=90°，
∵在Rt△P1AO和Rt△P1BO中，P1A=P1B，
P1O=P1O，
∴Rt△P1AO≌Rt△P1BO（HL）.
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠P1OA=∠P1OB=90°，
∴P1在线段AB的垂直平分线上.
A
B
l
┐
O
P1
知识点2
新知探究
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号表示：如图，已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
l
┐
O
P
新知探究
符号表示：∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段BC，AB，AC，
∴直线MN，EF，PQ相交于点O，
且OA=OB=OC.
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等.
P
F
N
M
E
Q
O
B
C
A
新知探究
小结：从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等，反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
A
B
l
┐
O
P
知识点3
新知探究
1、经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
A
B
B
.
知识点3
新知探究
1、经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
新知探究
思考：直观上我们能感觉两个平面图形是成轴对称的，但是如何验证呢？在不折叠图形的情况下，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
新知探究
2、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
?
?
A
B
新知探究
作法：如图所示：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于
AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧线相交于C，D两点；
（2）作直线CD，即是所求作的直线.
?
?
A
B
C
D
2、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
新知探究
3、作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
（1）作对称轴的依据：
如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）作对称轴的步骤：
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：做出对应点所连线段的垂直平分线.
找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确.
新知探究
对于如图所示的五角星，可以选择一对对应点A和A′，连接AA′，
作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴.
A
A′
l
找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确.
类似的，请你尝试动手作出这个五角星的其他对称轴.
跟踪训练
新知探究
如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，
求证：∠ABD=∠ACD.
证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点，
∴AB=AC，BD=DC.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠ABD=∠ACD.
E
B
C
D
A
跟踪训练
新知探究
如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
理由如下：
由AB=AC，MB=MC可知，点A，点M都在线段BC
的垂直平分线上.
根据“两点确定一条直线”，则直线AM就是线段
BC的垂直平分线.
B
C
M
A
随堂练习
1
如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.
C
┐
B
D
A
E
随堂练习
2
如图，在△ABC中，AB=5cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm，求线段AC的长.
解：∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD.
∴△ACD的周长为AC+AD+CD
=AC+AD+BD
=AC+AB
=8cm.
∵AB=5cm，
∴AC=3cm.
B
C
E
D
A
随堂练习
3
如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，连接DE，BE，
求证：∠ABE=∠ADE.
A
D
E
证明：连接DB.
∵AB=AD，BC=DC,
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.
∴线段AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.
∵E是AC上的一点，
∴BE=DE.
在△ABE和△ADE中，AB=AD，
BE=DE，
AE=AE，
∴
△ABE≌△ADE.
∴∠ABE=∠ADE.
B
C
课堂小结
线段垂直
平分线
性质
判定
作对称轴
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
尺规作图画一个轴对称图形或成轴对称图形的对称轴
拓展提升
1
如图，在△ABC中，直线DE是线段AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，
△ABD的周长为13cm，则AE的长为（
）.
证明：∵直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=
AC.
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm.
∴AC=19cm-13cm=6cm.
6cm
E
C
B
D
A