人教版八年级数学上册13.4最短路径问题课时1课件（26张PPT)

(共26张PPT)
13.4.1　最短路径问题
最短路径问题
人教版-数学-八年级上册
知识回顾
如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？
容易得出，路径（3）是最近的.
依据“两点之间，线段最短”.
知识回顾
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最短的？
容易得出，（2）是最短的.
依据“垂线段最短”.
l
┐
（1）
（2）
（3）
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A
知识回顾
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？
容易得出，AC=BC.
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
A
B
l
C
学习目标
1、利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.
课堂导入
思考：相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
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B
A
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将A，B
两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
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B
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
A
新知探究
如图：
点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
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A
B
l
新知探究
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A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
如图：
点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
新知探究
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
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A
B
l
新知探究
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
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B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
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A
B
l
C
你能证明这个结论吗
?
新知探究
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
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A
B
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B′
C
C′
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
新知探究
知识点1
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
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B
l
A
C
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
新知探究
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
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?
A
B
l
C
B′
知识点2
新知探究
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
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A
B
a
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B′
P
跟踪训练
随堂练习
1
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（
）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
?
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A
B
l
C
B′
随堂练习
1
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（
）
D
分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边.
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A
B
l
C
B′
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
随堂练习
2
随堂练习
2
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.
也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.
随堂练习
3
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.
A
C
D
B
E
随堂练习
3
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
A
C
D
D′
B
E
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
课堂小结
最短路径
问题
直线异侧的两点到直线上一点距离和
最短的问题
直线同侧的两点到直线上一点距离和
最短的问题
拓展提升
1
如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（
）
A.900
B.1200
C.1500
D.1800
A
C
D
B
拓展提升
1
分析：“牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离”可以转化为“点A，B均在河边CD的同侧，请在河边CD上找一点E，使得AE+BE的值最小”.
根据本节课所学的知识，点E比较容易找出，那AE+BE的值应该是多少呢？
A
C
D
B
拓展提升
1
解：延长AC至点A′，使得A′C=AC，
连接A′B交CD于点E，连接AE.
则点E即为所求的点.
分析：如图，A′C=AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD.
猜测E是CD的中点，则AE=600，
所以AE+BE=1200.
A
C
D
B
E
A′
.
拓展提升
1
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中，
∠A′CE=∠BDE，
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
A
C
D
B
E
A′