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第4节 万有引力理论的成就
要点 万有引力理论的成就
重力
引力
公转周期
它到太阳的距离
万有引力
(3)其他行星的质量计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的________和转动________，同样可得出行星的质量．
2．发现未知天体
1846年9月23日晚，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了一颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．后来，这颗行星命名为________.
用类似的方法，人们又发现了太阳系及太阳系外的其他天体.1705年英国天文学家________根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归．
距离
周期
伽勒
海王星
哈雷
思考：
假如要你称出我们生活的地球的质量，你能否通过查阅我国发射的某一颗人造卫星或飞船的有关数据，推算出地球的质量？
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量，下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
考点一 天体质量的计算
【例题1】
(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)( )
A．已知地球绕太阳运动的周期和地球中心与太阳中心之间的距离
B．已知月球绕地球运动的周期和地球的半径
C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心与地球中心之间的距离
D．已知月球绕地球运动的周期和轨道半径
思维导引：解答本题时，必然涉及万有引力定律的公式，应把式中各字母的含义弄清楚，区分清楚天体半径和天体做圆周运动的轨道半径，然后根据已知量与未知量选用恰当的公式进行分析求解．
答案
C
D
【变式1】
为了研究太阳演化进程，需要知道目前太阳质量M，测得地球和太阳中心距离约为1.5×1011m，试估算太阳的质量．
考点二 天体密度的计算
思维导引：根据近地卫星绕地球运行的周期，可求出地球的平均密度，再由行星和地球之间质量和体积的关系，求出行星的平均密度．
答案 D
【变式2】
已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景
中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运动的周期T
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T
答案 B
考点三 天体运动问题
解决天体运动要注意的两个问题
(1)万有引力提供天体运动的向心力以及在星球表面重力等于万有引力是研究天体运动的两个依据．上面公式中的r是轨道半径，R是天体半径，应用时要注意区分．
(2)应用万有引力定律求解时要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365天、自转一周是24小时，月球绕地球转一周约27.3天等．
【例题3】
已知地球半径R＝6.4×106
m，地球附近重力加速度g＝9.8
m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106
m
的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.
【变式3】
(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上的三颗人造卫星，a和b的质量相等且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等且小于a的线速度
答案 ABD
答案 A
答案 C
3．(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ.下列说法正确的是( )
A．轨道半径越大，周期越大
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案 AC
答案 C万有引力理论的成就
1．(多选)俄罗斯正在建造新一代探月飞船，计划在2029年实现载人登陆月球表面．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有
( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行速度的大小
BD 解析
由天体运动的受力特点得G＝m·R，可得地球的质量M＝.由周期和线速度的关系可得月球绕地球运行速度的大小v＝，故选项B、D正确．
2．观察“神舟十号”在圆轨道上的运动，发现每经过时间2t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示，已知引力常量为G，由此可推导出地球的质量为
( )
A．
B．
C．
D．
A 解析
“神舟十号”的线速度v＝，轨道半径r＝，根据G＝m得地球的质量为M＝，故选项A正确．
3．若某月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2.已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则
( )
A．月球车在月球表面质量为
B．地球的质量与月球的质量之比为
C．月球表面处的重力加速度为
D．月球车在地球表面飞行和在月球表面飞行的周期之比为
D 解析
月球表面处的重力加速度不是g，选项A错误；根据万有引力等于重力，G1＝G，G2＝G，解得＝，选项B错误；月球车到达月球表面时质量不变，月球表面处的重力加速度为，选项C错误；在地球或月球表面飞行时，周期为T＝2π，
据此可知，运动周期之比为，选项D正确．
4．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( )
A．＝
B．＝
C．＝2
D．＝2
B 解析
卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有＝m2R，可得＝k为常数，由重力等于万有引力＝mg，联立解得g＝＝，则g与T成反比，故选项B正确．
5．据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜．假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的线速度大小的比值为( )
A．3.39－
B．3.39－
C．3.39
D．3.39
A 解析
天体绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力公式G＝mr，又因为v＝得v＝2π＝，所以＝3.39－.
6．(多选)地球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，太阳对地球的万有引力提供地球运动所需要的向心力．由于太阳内部的核反应而使太阳发光，在整个过程中，太阳的质量在不断减小．根据这一事实可以推知，在若干年后，地球绕太阳的运动情况与现在相比( )
A．运动半径变大
B．运动周期变大
C．运动速率变大
D．运动角速度变大
AB 解析
当太阳质量减小时，太阳对地球的万有引力减小，故地球将做离心运动使轨道半径增大，选项A正确；由v＝
知，地球运动速率将变小，选项C错误；由G＝mrω2＝mr2得，选项B正确，D错误．
7．(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，地球的半径为R，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星环月做圆周运动的轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( )
A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
B．求出月球与地球之间的万有引力
C．得出＝
D．求出地球的密度
BD 解析
“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动，它属于环绕天体，运用万有引力提供向心力求解时，探月卫星质量被约去，无法求出探月卫星的质量，故选项A错误；根据G＝mr2得月球的质量M月＝，地球与月球之间的万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则F＝M月r1，故选项B正确；由于月球绕地球做圆周运动和探月卫星绕月球做圆周运动的中心天体不同，不满足开普勒第三定律，即≠，故选项C错误；根据G＝M月r1得地球的质量M地＝，则地球的密度ρ＝＝，故选项D正确．
8．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2＞R1，根据以上信息可知( )
A．甲的质量大于乙的质量
B．甲的周期大于乙的周期
C．甲的速率大于乙的速率
D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
C 解析
万有引力提供卫星绕行星做圆周运动的向心力，无法求出绕行天体质量，故选项A错误；由T＝2π知T甲v乙，故选项C正确；因卫星质量未知，无法确定引力大小，故选项D错误．
[能力提升]
9．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
A 解析
由G＝m(R＋h1)及G＝m(R＋h2)，可求出火星的半径R和质量M；再由G＝mg及M＝ρ·πR3可求出火星的密度和表面的重力加速度，故选项A正确．
10．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行的过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，下列判断正确的是
( )
A天体A、B的质量一定不相等
B天体A、B的密度一定相等
C．两颗卫星的线速度一定相等
D．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径反比
B 解析
对靠近天体表面飞行的卫星分析可知，卫星飞行圆周半径等于天体半径，即r＝R，万有引力提供圆周运动向心力，有G＝mR，可得M＝，若R相同则天体A、B质量一定相等，选项A错误．天体密度ρ＝＝＝，与R无关，天体A、B的密度一定相等，选项B正确．卫星线速度v＝，R不一定相同，两颗卫星的线速度不一定相等，选项C错误．天体表面重力加速度g＝R，g跟半径成正比，选项D错误．
11．据报道：美国将多颗最先进的KH?11、KH?12“锁眼”系列照相侦察卫星调集到中亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点265
km(指卫星与地面的最近距离)，远地点650
km(指卫星与地面的最远距离)，重量13.6～18.2
t．这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.1
m大小的目标，并自动将照片传给地面接收站及指挥中心．由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道运动的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相同．请你由上述数据估算这些“锁眼”系列侦察卫星绕地球运动的周期．(结果保留两位有效数字，地球半径R＝6
400
km，g取10
m/s2)
解析
假设卫星绕地球做匀速圆周运动，
半径r＝×(265＋650＋6
400×2)
km＝6
857.5
km，
G＝mr，又G＝m0g,
所以T＝＝5.6×103
s.
答案
5.6×103
s
12．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点．经过近7年35.2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空，离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t.求土星的质量和平均密度．
解析
设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M.
“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供．
G＝m(R＋h)2
，其中
T＝，
所以M＝.
又V＝πR3，所以ρ＝＝.
答案
M＝ ρ＝
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5万有引力理论的成就
1．(天体质量的计算)已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，重力加速度g取9.8
m/s2，地球半径R＝6.4×106
m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018
kg
B．1020
kg
C．1022
kg
D．1024
kg
[解析] 依据万有引力定律有：F＝G①
而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：
F＝mg②
联立①②解得：g＝G
解得：M＝＝
kg≈6×1024
kg.
[答案] D
2．(天体密度的计算)地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A.
B．
C.
D．
[解析] 地球表面有G＝mg，得M＝ ①，又由ρ＝＝ ②，由①②得出ρ＝.
[答案] A
3．(天体运动的v与r的关联)如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
[解析] 对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝
.所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确．
[答案] A
4．(天体运动的T与r的关联)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T.为使其周期变为8T，可采用的方法有( )
A．保持轨道半径不变，使线速度减小为
B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r
C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r
D．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r
[解析] 利用万有引力提供卫星的向心力可以得到v＝，T＝2π
，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，B正确，A、C、D错误．
[答案] B
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