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章末复习方案
万有引力与航天
万有引力与航天
万有引力理论的成就
万有引力与航天
万有引力理论的成就
万有引力与航天
1．双星模型及特点
(1)双星模型
宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系统．如图所示．
题型一 宇宙中的双星系统
(2)双星模型的特点
2．双星系统的规律总结
(1)两颗星都在做匀速圆周运动．
(2)两颗星的向心力大小相同，都是由两星之间的万有引力提供的．
(3)两颗星的角速度相同，周期相同，线速度之比等于旋转轨道半径之比．
(4)两颗星绕共同的中心转动做圆周运动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在同一条直线上．
(5)旋转中心距离质量较大的星近，r1∶r2＝m2∶m1.
(6)宇宙空间大量存在这样的双星系统．如地月系统，就是一个双星系统，只不过，旋转中心没有出地壳而已，不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转．
【例题1】
经长期观测，人们在宇宙中已经发现了双星系统．双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星系统，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法正确的是( )
答案 C
【变式1】
两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星球中心距离为L，其运动周期为T，求两星的总质量．
题型二 卫星的发射、变轨与对接
2．同步卫星的变轨道发射问题
(1)同步卫星的发射过程
发射同步卫星及比较远的卫星一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图所示．首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200
km
的高空，然后依靠惯性进入停泊轨道1.当到达赤道上空时，第二、
三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，且轨道远地点P的高度为35
800
km.当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道3.
(2)变轨运行各量间的关系
卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与轨道2上运动到Q点的速度vQ2有关系vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运动到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；而在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2.而在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的．
3．对接问题
如图所示，飞船首先在此空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道．通过控制使飞船跟空间站恰
好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接．
【例题2】
宇宙飞船在轨道上运行，由于地面指挥人员发现某一火箭残体的轨道与飞船轨道有一交点，通知宇航员某一时间飞船有可能与火箭残体相遇．宇航员随即开动飞船上的发动机使飞船加速，脱离原轨道，关于飞船的运动，下列说法正确的是( )
A．飞船高度降低
B．飞船高度升高
C．飞船周期变小
D．飞船的向心加速度变大
答案 B
【变式2】
(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速度大于在轨道1上的速度
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
答案
B
D
万有引力定律常与抛体运动综合命题．在地球上所有只在重力作用下的运动形式：如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，要特别注意在不同的天体上重力加速度一般不同．
题型三 万有引力定律与天体表面的抛体运动的综合应用
答案 C章末跟踪测评
(时间：90分钟 满分：110分)
一、选择题(1～7为单选，8～10为多选，每小题5分，共50分)
1．牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述不符合史实的是
( )
A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律
B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律
C．卡文迪许在实验室中比较准确地测出了引力常量G的数值
D．根据天王星的观测资料，哈雷利用万有引力定律计算出了海王星的轨道
D 解析
开普勒总结出了行星运动的三大规律，选项A正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，选项B正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许在实验室中比较准确地测出了引力常量G的数值，选项C正确；英国人亚当斯和法国人勒维耶根据万有引力定律推测出海王星的轨道和位置，柏林天文台年轻的天文学家伽勒和他的助手根据勒维耶计算出来的新行星的位置，发现了第八颗新的行星——海王星，选项D错误．
2．2018年1月31日晚，月球位于近地点附近，“蓝月亮”刷爆微信朋友圈．月球在如图所示的近地点、远地点受地球的万有引力分别为F1、F2，则F1、F2的大小关系是( )
A．F1B．F1>F2
C．F1＝F2
D．无法确定
B 解析
根据万有引力定律F＝G，由于近地点的轨道半径小于远地点的轨道半径，所以F1>F2，选项B正确．
3．科学研究表明地球的自转在变慢．据分析，地球自转变慢的原因主要有两个：一个是潮汐时海水与海岸碰撞、与海底摩擦而使能量变成内能；另一个是由于潮汐的作用，地球把部分自转能量传给了月球，使月球的机械能增加了(不考虑对月球自转的影响)．由此可以判断，月球绕地球公转的( )
A．速度在增大
B．角速度在增大
C．周期在减小
D．半径在增大
D 解析
根据题意知月球的机械能增加，其轨道半径要增大，选项D正确；由v＝知其线速度减小，选项A错误；由ω＝知其角速度减小，选项B错误；由＝知周期增大，选项C错误．
4．2016年11月22日，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“天链一号”的第四颗地球同步卫星，它可以为低轨道的“天宫二号”提供信息数据中转服务．则该地球同步卫星( )
A．可以在西昌上空相对地面静止
B．线速度比“天宫二号”大
C．角速度比“天宫二号”大
D．向心加速度比“天宫二号”小
D 解析
地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，不可能在西昌上空相对地面静止，选项A错误；根据v＝，“天宫二号”的轨道半径小，线速度大，选项B错误；根据ω＝，“天宫二号”的轨道半径小，角速度比同步卫星大，选项C错误；根据a＝，“天宫二号”的轨道半径小，向心加速度比同步卫星的向心加速度大，选项D正确．
5．如图所示是“嫦娥三号”奔月过程中某阶段的运动示意图，“嫦娥三号”沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点P处变轨进入圆轨道Ⅱ，“嫦娥三号”在圆轨道Ⅱ上做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，已知引力常量为G，下列说法正确的是
( )
A．由题中(含图中)信息可求得月球的质量
B．由题中(含图中)信息可求得月球第一宇宙速度
C．“嫦娥三号”在P处可自动变轨
D．“嫦娥三号”沿椭圆轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到P处时的加速度
A 解析
万有引力提供向心力，G＝mr，得M＝，故选项A正确；万有引力提供向心力，G＝m′，得v＝，由于不知道月球半径，所以不能求得月球第一宇宙速度，故选项B错误；椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，“嫦娥三号”不可能自主改变轨道，只有在减速后，做近地运动，才能进入圆轨道，故选项C错误；“嫦娥三号”沿椭圆轨道Ⅰ运动到P处时和沿圆轨道Ⅱ运动到P处时，所受万有引力大小相等，所以加速度大小也相等，故选项D错误．
6．极地卫星的运行轨道平面通过地球的南、北两极(轨道可视为圆轨道)．如图所示，若某极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上条件可知
( )
A．地球的质量为
B．卫星运行的角速度为
C．卫星运行的线速度为
D．卫星距地面的高度为
B 解析
根据mg＝，解得M＝，选项A错误；极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运动至南纬60°正上方，绕过的角度为90°，所用时间为t，角速度为ω＝，选项B正确；卫星运行的线速度为(r为卫星的轨道半径)，选项C错误；G＝m2r，解得r＝，卫星距地面高度为－R，选项D错误．
7．如图所示，“天宫二号”在距离地面393
km的近圆轨道运行，已知万有引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.地球质量M＝6.0×1024
kg，地球半径R＝6.4×103
km.由以上数据可估算
( )
A．“天宫二号”质量
B．“天宫二号”运行速度
C．“天宫二号”受到的向心力
D．地球对“天宫二号”的引力
B 解析
“天宫二号”是环绕天体，其质量是不可求的，选项A错误；G＝m，又r＝R＋h可解得运行速度，选项B正确；由于“天宫二号”的质量未知，向心力和引力解不出来，选项C、D错误．
8．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )
A．X星球的质量为M＝
B．X星球表面的重力加速度为gX＝
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
AD 解析
探测飞船做圆周运动时有G＝m12r1，解得M＝，选项A正确；因为X星球半径未知，选项B错误；根据G＝m，得v＝，所以＝，选项C错误；根据开普勒第三定律得＝，T2＝T1，选项D正确．
9．如图所示，“嫦娥奔月”的过程可以简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高为h1，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高为h2的轨道上绕月球做匀速圆周运动．若已知地球的半径为R1、表面的重力加速度为g0，月球的质量为M、半径为R2，引力常量G，根据以上信息，可以确定
( )
A．“嫦娥一号”在远地点A时的速度
B．“嫦娥一号”在远地点A时的加速度
C．“嫦娥一号”绕月球运动的周期
D．月球表面的重力加速度
BCD 解析
设地球质量为M0，则“嫦娥一号”在远地点A时的加速度可由＝ma及＝mg0确定，由于轨道是椭圆，在远地点A时的速度无法确定，故选项A错误，B正确；“嫦娥一号”绕月球运动的周期可由＝m(R2＋h2)确定，故选项C正确；月球表面的重力加速度可由＝mg确定，故选项D正确．
10．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力
B．周期关系为Ta＝Tc>Tb
C．线速度的大小关系为vaD．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac
BC 解析
a、b、c都受到万有引力作用，选项A错误；赤道上的物体a、同步卫星c的周期相同，所以角速度一样，根据＝k，所以c的周期大于b的周期，选项B正确；v＝，c的半径大于b，所以vcva，选项C正确；a＝，所以ab>ac，又根据a＝rω2可知ac>aa，选项D错误．
二、填空题(共2小题，共12分)
11．(4分)向心力相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比RA∶RB＝1∶2，它们的角速度之比ωA∶ωB＝______，质量之比mA∶mB＝________.
解析
根据G＝mω2R，得出ω＝，则ωA∶ωB＝∶＝2∶1
；又因向心力F＝相等，得出mA∶mB＝＝1∶4.
答案
2∶1 1∶4
12．(8分)一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道运行数圈后，着陆在该行星上，宇宙飞船上备有以下实验器材：
A．精确秒表一只
B．质量为m的物体一个
C．弹簧测力计一只
D．天平一架(包括砝码一套)
已知宇航员在绕行及着陆后各做一次测量，根据所测量的数据可以求出该星球的质量M、半径R(已知万有引力恒量为G)．
(1)两次测量的物理量分别为______、__________.
(2)两次测量所选用的仪器分别为____、____.(用该仪器的字母序号表示)
(3)用所测值求出星球质量M＝______，半径R＝__.
解析
(1)绕行时测出飞船绕行星运动的周期T，着陆后测质量为m的物体的重力F.
(2)测周期用A，测m的重力用B、C．
(3)环绕时万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，设飞船质量为M′，有G＝M′R，
①
星球表面G＝mg星，
②
又有F＝mg星，
③
解得R＝，M＝.
答案
(1)绕行周期T 质量为m的物体的重力F
(2)A BC (3)
三、计算题(共4小题，共48分)
13．(10分)“神舟十号”载人飞船在变轨后，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h＝343
km的圆形轨道．已知地球半径R＝6.37×103
km，地面处的重力加速度g＝10
m/s2.试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式(用h、R、g表示)，然后计算周期T的数值．(保留两位有效数字)
解析
对飞船有G＝mr，
在地球附近G＝mg，由题知r＝R＋h，
解得T＝2π
＝5.4×103
s.
答案
T＝2π
5.4×103
s
14．(12分)一艘飞船绕月球做匀速圆周运动，其圆周运动的轨道半径为r，周期为T0.飞船上释放一月球探测器，在月球探测器着陆的最后阶段，着陆器先是降落到月球表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到月球表面竖直弹起后，到达最高点时的高度为h，月球可视为半径为r0的均匀球体，计算时不计阻力及月球自转，求：
(1)月球表面的重力加速度g；
(2)着陆器第二次落到月球表面时的速度大小．
解析
(1)飞船绕月球做匀速圆周运动，其圆周运动的轨道半径为r，周期为T0，有G＝mr，
根据万有引力等于重力，有G＝m′g(m′为月球上一物体的质量)，
联立两式解得月球表面的重力加速度g＝.
(2)根据速度位移公式得v2＝2gh，
解得v＝＝.
答案
(1) (2)
15．(12分)要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图所示，在A点，使卫星速度增大，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A点到B点所需的时间．(已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R)
解析
设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在暂行轨道、运行轨道、转移轨道的周期分别为T1、T2、T3.
卫星在轨道r1时，有＝mr1，
①
物体m′在地球表面有G＝m′g，可得GM＝gR2，
②
由①②可得T1＝.
③
当卫星在椭圆轨道运行时，其半长轴r3＝，
④
由开普勒第三定律有＝，
⑤
由③④⑤可得T3＝，
卫星从A到B的时间tAB＝＝.
答案
16．(14分)如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？
解析
(1)由万有引力和向心力公式得
G＝m(R＋h)，G＝mg，
所以TB＝2π
.
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π，又ωB＝＝
，
代入上式得t＝.
答案
(1)2π
(2)
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8质量检测(二)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
[解析] 开普勒三定律是开普勒在天文观测数据的基础上总结的，选项A错误，B正确；牛顿找到了行星运动的原因，发现了万有引力定律，选项C、D错误．
[答案] B
2．2019年1月3日，“嫦娥四号”在月宫背面软着陆成功，在实施软着陆过程中，“嫦娥四号”离月球表面4
m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的“嫦娥四号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 悬停时，F＝Mg，在月球表面Mg＝，联立可得M月＝，A项正确．
[答案] A
3．(多选)据报道，美国发射的“月球勘测轨道器”(LRO)每天在50
km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则( )
A．LRO运行时的向心加速度为
B．LRO运行时的向心加速度为
C．月球表面的重力加速度为
D．月球表面的重力加速度为
[解析] 向心加速度a＝r2，其中r为匀速圆周运动的轨道半径，所以LRO运行时的向心加速度为，故A错误，B正确．根据万有引力提供向心力得G＝m(R＋h)，根据万有引力等于重力得G＝m′g，解得月球表面的重力加速度g＝，故C错误，D正确．
[答案] BD
4．我国发射的“天链一号01星”是一颗同步卫星，其运动轨道与地球表面上的( )
A．某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆
B．某一经度线是共面的同心圆
C．赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的
D．赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的
[解析] 同步卫星相对地球静止，自西向东运转，所有的卫星都必须以地心为圆心，因此同步卫星在赤道上空，与赤道线是共面同心圆，故D正确．
[答案] D
5．星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 该星球的第一宇宙速度：G＝m，在该星球表面处万有引力等于重力：G＝m，由以上两式得v1＝，则第二宇宙速度v2＝v1＝×＝，故A正确．
[答案] A
6．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20
km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10
km，密度为1.2×1017
kg/m3，万有引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．7.9
km/s
B．16.7
km/s
C．2.9×104
km/s
D．5.8×104
km/s
[解析] 中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的卫星的环绕速度，此时卫星的轨道半径可近似地认为是该中子星的半径，且中子星对卫星的万有引力充当向心力，由G＝m，得v＝，又M＝ρV＝ρ，得v＝r≈5.8×107
m/s＝5.8×104
km/s，D正确．
[答案] D
7．(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日在西昌卫星发射中心发射，若已知引力常量为G，地球的半径为R，月球绕地球做圆周运动的半径为r1，周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星环月做圆周运动的轨道半径为r2，周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( )
A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
B．求出月球与地球之间的万有引力
C．得出＝
D．求出地球的密度
[解析] “嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动，它属于环绕天体，运用万有引力提供向心力求解时，探月卫星质量被约去，无法求出探月卫星的质量，故A错误．根据G＝mr2得月球的质量M月＝，地球与月球之间的万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则F＝M月r1，故B正确．由于月球绕地球做圆周运动和探月卫星绕月球做圆周运动的中心天体不同，不满足开普勒第三定律，即≠，故C错误．根据G＝M月r1得地球的质量M地＝，则地球的密度ρ＝＝，故D正确．
[答案] BD
8．我们银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一固定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：G＝m12r1，得m2＝，所以选项D正确．
[答案] D
9．(多选)如右图所示，有A，B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则( )
A．经过时间t＝T1＋T2，两行星再次相距最近
B．经过时间t＝，两行星再次相距最近
C．经过时间t＝，两行星相距最远
D．经过时间t＝，两行星相距最远
[解析] 设经过时间t后两行星再次相距最近，此时间内B星转过n周，A星转过(n＋1)周，则＝t，解得t＝，B正确．当两星相距最远时，可得＝t，得t＝，D正确．
[答案] BD
10．(多选)如图所示是“嫦娥三号”飞船登月的飞行轨道示意图，下列说法正确的是( )
A．在地面出发点A附近，即刚发射阶段，飞船处于超重状态
B．从轨道上近月点C飞行到月面着陆点D，飞船处于失重状态
C．飞船在环绕月球的圆轨道上B处需点火减速才能进入椭圆轨道
D．飞船在环绕月球的椭圆轨道上B处的加速度小于在圆轨道上B处的加速度
[解析] 在地面出发点A附近，即刚发射阶段，飞船加速上升，处于超重状态，故选项A正确；从轨道上近月点C飞行到月面着陆点D，有加速下降，有减速下降，故有超重，有失重，选项B错误；飞船在环绕月球的圆轨道上B处需点火减速才能做近心运动，进入椭圆轨道，故选项C正确；根据牛顿第二定律，飞船在环绕月球的椭圆轨道上B处的加速度等于在圆轨道上B处的加速度，故选项D错误．
[答案] AC
二、填空题(本题共2小题，共16分)
11．(4分)地球半径为R，距地心为r处有一颗同步卫星，另一星球半径为3R，距该星球球心为3r处也有一颗同步卫星，它的周期为72
h，则该星球的平均密度为地球的________倍．
[解析] 对于地球的同步卫星G＝mω2r＝m2r，得M＝＝，地球密度ρ＝＝，同理，某星球的密度ρ′＝＝＝ρ.
[答案]
12．(12分)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，已知X星球的半径为R，则X星球的质量为________，X星球表面的重力加速度为________，登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为________，登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为________．
[解析] 飞船绕X星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G＝m1，则X星球的质量M＝.对X星球表面的物体有G＝mgX，则gX＝G＝.由G＝m知v＝，故＝.根据G＝m得T＝
，故＝，即T2＝T1.
[答案] T1
三、计算题(本题共4小题，共44分．要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位，只写结果的，不能得分)
13．(10分)火箭发射“神舟”号宇宙飞船开始阶段是竖直升空，设向上的加速度a＝5
m/s2，宇宙飞船中用弹簧测力计悬挂一个质量为m＝9
kg的物体，当飞船升到某高度时，弹簧测力计示数F为85
N，那么此时飞船距地面的高度是多少？(地球半径R＝6400
km，地球表面重力加速度g取10
m/s2)
[解析] 在地面附近，G＝mg
在高空中，G＝mg′
在宇宙飞船中，对质量为m的物体，
由牛顿第二定律可得：F－mg′＝ma
由以上三式解得：h＝3.2×103
km.
[答案] 3.2×103
km
14．(10分)进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月．
[解析] (1)根据万有引力定律和向心力公式
G＝M月R月2①
mg＝G②
联立①②得R月＝
.
(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意：
v0＝③
mg月＝G④
联立③④得M月＝.
[答案] (1)
(2)
15．(12分)已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)试推导第一宇宙速度v1的表达式．
(2)若某卫星绕地球做匀速圆周运动，其运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T.
[解析] (1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足G＝mg
得GM＝R2g
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
m＝G
联立得v1＝.
(2)卫星受到的万有引力为F＝G＝
由牛顿第二定律F＝m(R＋h)
联立得T＝.
[答案] (1)v1＝ (2)
16．(12分)宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起．设两者相距为L，质量分别为m1和m2.
(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．
(2)试写出它们角速度的表达式．
[解析] 双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为
它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示．
(1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程，
对m1有G＝m1ω2r1①
对m2有G＝m2ω2r2②
由①②得＝；
由线速度与角速度的关系v＝ωr，得＝＝.
(2)由①得r1＝，由②得r2＝，
又L＝r1＋r2，
联立以上三式得ω＝
.
[答案] (1)见解析 (2)
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