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第4节 重力势能
1．做功表达式：WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置与末位置的________；h1、h2分别指________、________的高度．
2．做功的正、负：物体下降时重力做________功；物体被举高时重力做________功．
要点一 重力做的功
高度差
初位置
末位置
正
负
3．做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的_______________的位置有关，而跟物体运动的________无关．
起点和终点
路径
1．重力势能的大小：物体的重力势能等于它所受________与它所处的________的乘积，即Ep＝________.
2．重力势能与重力做功的关系：WG＝________.
物体由高处运动到低处时，重力做________功，重力势能________；物体由低处运动到高处时，重力做________功，重力势能________.
要点二 重力势能
重力
高度
mgh
Ep1－Ep2
正
减少
负功
增加
3．重力势能的相对性
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一________来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面上，物体的重力势能等于零．
(2)参考平面的选取
①选择不同的参考平面，物体的重力势能数值________，但物体在某固定的两点间的重力势能的差值________.
水平面
不同
相同
②参考平面上方的物体重力势能为正，下方的物体重力势能为负，负号表示物体在这个位置具有的重力势能比在参考平面上具有的少．
4．重力势能的系统性
重力势能不是地球上的物体单独具有的，重力势能是________与物体所组成的“系统”共有的．
地球
思考：
一个做斜抛运动的物体，在它上升阶段和下降阶段，重力对物体做正功还是负功？这个物体的重力势能怎样变化？
提示
上升阶段，重力做负功，重力势能增加；下降阶段，重力做正功，重力势能减少．
1．重力势能的相对性：重力势能的数学表达式Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度．
2．重力势能变化的绝对性：物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选择无关，它的变化是绝对的．
考点一 对重力势能的理解
【例题1】
金茂大厦是上海的标志性建筑之一，它主体建筑地上88层，地下3层，高420.5
m，如图所示．距地面341
m的第88层为国内迄今最高的观光层，环顾四周，极目眺望，上海新貌尽收眼底．质量为60
kg在观光房的游客，在下列情况中，他的重力势能各是多少？(g取10
m/s2，不计人的身高)
(1)以地面为参考平面；
(2)以第88层为参考平面；
(3)以420.5
m的楼顶为参考平面，若他乘电梯从地面上升到88层，重力势能的变化量是多少？
思维导引：物体重力势能的大小与零势能位置的选择有关，但物体在两位置重力势能之差与零势能面的选择无关．
解析
(1)以地面为参考平面，游客在88层相对高度341
m，则Ep1＝mgh＝60×10×341
J≈2.0×105
J.
(2)若以88层处为参考平面，游客在88层相对高度是零，故Ep2＝0.
(3)重力势能的变化与参考平面的选择无关，
即ΔEp＝mgh＝2.0×105
J.
答案
(1)2.0×105
J (2)0 (3)2.0×105
J
【变式1】
如图所示，桌面距地面的高度为0.8
m，一物体质量为2
kg，放在距桌面0.4
m的支架上，(g取10
m/s2)则：
(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(2)以地面为零势能参考面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
解析
(1)以桌面为零势能参考平面，物体距离势能参考面的高度h1＝0.4
m，因而物体具有重力势能
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4
J＝8
J.
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关．
答案
(1)8
J 24
J (2)24
J 24
J (3)见解析
考点二 重力做功与重力势能的关系
重力做功
重力势能
物理意义
重力对物体做功
由于物体与地球的相互作用，且由它们之间相对位置决定的能
表达式
WG＝mgΔh
Ep＝mgh
重力做功
重力势能
影响大小的因素
重力mg和初、末位置的高度差
Δh
重力mg和某一位置相对于零势能面的高度h
特点
只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关
与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面会有不同的重力势能
过程量
状态量
重力势能的改变量只与重力做功有关，与重力之外的其他力做功无关．
【变式2】
一滑雪运动员在如图所示的场地滑行，由高坡上的M点下滑经低坡的最高点O滑到坡底端N，经测量可知M点到地面的高度为H，O点到地面的高度为h，重力加速度为g.则( )
A．从M到N的过程中，由于轨迹的长度未知，则不能求重力做了多少功
B．从M到N的过程中，由于运动员受到的摩擦力为变力，则不能求重力做了多少功
C．从M到N的过程中，运动员的重力势能减少了mg(H＋h)
D．从M到N的过程中，运动员的重力做功为mgH
答案 D
解析
重力做功与运动员的运动路径无关，与运动员的受力情况无关，只与初、末状态运动员所处位置的高度差有关，选项A、B错误；从M到N的高度差是H，故从M到N的过程中重力做功为mgH，重力势能减少了mgH，选项C错误，D正确．
考点三 等效法计算重力势能的变化
2．关于绳子、链条类柔软物体的重力势能
(1)Ep＝mgh，h表示物体重心相对零势能面的高度．
(2)重心的位置与物体的形状、质量分布是否均匀有关．
(3)粗细均匀，质量分布均匀的绳子或链条其重心在其长度的一半处，当以直线状(或水平或竖直或倾斜)形式放置时，Ep＝mgh，其中h表示长度一半位置相对零势能面的高度，当不以直线状(如折线状)形式放置时，应当分段表示重力势能再求和．
非质点类物体的重力势能的求解方法
(1)由于物体的重力势能等于物体的重力与物体的重心相对参考平面的高度的乘积，因此，确定物体的重力势能时，需分析物体的重心所在位置．
(2)当物体整体的重心位置发生变化或者不便确定时，可考虑用分段法确定各部分物体的重力势能，然后再确定整体的重力势能.
【例题3】
如图所示，半径为R的定滑轮不计质量，不计轮轴的摩擦，滑轮上挂一条长为L的铁链(L＞10R)，单位长度铁链的质量为m，两边垂下相等的长度，由于轻微的干扰，使滑轮转动，且铁链与滑轮无相对滑动，当滑轮转过90°时，铁链重力势能改变了多少？
思维导引：画示意图，分析滑轮转90°过程中链条位置变化，求出位置变化部分重力势能的改变量．
【变式3】
如图所示，粗细均匀的“U”形管内装有总长为4L的水，水柱总质量为8m.开始时阀门K闭合，左、右两管内水面高度差为L.打开阀门K后，左、右水面刚好相平时水的重力势能的改变量为多少？(管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计)
1．(多选)将一带有半径为R的半圆弧槽的木块固定在水平面上，如图所示，将一小球由弧形槽的最高点无初速度释放，以后的过程中小球在弧形槽中运动．则
( )
A．如果小球能运动到另一侧与释放点等高的位置，则重力对小球做功为2mgR
B．如果小球能运动到另一侧与释放点等高的位置，则重力对小球做功为零
C．如果小球与弧形槽之间有摩擦力，则重力对小球所做的功最多为mgR
D．如果小球与弧形槽之间有摩擦力，则重力对小球所做的功可能大于mgR
答案
B
C
解析
如果小球能运动到另一侧与释放点等高的位置，小球在竖直方向上的位移为零，故重力做功为零，选项A错误，B正确；小球下落的高度最大为R，故若弧形槽粗糙，重力做功最多是mgR，选项C正确，D错误．
2．(多选)一个物体的重力势能增加了100
J，则( )
A．重力对物体做功100
J
B．重力对物体做功－100
J
C．物体克服重力做功100
J
D．以上说法都不对
答案
B
C
解析
重力势能增加多少，则重力就做了多少负功或说成克服重力做了多少功，故选项B、C正确．
3．如图所示，在离地面高为H的地方将质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，取抛出位置所在的水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处重力势能分别为( )重力势能
1．下列说法正确的是
( )
A．地面上的物体的重力势能一定为零
B．质量大的物体的重力势能一定大
C．不同的物体，离地面越高其重力势能越大
D．离地面有一定高度的物体的重力势能可能为零
D 解析
由重力势能的表达式Ep＝mgh可知，物体的重力势能Ep由重力mg和高度h共同决定，其中h是物体相对参考平面的高度，所以Ep与参考平面的选取有关，在参考平面上方，Ep＞0；在参考平面下方，Ep＜0；在参考平面上，任何物体的重力势能都为零，故选项A、B、C错误，D正确．
2．(多选)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法正确的是( )
A．当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C．地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值
D．重力做功的多少与参考平面的选取无关
ABD 解析
重力势能的大小与参考平面的选取有关，故选项C错误；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之物体克服重力做功时，重力势能一定增加，故选项A、B正确；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，所以重力做功多少与参考平面的选取无关，故选项D正确．
3．质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是
( )
A．mgh 减少mg(H－h)
B．mgh 增加mg(H＋h)
C．－mgh 增加mg(H－h)
D．－mgh 减少mg(H＋h)
D 解析
小球落地时在参考平面以下，此时小球的重力势能为－mgh；小球在全过程中重力做正功，重力势能减少，ΔEp＝－WG＝－mg(H＋h)，选项D正确．
4．(多选)如图所示，拱桥的拱高为h，弧长为l，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．由A到B的过程中，汽车的重力势能不变，重力始终不做功
B．由A到B的过程，汽车的重力势能的增量为零，重力的总功等于零
C．汽车的重力势能先增加后减少，总的变化量为零，重力先做正功，后做负功，总功为零
D．汽车的重力势能先增加后减少，上坡时重力做负功，下坡时做正功，总功为零
BD 解析
因为A、B在同一高度上，汽车在运动过程中，位置先升高后降低，所以重力先做负功后做正功，总功为零；重力势能先增大后减小，总的变化量等于零．
5．如图所示，ACP和BDP是竖直平面内两个半径不同的半圆形光滑轨道，A、P、B三点位于同一水平面上，C和D分别为两轨道的最低点，将两个质量相同的小球分别从A和B两处同时无初速释放，则
( )
A．沿BDP光滑轨道运动的小球的重力势能永远为正值
B．两小球到达C点和D点时，重力做功相等
C．两小球到达C点和D点时，重力势能相等
D．两小球刚开始从A点和B点两处无初速释放时，重力势能相等
D 解析
不管选哪里为参考平面，A点和B点相对于参考平面的竖直高度均相等，所以重力势能相等；两小球到在C点和D点时，重力势能不相等，重力势能Ep＝mgh具有相对性，如果选A、P、B三点所在平面为参考平面，则两球在运动过程中其他位置的重力势能恒为负值；另外，重力做功跟路径无关，只取决于物体的始、末位置之间的竖直距离，而球从开始运动到到达C点和D点时竖直高度不等，所以重力做功不相等，选项D正确．
6．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，物体重力势能的增加量等于( )
A．物体所受重力做的功
B．地板对物体的支持力做的功
C．物体克服重力做的功
D．物体所受支持力和重力的总功
C 解析
重力势能的改变只与重力做功有关，因为物体加速上升，所以地板的支持力大于物体的重力，选项B、D错误；上升时，物体克服重力做功，选项A错误，C正确．
7．如图所示，一质量为m、边长为a的正方体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.1，为使它水平移动距离a，可采用将它翻倒或向前匀速平推两种方法，则
( )
A．将它翻倒比平推前进做的功少
B．将它翻倒比平推前进做的功多
C．两种情况做的功一样多
D．两种情况做功的多少无法比较
B 解析
匀速平推时，只需克服摩擦力做功，推力大小等于正方体所受的摩擦力，即F＝μmg，把正方体推动距离a时推力做功W1＝F·a＝μmga＝0.1mga；将正方体绕一条棱翻倒时，只要使其对角线AC转到竖直位置即可(以后，稍倾斜一点，立方体就会在重力作用下翻倒)，这个过程中外力所做的功，就是使立方体的重心升高所增加的重力势能，所以外力做功W2＝ΔEp＝mg(－)a≈0.207mga＞W1，故选项B正确．
8．如图所示，一根长为l，质量为m的匀质软绳悬于O点，若将其下端向上提起使其对折，则做功至少为( )
A．mgl
B．mgl
C．mgl
D．mgl
D 解析
将软绳下端向上拉起，相当于把下半段上移了，重力势能增加了mg·＝mgl，即外力至少要做功mgl，选项D正确．
[能力提升]
9．物体做自由落体运动，Ep表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列图象中能正确反映Ep和h之间关系的是( )
B 解析
设初始位置高度为H，由重力势能公式得Ep＝mg(H－h)＝mgH－mgh，由数学知识可知重力势能与h的关系图象为斜向下的直线，故选项B正确．
10．(多选)某抽水蓄能电站自投入运行以来，在缓解用电高峰电力紧张方面，取得了良好的社会效益和经济效益．抽水蓄能电站的工作原理是在用电低谷时(如深夜)，电站利用电网多余的电能把水抽到高处蓄水池中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电．如图所示，蓄水池(上面水库)可视为长方体，有效总库容(可用于发电)为V，蓄水后水位高出下游水面H，发电过程中上面水库水位最大落差为d.统计资料表明，该电站年抽水用电量为2.4×108
kW·h，年发电量为1.8×108
kW·h.则下列计算结果正确的是(水的密度为ρ，重力加速度为g，涉及重力势能的计算均以下游水面为参考平面)
( )
A．能用于发电的水的最大重力势能Ep＝ρVgH
B．能用于发电的水的最大重力势能Ep＝ρVg(H－)
C．电站的总效率达75%
D．该电站平均每天所发电能可供给一个大城市居民用电(电功率按105
kW计)约10
h
BC 解析
因用于发电的上面水库中水的重心距下游水面的高度为，所以用于发电的水的最大重力势能Ep＝ρVg，故选项A错误，B正确；电站的总效率η＝×100%＝75%，故选项C正确；由W＝Pt得t＝≈5
h，故选项D错误．
11．一劲度系数k＝800
N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为12
kg的物体A、B，将它们竖直静止放在水平面上，如图所示．现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40
s物体B刚要离开地面．取g＝10
m/s2，试求：
(1)物体B刚要离开地面时，A物体的速度vA；
(2)物体A重力势能的改变量．
解析
(1)开始时弹簧压缩，物体A处于静止，对物体A受力分析有mAg＝kx1，当物体B刚要离地面时，对物体B有mBg＝kx2，可得x1＝x2＝0.15
m，由于物体A做匀加速运动，所以x1＋x2＝at2，且vA＝at，得vA＝1.5
m/s.
(2)物体A重力势能增大，
ΔEpA＝mAg(x1＋x2)＝36
J.
答案
(1)1.5
m/s (2)36
J
12．如图所示，一个质量为m、体积为V的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入截面积为S、深度为h的水中．已知水的密度为ρ，求铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，水与铁球的重力势能分别变化了多少？水与铁球组成的系统总的重力势能变化了多少？
解析
铁球落到杯底时的重力势能减少了mgh，此过程中水面上升了Δh，因为上升的水的体积等于铁球的体积，所以有SΔh＝V，Δh＝，上升的水的质量Δm＝Vρ，故水的重力势能增加，ΔEp2＝Δmg·，式中r为铁球半径．由V＝πr3，得r＝.故ΔEp2＝Vρg，水和铁球组成的系统总的重力势能的变化量ΔEp＝ΔEp1＋ΔEp2＝－mgh＋Vρg，所以总重力势能减少了．
答案
水的重力势能增加了Vρg
铁球的重力势能减少了mgh
总的重力势能减少了mgh－Vρg
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5重力势能
1．(重力势能的系统性及相对性)关于重力势能，下列说法正确的是( )
A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的
B．处在同一高度的物体，具有的重力势能相同
C．重力势能是标量，不可能有正、负值
D．浮在海面上的小船的重力势能一定为零
[解析] 重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确．重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，质量不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误．重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误．零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误．
[答案] A
2.(重力势能及重力势能变化的计算)一棵树上有一个质量为0.3
kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C最后滚入沟底D.A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示．以地面C为零势能面，g取10
m/s2，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是( )
A．15.6
J和9
J
B．9
J和－9
J
C．15.6
J和－9
J
D．15.6
J和－15.6
J
[解析] 以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3)J＝－9
J．从A落下到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(2.2＋3)J＝15.6
J，故选C.
[答案] C
3．(多选)(重力做功与重力势能变化之间的关系)有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1
J，但物体重力势能的增加量有可能不是1
J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是－1
J，但物体重力势能的增加量不是1
J
[解析] 据重力做功的特点：与经过路径无关，与是否受其他力无关，与其他力做功多少无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知A、B、C正确，D错误．
[答案] ABC
4．(多选)(重力做功及其特点)如右图所示，物体沿不同的路径从A运动到B，其中按不同的路径：①有摩擦作用；②无摩擦作用；③无摩擦，但有其他外力拉它．比较这三种情况下重力做的功W1、W2、W3，重力势能的变化量ΔEp1、ΔEp2、ΔEp3的关系，以下正确的是( )
A．W1>W2>W3
B．W1＝W2＝W3
C．ΔEp1＝ΔEp2＝ΔEp3
D．ΔEp1<ΔEp2<ΔEp3
[解析] 重力做功的多少与路径无关，取决于物体初、末位置，且与受不受其他力无关．重力势能的变化量只取决于重力做的功，因此，三种情况下重力做功相同，重力势能的变化量也相同．
[答案] BC
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